FMZVにおけるSakuradaの定理の超幾何級数による証明

多重調和和を
\begin{align} \zeta_{< N}(\bk):=\sum_{0< n_1<\cdots< n_r< N}\frac 1{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}} \end{align}
とする. $\alpha+\beta=u+v, \alpha\beta=w$とすると, 通常の Ohno-Zagierの関係式 の証明と全く同様に,
\begin{align} \sum_{0< k,r,s}\left(\sum_{\bk\in I_0(k,r,s)}\zeta_{< N}(\bk)\right)u^{k-r-s}v^{r-s}w^{s-1}&=\frac 1{w-uv}\sum_{k=1}^{N-1}\frac{(\alpha-u,\beta-u)_k}{k!(1-u)_k} \end{align}
が成り立つ. $p$を奇素数とする. Kummerの${}_3F_2$変換公式
\begin{align} \F32{a,b,c}{d,e}1&=\frac{\Gamma(e)\Gamma(d+e-a-b-c)}{\Gamma(e-c)\Gamma(d+e-a-b)}\F32{d-a,d-b,c}{d,d+e-a-b}1 \end{align}
において, $c=-p$として,
\begin{align} \F32{a,b,-p}{d,e}1&=\frac{(d+e-a-b)_p}{(e)_p}\F32{d-a,d-b,-p}{d,d+e-a-b}1 \end{align}
を得る. ここで, $d=-p$とすると,
\begin{align} \sum_{k=0}^p\frac{(a,b)_k}{k!(e)_k}&=\frac{(e-a-b-p)_p}{(e)_p}\sum_{k=0}^p\frac{(-p-a,-p-b)_k}{k!(e-a-b-p)_k} \end{align}
となる. $e=1+a+b-v$として,
\begin{align} \sum_{k=0}^p\frac{(a,b)_k}{k!(1+a+b-v)_k}&=-\frac{(v)_p}{(1+a+b-v)_p}\sum_{k=0}^p\frac{(-p-a,-p-b)_k}{k!(1-v-p)_k} \end{align}
を得る. これは
\begin{align} \sum_{k=0}^{p-1}\frac{(a,b)_k}{k!(1+a+b-v)_k}&=-\frac{(v)_p}{(1+a+b-v)_p}\sum_{k=0}^{p-1}\frac{(-p-a,-p-b)_k}{k!(1-v-p)_k}+\frac{(1+a,1+b)_p-(a,b)_p}{p!(1+a+b-v)_p} \end{align}
と書き直せる. これを$a,b,v$に関する形式的べき級数として, $\mathrm{mod}\,p$を考えると, $t$に関する形式的べき級数としての等式
\begin{align} \frac{(1+t)_{p-1}}{(p-1)!}&=\sum_{0\leq n}\zeta_{< p}(\{1\}^n)t^n\\ &=1\pmod p \end{align}
が成り立つことを用いて,
\begin{align} \frac{(1+a,1+b)_p-(a,b)_p}{p!(1+a+b-v)_p}&= \frac{(p+a)(p+b)-ab}{p(p+a+b-v)}\frac{(1+a,1+b)_{p-1}}{(p-1)!(1+a+b-v)_{p-1}}\\ &=\frac{a+b}{a+b-v}\pmod p \end{align}

を得る. よって,
\begin{align} \sum_{k=0}^{p-1}\frac{(a,b)_k}{k!(1+a+b-v)_k}&=-\frac{v}{a+b-v}\sum_{k=0}^{p-1}\frac{(-a,-b)_k}{k!(1-v)_k}+\frac{a+b}{a+b-v}\pmod p \end{align}
が得られ, これを書き換えると
\begin{align} (v-a-b)\sum_{k=1}^{p-1}\frac{(a,b)_k}{k!(1+a+b-v)_k}&=v\sum_{k=1}^{p-1}\frac{(-a,-b)_k}{k!(1-v)_k}\pmod p \end{align}
ここで, $\alpha+\beta=u+v, \alpha\beta=w$となる$\alpha,\beta$を用いて, $a=\alpha-u, b=\beta-u$とすると,
\begin{align} u\sum_{k=1}^{p-1}\frac{(\alpha-u,\beta-u)_k}{k!(1-u)_k}&=v\sum_{k=1}^{p-1}\frac{(\alpha-v,\beta-v)_k}{k!(1-v)_k}\pmod p \end{align}
を得る. 両辺に$\frac 1{w-uv}$を掛けて,
\begin{align} \sum_{0< k,r,s}\left(\sum_{\bk\in I_0(k,r,s)}\zeta_{< p}(\bk)\right)u^{k-r-s+1}v^{r-s}w^{s-1}&=\sum_{0< k,r,s}\left(\sum_{\bk\in I_0(k,r,s)}\zeta_{< p}(\bk)\right)v^{k-r-s+1}u^{r-s}w^{s-1}\pmod p \end{align}
を得る. よって, 両辺の$u^{m+1-s}v^{n+1-s}w^{s-1}$の係数を比較して$p$に関して束ねると,
\begin{align} X_0(m+n+1,n+1,s)=X_0(m+n+1,m+1,s) \end{align}
を得る.