【初投稿】フェルマーの発見と楕円曲線について

実際，写像$f:A_d\rightarrow C_d$，$g:C_d\rightarrow A_d$について，
\begin{align*} f(x,y,z)&= \left( \dfrac{y(y+z)}{2}, \dfrac{y^2(y+z)}{2} \right), \\ g(X,Y)&= \left( \dfrac{2Xd}{Y}, \dfrac{X^2-d^2}{Y}, \dfrac{X^2+d^2}{Y} \right) \end{align*}
とおくと，$f(x,y,z)\in C_d$，$g(X,Y)\in A_d$となり，$(g\circ f)=\textrm{id}_{A_d}$，$(f\circ g)=\textrm{id}_{C_d}$が確かめられます
計算は代入して整理して、、、の繰り返しなので本記事では省略しますが，希望があれば別の記事で証明を掲載したいと思います

※「数論Ⅰ」数論では$B_d = \{ (u,v,w) \in \mathbb{Q}^3 \mid u^2+d=v^2, v^2+d=w^2 \}$という集合を考え，$A_d\cong B_d$と$B_d\cong C_d$を示すことによって，この定理を証明しています
なんで$A_d$の次が$B_d$じゃなくて$C_d$だったのか，疑問に思った方がいたら，まあそういうことです
写像$f,g$がなぜこんな形になるのか，どうしたらそれが求まるのか疑問を感じる方もいると思いますが，そんなときは「数論Ⅰ」数論を参照してください
写像の合成によって，簡単に求めることができます

定理3の証明で使った写像$f:A_d\rightarrow C_d$，$g:C_d\rightarrow A_d$を利用して計算していきます
計算量は多くなりますが，本記事の主定理となるので，頑張って計算します
写像$f,g$について忘れている方もいると思うので，再掲載しておきます
\begin{align*} f(x,y,z)&= \left( \dfrac{y(y+z)}{2}, \dfrac{y^2(y+z)}{2} \right), \\ g(X,Y)&= \left( \dfrac{2Xd}{Y}, \dfrac{X^2-d^2}{Y}, \dfrac{X^2+d^2}{Y} \right) \end{align*}
証明の流れとしては，次の通りです

1. $(x,y,z)\in A_d$に対し，$f(x,y,z)\in C_d$だったので，2倍公式を用いて，この$f(x,y,z)$を2倍にする
   $f(x,y,z)$を2倍にした点を$f'(x,y,z)$とおく
2. $f'(x,y,z)\in C_d$なので，$g(f'(x,y,z))\in A_d$である
3. $g(f'(x,y,z))$が，命題2のフェルマーが発見した公式と一致していることを確かめる

では，順番に証明していきます．

１．命題4を使うために，先に$\lambda$について計算しておきます
\begin{align*} \lambda &= \frac{3\frac{y^2(y+z)^2}{4} - \frac{x^2y^2}{4} }{2\frac{y^2(y+z)}{2}} = \frac{3(y+z)^2-x^2}{4(y+z)} = \frac{3(y+z)^2+(y^2-z^2)}{4(y+z)} = \frac{(3y^2+6yz+3z^2) +(y^2-z^2)}{4(y+z)}\\ &= \frac{4y^2+6yz+2z^2}{4(y+z)} = \frac{2y^2+3yz+z^2}{2(y+z)} = \frac{(2y+z)(y+z)}{2(y+z)} = \frac{2y+z}{2} \end{align*}
（ここで，$x^2+y^2=z^2, ~~ \dfrac{1}{2}xy = d$が成り立つことに注意してください）
これを命題4の式に代入して計算することにより，
\begin{align*} f'(x,y,z)\text{の第1成分}&= \left( \frac{2y+z}{2} \right)^2-2\cdot \frac{y(y+z)}{2} = \frac{4y^2+4yz+z^2-4y^2-4yz}{4} = \frac{z^2}{4}, \\ f'(x,y,z)\text{の第2成分}&= -\left( \frac{2y+z}{2} \right)^3+3\cdot\frac{y(y+z)}{2}\cdot\frac{2y+z}{2} -\frac{y^2(y+z)}{2}\\ &= \frac{-8y^3-12y^2z-6yz^2-z^3+12y^3+18y^2z+6yz^2-4y^3-4y^2z}{8}\\ &= \frac{2y^2z-z^3}{8} = \frac{(2y^2-z^2)z}{8} = \frac{(y^2-x^2)z}{8} \end{align*}
となります

２．上で求めた$f'(x,y,z)$を写像$g$でとばします
\begin{align*} g(f'(x,y,z)) &= g\left(\frac{z^2}{4}, \frac{(y^2-x^2)z}{8}\right) = \left( \frac{2\frac{z^2}{4}\frac{xy}{2}}{\frac{(y^2-x^2)z}{8}}, \frac{\frac{z^4}{16}-\frac{x^2y^2}{4}}{\frac{(y^2-x^2)z}{8}}, \frac{\frac{z^4}{16}+\frac{x^2y^2}{4}}{\frac{(y^2-x^2)z}{8}} \right)\\ &= \left( \frac{2xyz}{y^2-x^2}, \frac{z^4-4x^2y^2}{2(y^2-x^2)z}, \frac{z^4+4x^2y^2}{2(y^2-x^2)z} \right) \end{align*}
となります

３．$g(f'(x,y,z))$の第2成分について，
\begin{align*} \frac{z^4-4x^2y^2}{2(y^2-x^2)z} &= \frac{(x^2+y^2)^2-4x^2y^2}{2(y^2-x^2)z} = \frac{x^4+2x^2y^2+y^4-4x^2y^2}{2(y^2-x^2)z}\\ &= \frac{x^4-2x^2y^2+y^4}{2(y^2-x^2)z} = \frac{(y^2-x^2)^2}{2(y^2-x^2)z}\\ &= \frac{y^2-x^2}{2z} \end{align*}
となるので，
$$ g(f'(x,y,z)) = \left( \dfrac{2xyz}{y^2-x^2}, \dfrac{y^2-x^2}{2z}, \dfrac{z^4+4x^2y^2}{2(y^2-x^2)z} \right) $$
が得られます
これは，命題2のフェルマーが発見した公式と完全に一致していることが分かります
（２の計算は，論文を参考にさせていただきました）