ハウスドルフでない位相空間の例

位相空間論

本稿では，ハウスドルフでない位相空間の例として，実数全体の集合$\mathbb{R}$に特殊な位相を入れた空間を考える．

ハウスドルフ空間の定義

ハウスドルフ空間

位相空間$X$がハウスドルフであるとは，任意の相異なる2点$x,y\in X$に対して

$x\in U$
$y\in V$
$U\cap V=\varnothing$

を満たす開集合$U,V$が存在することを言う．

通常の位相を入れた$\mathbb{R}$はハウスドルフである．

例1を証明せよ．

ハウスドルフでない位相空間の例

$a\in\mathbb{R}$に対し，$\mathbb{R}$の部分集合$U^{(a)}$を$U^{(a)}=\{x\in\mathbb{R}\mid a< x\}$と定め，$\tilde{\mathcal{O}}=\{U^{(a)}\}_{a\in\mathbb{R}}\cup\{\varnothing,\mathbb{R}\}$とする．
また，便宜上$U^{(-\infty)}=\mathbb{R}$と定める．

$\tilde{\mathcal{O}}$は$\mathbb{R}$の位相である．

$\tilde{\mathcal{O}}$の定義より$\varnothing,\mathbb{R}\in\tilde{\mathcal{O}}$である．
$U_1,U_2,\cdots,U_n\in\tilde{\mathcal{O}}$に対して$\displaystyle\bigcap_{k=1}^nU_k\in\tilde{\mathcal{O}}$である．実際，
(a) $U_1,U_2,\cdots,U_n$の少なくとも一つが$\varnothing$のとき，$\displaystyle\bigcap_{k=1}^nU_k=\varnothing\in\tilde{\mathcal{O}}$となる．
(b) $U_1,U_2,\cdots,U_n$の中に$\mathbb{R}$が含まれる場合は，それを除いて考えても結果は変わらない．
(c) $U_k=U^{(a_k)}$（$k=1,2,\cdots,n$;$a_k\in\mathbb{R}$）であるとき，$\displaystyle\bigcap_{k=1}^nU_k=U^{(\max\{a_1,a_2,\cdots,a_n\})}\in\tilde{\mathcal{O}}$となる．
集合族$\{U_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}$が，任意の$\lambda\in\Lambda$に対して$U_\lambda\in\tilde{\mathcal{O}}$を満たすとき，$\displaystyle\bigcup_{\lambda\in\Lambda}U_\lambda\in\tilde{\mathcal{O}}$である．実際，
(a) $\{U_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}$の少なくとも一つが$\mathbb{R}$のとき，$\displaystyle\bigcup_{\lambda\in\Lambda}U_\lambda=\mathbb{R}\in\tilde{\mathcal{O}}$となる．
(b) $\{U_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}$の中に$\varnothing$が含まれる場合は，それを除いて考えても結果は変わらない．
(c) $U_\lambda=U^{(a_\lambda)}$（$\lambda\in\Lambda$;$a_\lambda\in\mathbb{R}$）であるとき，$\displaystyle\bigcup_{\lambda\in\Lambda}U_\lambda=U^{(\inf_{\lambda\in\Lambda}a_\lambda)}\in\tilde{\mathcal{O}}$となる．

以上より，$\tilde{\mathcal{O}}$は$\mathbb{R}$の位相である．

位相空間$(\mathbb{R},\tilde{\mathcal{O}})$はハウスドルフでない．

$(\mathbb{R},\tilde{\mathcal{O}})$の空でない任意の開集合$U,V$が$U\cap V\neq\varnothing$を満たすことを示そう．
(1) $U=\mathbb{R}$のとき$U\cap V=V\neq\varnothing$である．同様に$V=\mathbb{R}$のとき$U\cap V=U\neq\varnothing$である．
(2) $U=U^{(a)}, V=U^{(b)}$（$a,b\in\mathbb{R}$）であるとき$U\cap V=U^{(\max\{a,b\})}\neq\varnothing$である．

以上より，位相空間$(\mathbb{R},\tilde{\mathcal{O}})$はハウスドルフでない．

問題の解答

問題1

任意の相異なる$a,b\in\mathbb{R}$に対し，$d=|a-b|$と定めて
$U=\left\{x\in\mathbb{R}\,\middle|\,|x-a|<\dfrac{d}{2}\right\}$,$V=\left\{x\in\mathbb{R}\,\middle|\,|x-b|<\dfrac{d}{2}\right\}$
とすると，$U,V$は$\mathbb{R}$の開区間（すなわち開集合）であり，