Laguerre多項式はLn(x)=(a+1)nn!∑k=0n(−n)kk!(a+1)kxkによって定義される.
3F2[−n,b,d1−n−b,w;−1]=(w−d)n(w)n4F3[d,−n2,1−n2,1−n−w1−n−b,1+d−w−n2,2+d−w−n2;1]
Whippleによる Nearly-poised 4F3の変換公式 4F3[−n,b,c,d1−n−b,1−n−c,w;1]=(w−d)n(w)n5F4[1−n−b−c,1−n−w,−n2,1−n2,d1−n−b,1−n−c,1+d−w−n2,2+d−w−n2;1]において, c→∞とすると得られる.
Ln(a)(x)Ln(b)(x)=(a+1,b+1)nn!∑k=0n(−x)kLk(a+b+k)(x)(a+1,b+1)k(n−k)!
補題1より,Ln(a)(x)Ln(b)(x)=(a+1,b+1)nn!21F1[−na+1;x]1F1[−nb+1;x]=(a+1,b+1)nn!2∑m=0n(−n)mxmm!(b+1)m3F2[−n,−m,−b−m1+n−m,a+1;−1]=(a+1,b+1)nn!2∑m=0n(−n,1+a+b+m)mxmm!(a+1,b+1)m4F3[−m2,1−m2,−a−m,−b−m1+n−m,12(−a−b−2m),12(1−a−b−2m);1]=(a+1,b+1)nn!2∑m=0n∑k=0⌊m2⌋(−n,1+a+b+m)mxmm!(a+1,b+1)m(−a−m,−b−m)k(−m)2kk!(1−m+n)k(−a−b−2m)2k=(a+1,b+1)nn!2∑m=0n∑k=0⌊m2⌋(−n,1+a+b+m)mxm(m−2k)!(a+1,b+1)m−k(n−m)!(a+b+1)2m−2kk!(n−m+k)!(a+b+1)2m=(a+1,b+1)nn!∑m=0n∑k=0⌊m2⌋(−x)m(m−2k)!(a+1,b+1)m−k(a+b+1)2m−2kk!(n−m+k)!(a+b+1)m=(a+1,b+1)nn!∑m=0n∑k=0m(−x)m+k(m−k)!(a+1,b+1)m(a+b+1)2mk!(n−m)!(a+b+1)m+k=(a+1,b+1)nn!∑m=0n(−x)m(a+1,b+1)m(n−m)!(a+b+m+1)mm!∑k=0m(−m)kk!(a+b+m+1)kxk=(a+1,b+1)nn!∑m=0n(−x)m(a+1,b+1)m(n−m)!Lm(a+b+m)(x)となって示される.
xnLn(a+n)(x)=(a+1)2n22n∑k=0n(−1)k(2k)!k!(n−k)!(a+1)2kL2k(a)(2x)
Laguerre多項式の定義は∑k=0n(−1)k(nk)xk(a+1)k=n!(a+1)nLn(a)(x)と書けるので, 二項係数の反転公式よりxn=(a+1)n∑k=0n(−n)k(a+1)kLk(a)(x)を得る. これをxを2xに置き換えて用いると,xnLn(a+n)(x)=(a+n+1)nn!∑k=0n(−n)kk!(a+n+1)kxn+k=(a+n+1)nn!∑k=0n(−n)kk!(a+n+1)k∑j=0n+k(a+1)n+k(−n−k)j2n+k(a+1)jLj(a)(2x)=(a+1)2nn!∑0≤j,k(−n)k(−n−k)jk!12n+k(a+1)jLj(a)(2x)=(a+1)2n2n∑0≤j(−1)jLj(a)(2x)(n−j)!(a+1)j2F1[−n,n+1n−j+1;12]ここで, Baileyの和公式2F1[a,1−ac;12]=Γ(c2)Γ(c+12)Γ(c+a2)Γ(1+c−a2)より,2F1[−n,n+1n−j+1;12]=Γ(n−j+12)Γ(n−j+22)Γ(1−j2)Γ(2n−j+22)jが奇数のとき, これは0であり, jが偶数のとき, j=2kとすると,Γ(n−j+12)Γ(n−j+22)Γ(1−j2)Γ(2n−j+22)=Γ(n+12)Γ(n+22)Γ(12)Γ(n+1)(n+12,n+22)−k(12,n+1)−k=12n(−1)k(2k)!(n−2k)!k!(n−k)!であるから, これを代入して定理を得る.
定理2に定理3を代入して以下を得る.
Ln(a)(x)Ln(b)(x)=(a+1,b+1)nn!∑k=0n∑j=0k(−1)k(a+b+1)2k22k(a+1,b+1)k(n−k)!(−1)j(2j)!L2j(a+b)(2x)j!(k−j)!(a+b+1)2j=(a+1,b+1)nn!∑j=0n(12)j(a+1,b+1)j(n−j)!L2j(a+b)(2x)3F2[a+b+2j+12,a+b+2j+22,j−na+j+1,b+j+1;1]
特別な場合として, 以下の公式を得る.
Ln(a)(x)2=(a+1)n22nn!∑k=0n(2k)!(2n−2k)!k!(n−k)!2(a+1)kL2k(2a)(2x)
定理4において, a=bとすると,Ln(a)(x)2=(a+1)n2n!∑j=0n(12)j(a+1)j2(n−j)!L2j(2a)(2x)2F1[a+j+12,j−na+j+1;1]=(a+1)n2n!∑j=0n(12)j(a+1)j2(n−j)!L2j(2a)(2x)(12)n−j(a+j+1)n−j=(a+1)n22nn!∑j=0n(2j)!(2n−2j)!(a+1)jj!(n−j)!2L2j(2a)(2x)となって示される.
全く同様に, a+1=bとすることによって以下の公式を得る.
Ln(a)(x)Ln(a+1)(x)=(a+1)n22nn!∑k=0n(2k)!(2n−2k)!k!(n−k)!2(a+1)kL2k(2a+1)(2x)
バッチを贈ると投稿者に現金やAmazonのギフトカードが還元されます。