BaileyによるLaguerre多項式の積公式

Whippleによる Nearly-poised ${}_4F_3$の変換公式
\begin{align} \F43{-n,b,c,d}{1-n-b,1-n-c,w}{1}&=\frac{(w-d)_n}{(w)_n}\F54{1-n-b-c,1-n-w,-\frac n2,\frac{1-n}2,d}{1-n-b,1-n-c,\frac{1+d-w-n}2,\frac{2+d-w-n}2}1 \end{align}
において, $c\to \infty$とすると得られる.

補題1より,
\begin{align} L_n^{(a)}(x)L_n^{(b)}(x)&=\frac{(a+1,b+1)_n}{n!^2}\F11{-n}{a+1}x\F11{-n}{b+1}x\\ &=\frac{(a+1,b+1)_n}{n!^2}\sum_{m=0}^n\frac{(-n)_mx^m}{m!(b+1)_m}\F32{-n,-m,-b-m}{1+n-m,a+1}{-1}\\ &=\frac{(a+1,b+1)_n}{n!^2}\sum_{m=0}^n\frac{(-n,1+a+b+m)_mx^m}{m!(a+1,b+1)_m}\F43{-\frac m2,\frac{1-m}2,-a-m,-b-m}{1+n-m,\frac 12(-a-b-2m),\frac 12(1-a-b-2m)}{1}\\ &=\frac{(a+1,b+1)_n}{n!^2}\sum_{m=0}^n\sum_{k=0}^{\lfloor\frac m2\rfloor}\frac{(-n,1+a+b+m)_mx^m}{m!(a+1,b+1)_m}\frac{(-a-m,-b-m)_k(-m)_{2k}}{k!(1-m+n)_k(-a-b-2m)_{2k}}\\ &=\frac{(a+1,b+1)_n}{n!^2}\sum_{m=0}^n\sum_{k=0}^{\lfloor\frac m2\rfloor}\frac{(-n,1+a+b+m)_mx^m}{(m-2k)!(a+1,b+1)_{m-k}}\frac{(n-m)!(a+b+1)_{2m-2k}}{k!(n-m+k)!(a+b+1)_{2m}}\\ &=\frac{(a+1,b+1)_n}{n!}\sum_{m=0}^n\sum_{k=0}^{\lfloor\frac m2\rfloor}\frac{(-x)^m}{(m-2k)!(a+1,b+1)_{m-k}}\frac{(a+b+1)_{2m-2k}}{k!(n-m+k)!(a+b+1)_{m}}\\ &=\frac{(a+1,b+1)_n}{n!}\sum_{m=0}^n\sum_{k=0}^{m}\frac{(-x)^{m+k}}{(m-k)!(a+1,b+1)_m}\frac{(a+b+1)_{2m}}{k!(n-m)!(a+b+1)_{m+k}}\\ &=\frac{(a+1,b+1)_n}{n!}\sum_{m=0}^n\frac{(-x)^{m}}{(a+1,b+1)_m(n-m)!}\frac{(a+b+m+1)_{m}}{m!}\sum_{k=0}^{m}\frac{(-m)_k}{k!(a+b+m+1)_{k}}x^k\\ &=\frac{(a+1,b+1)_n}{n!}\sum_{m=0}^n\frac{(-x)^{m}}{(a+1,b+1)_m(n-m)!}L^{(a+b+m)}_m(x)\\ \end{align}
となって示される.

Laguerre多項式の定義は
\begin{align} \sum_{k=0}^n(-1)^k\binom nk\frac{x^k}{(a+1)_k}&=\frac{n!}{(a+1)_n}L_n^{(a)}(x) \end{align}
と書けるので, 二項係数の反転公式より
\begin{align} x^n&=(a+1)_n\sum_{k=0}^n\frac{(-n)_k}{(a+1)_k}L_k^{(a)}(x) \end{align}
を得る. これを$x$を$2x$に置き換えて用いると,
\begin{align} x^nL_n^{(a+n)}(x)&=\frac{(a+n+1)_n}{n!}\sum_{k=0}^n\frac{(-n)_k}{k!(a+n+1)_k}x^{n+k}\\ &=\frac{(a+n+1)_n}{n!}\sum_{k=0}^n\frac{(-n)_k}{k!(a+n+1)_k}\sum_{j=0}^{n+k}\frac{(a+1)_{n+k}(-n-k)_j}{2^{n+k}(a+1)_j}L_j^{(a)}(2x)\\ &=\frac{(a+1)_{2n}}{n!}\sum_{0\leq j,k}\frac{(-n)_k(-n-k)_{j}}{k!}\frac{1}{2^{n+k}(a+1)_j}L_j^{(a)}(2x)\\ &=\frac{(a+1)_{2n}}{2^n}\sum_{0\leq j}\frac{(-1)^jL_j^{(a)}(2x)}{(n-j)!(a+1)_j}\F21{-n,n+1}{n-j+1}{\frac 12} \end{align}
ここで, Baileyの和公式
\begin{align} \F21{a,1-a}{c}{\frac 12}&=\frac{\Gamma\left(\frac c2\right)\Gamma\left(\frac{c+1}2\right)}{\Gamma\left(\frac{c+a}2\right)\Gamma\left(\frac{1+c-a}2\right)} \end{align}
より,
\begin{align} \F21{-n,n+1}{n-j+1}{\frac 12}&=\frac{\Gamma\left(\frac{n-j+1}2\right)\Gamma\left(\frac{n-j+2}2\right)}{\Gamma\left(\frac{1-j}2\right)\Gamma\left(\frac{2n-j+2}2\right)} \end{align}
$j$が奇数のとき, これは$0$であり, $j$が偶数のとき, $j=2k$とすると,
\begin{align} &\frac{\Gamma\left(\frac{n-j+1}2\right)\Gamma\left(\frac{n-j+2}2\right)}{\Gamma\left(\frac{1-j}2\right)\Gamma\left(\frac{2n-j+2}2\right)}\\ &=\frac{\Gamma\left(\frac{n+1}2\right)\Gamma\left(\frac{n+2}2\right)}{\Gamma\left(\frac 12\right)\Gamma(n+1)}\frac{\left(\frac{n+1}2,\frac{n+2}2\right)_{-k}}{\left(\frac 12,n+1\right)_{-k}}\\ &=\frac 1{2^n}\frac{(-1)^k(2k)!(n-2k)!}{k!(n-k)!} \end{align}
であるから, これを代入して定理を得る.

定理4において, $a=b$とすると,
\begin{align} L_n^{(a)}(x)^2&=\frac{(a+1)_n^2}{n!}\sum_{j=0}^n\frac{\left(\frac 12\right)_j}{(a+1)_j^2(n-j)!}L_{2j}^{(2a)}(2x)\F21{a+j+\frac 12,j-n}{a+j+1}1\\ &=\frac{(a+1)_n^2}{n!}\sum_{j=0}^n\frac{\left(\frac 12\right)_j}{(a+1)_j^2(n-j)!}L_{2j}^{(2a)}(2x)\frac{(\frac 12)_{n-j}}{(a+j+1)_{n-j}}\\ &=\frac{(a+1)_n}{2^{2n}n!}\sum_{j=0}^n\frac{(2j)!(2n-2j)!}{(a+1)_jj!(n-j)!^2}L_{2j}^{(2a)}(2x) \end{align}
となって示される.