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現代数学解説
文献あり

BaileyによるLaguerre多項式の積公式

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Laguerre多項式は
Ln(x)=(a+1)nn!k=0n(n)kk!(a+1)kxk
によって定義される.

3F2[n,b,d1nb,w;1]=(wd)n(w)n4F3[d,n2,1n2,1nw1nb,1+dwn2,2+dwn2;1]

Whippleによる Nearly-poised 4F3の変換公式
4F3[n,b,c,d1nb,1nc,w;1]=(wd)n(w)n5F4[1nbc,1nw,n2,1n2,d1nb,1nc,1+dwn2,2+dwn2;1]
において, cとすると得られる.

Bailey(1939)

Ln(a)(x)Ln(b)(x)=(a+1,b+1)nn!k=0n(x)kLk(a+b+k)(x)(a+1,b+1)k(nk)!

補題1より,
Ln(a)(x)Ln(b)(x)=(a+1,b+1)nn!21F1[na+1;x]1F1[nb+1;x]=(a+1,b+1)nn!2m=0n(n)mxmm!(b+1)m3F2[n,m,bm1+nm,a+1;1]=(a+1,b+1)nn!2m=0n(n,1+a+b+m)mxmm!(a+1,b+1)m4F3[m2,1m2,am,bm1+nm,12(ab2m),12(1ab2m);1]=(a+1,b+1)nn!2m=0nk=0m2(n,1+a+b+m)mxmm!(a+1,b+1)m(am,bm)k(m)2kk!(1m+n)k(ab2m)2k=(a+1,b+1)nn!2m=0nk=0m2(n,1+a+b+m)mxm(m2k)!(a+1,b+1)mk(nm)!(a+b+1)2m2kk!(nm+k)!(a+b+1)2m=(a+1,b+1)nn!m=0nk=0m2(x)m(m2k)!(a+1,b+1)mk(a+b+1)2m2kk!(nm+k)!(a+b+1)m=(a+1,b+1)nn!m=0nk=0m(x)m+k(mk)!(a+1,b+1)m(a+b+1)2mk!(nm)!(a+b+1)m+k=(a+1,b+1)nn!m=0n(x)m(a+1,b+1)m(nm)!(a+b+m+1)mm!k=0m(m)kk!(a+b+m+1)kxk=(a+1,b+1)nn!m=0n(x)m(a+1,b+1)m(nm)!Lm(a+b+m)(x)
となって示される.

Bailey(1939)

xnLn(a+n)(x)=(a+1)2n22nk=0n(1)k(2k)!k!(nk)!(a+1)2kL2k(a)(2x)

Laguerre多項式の定義は
k=0n(1)k(nk)xk(a+1)k=n!(a+1)nLn(a)(x)
と書けるので, 二項係数の反転公式より
xn=(a+1)nk=0n(n)k(a+1)kLk(a)(x)
を得る. これをx2xに置き換えて用いると,
xnLn(a+n)(x)=(a+n+1)nn!k=0n(n)kk!(a+n+1)kxn+k=(a+n+1)nn!k=0n(n)kk!(a+n+1)kj=0n+k(a+1)n+k(nk)j2n+k(a+1)jLj(a)(2x)=(a+1)2nn!0j,k(n)k(nk)jk!12n+k(a+1)jLj(a)(2x)=(a+1)2n2n0j(1)jLj(a)(2x)(nj)!(a+1)j2F1[n,n+1nj+1;12]
ここで, Baileyの和公式
2F1[a,1ac;12]=Γ(c2)Γ(c+12)Γ(c+a2)Γ(1+ca2)
より,
2F1[n,n+1nj+1;12]=Γ(nj+12)Γ(nj+22)Γ(1j2)Γ(2nj+22)
jが奇数のとき, これは0であり, jが偶数のとき, j=2kとすると,
Γ(nj+12)Γ(nj+22)Γ(1j2)Γ(2nj+22)=Γ(n+12)Γ(n+22)Γ(12)Γ(n+1)(n+12,n+22)k(12,n+1)k=12n(1)k(2k)!(n2k)!k!(nk)!
であるから, これを代入して定理を得る.

定理2に定理3を代入して以下を得る.

Bailey(1939)

Ln(a)(x)Ln(b)(x)=(a+1,b+1)nn!k=0nj=0k(1)k(a+b+1)2k22k(a+1,b+1)k(nk)!(1)j(2j)!L2j(a+b)(2x)j!(kj)!(a+b+1)2j=(a+1,b+1)nn!j=0n(12)j(a+1,b+1)j(nj)!L2j(a+b)(2x)3F2[a+b+2j+12,a+b+2j+22,jna+j+1,b+j+1;1]

特別な場合として, 以下の公式を得る.

Howell(1937)

Ln(a)(x)2=(a+1)n22nn!k=0n(2k)!(2n2k)!k!(nk)!2(a+1)kL2k(2a)(2x)

定理4において, a=bとすると,
Ln(a)(x)2=(a+1)n2n!j=0n(12)j(a+1)j2(nj)!L2j(2a)(2x)2F1[a+j+12,jna+j+1;1]=(a+1)n2n!j=0n(12)j(a+1)j2(nj)!L2j(2a)(2x)(12)nj(a+j+1)nj=(a+1)n22nn!j=0n(2j)!(2n2j)!(a+1)jj!(nj)!2L2j(2a)(2x)
となって示される.

全く同様に, a+1=bとすることによって以下の公式を得る.

Bailey(1939)

Ln(a)(x)Ln(a+1)(x)=(a+1)n22nn!k=0n(2k)!(2n2k)!k!(nk)!2(a+1)kL2k(2a+1)(2x)

参考文献

[1]
W. N. Bailey, On the product of two Laguerre polynomials, The Quarterly Journal of Mathematics, 1939, 60-66
投稿日:42
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Wataru
Wataru
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超幾何関数, 直交関数, 多重ゼータ値などに興味があります

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