差分⋅和分でできないこと

はじめに

　こんにち和、お久しぶりですn=1です。今回は差分⋅和分でできないことについてやっていきます。

記号の説明

　今回の記号は一部 がーと 様の 高校数学の数列と微分積分は似ているという話（和分差分） を使わせていただきます。

差分にできないこと

上の式はシフト作用素$E$を考えた時$\mathrm{\Delta }+1=E$で、$g(x)+\underset{x}{\mathrm{\Delta }}g(x)=g(x+1)$であることから一つ目の等式が分かり、そこから合成関数の微分のようにできないと分かります。なおこのことから微積分でできたいろいろなことが制限されます。
例1より分数のように扱えないので$\frac{\delta }{\delta x}:=\underset{x}{\mathrm{\Delta }}$としても
$$\frac{\delta z}{\delta x}\ne \frac{\delta z}{\delta y}\cdot \frac{\delta y}{\delta x}$$
でUIとしてあまりよくないと考えられます。

同値でないことは$\mathrm{\Delta }$の核を考えた時$\underset{x}{\mathrm{\Delta }}f(x)=0⟺f(x+1)=f(x)$より$$\ker (\mathrm{\Delta })=\{C_1{|}^{\mathrm{\forall }}x[C_1(x+1)=C_1(x)]\}$$と分かりるため、周期関数が出ると分かります。
そして$D$を微分作用素としたとき$\ker (D^n)=\{\sum _{k=0}^{n-1}{a}_k{x}^k{|}^{\mathrm{\forall }}{a}_k\}$または$\ker (D^n)=\{f_n{|}^{\mathrm{\exists }}{f}_{n-1}\in \ker (D^{n-1}){,}^{\mathrm{\exists }}C{,}^{\mathrm{\forall }}x[f_n(x)=x{f}_{n-1}(x)+C]\}$であり、微分方程式は定数項が出ますが、一方差分は$\ker ({\mathrm{\Delta }}^n)=\{C_n{|}^{\mathrm{\exists }}{C}_{n-1}\in \ker (D^{n-1}){,}^{\mathrm{\forall }}x[C_n(x+1)=C_n(x)+C_{n-1}(x)]\}$
となり、$A_k$を周期1の関数として$$C_n(x)=\sum _{k=0}^{n-1}{A}_k(x)x^k(={\sum }_0^n{A}_k(x)x^k\delta k)$$と微分方程式のときと似たような形($a_0+a_{1}x+\cdots +a_{n-1}{x}^{n-1}$)が出ると分かります。

和分にできないこと

これは通常の置換積分を考えると直ちにわかり、
$$\frac{d}{dt}\int f(x)dx=\frac{d}{dx}\frac{dx}{dt}\int f(x)dx$$
$$=\frac{d}{dt}(g(t))\frac{d}{dx}\int f(x)dx=f(g(t))\frac{d}{dt}(g(t))$$
と途中に連鎖律を用いていることに由来します。

これは例3の置換和分と同じで、King Propertyは$y=a+b-x$とした置換積分を行った時に得られるため起こります。

最後に

　以上で今回の差分⋅和分でできないことは終わりです。間違っている点、疑問点がありましたらご指摘のほどお願いします。投稿を見てくださりありがとうございました。