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大学数学基礎解説
文献あり

Liouvilleの定理のL^p版

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複素解析で有名なLiouvilleの定理は, 有界性の仮定をLp可積分に変えても成立します. 本稿ではこのことを証明しようと思います.

Lp版Liouvilleの定理 (c.f. [1] Lemma 4.24.)

正則関数f:CCがある1p<に対してfLp(C)を満たすならば, f0である.

この命題の証明にはおそらく色々な方法が考えられるかと思います(文献[1]ではp=1の場合に, 劣調和関数の平均値不等式を用いて証明しています). 今回はp>1の場合に, 複素解析を(そこまで)用いない, やや幾何解析寄りの手法を紹介します.

Notation
  • Lip0(R2): R2=C上のコンパクトな台を持つLipschitz関数のなす空間.
  • u: 関数uの勾配(gradient).
  • div(X): ベクトル場Xの発散(divergence).
  • Δ=div: Laplacian.
  • BR: R2内の原点中心, 半径Rの開球体.

Caccioppoli型の不等式

はじめに, 正則関数の持つ次の基本的な性質を思い出します.

正則関数の実部と虚部は調和関数

正則関数fの実部と虚部をそれぞれuvとすると, uvは共に調和関数, すなわちΔu=Δv=0を満たす.

Cauchy−Riemann方程式よりux=vy, uy=vxが成り立つので,
Δu=uxx+uyy=(ux)x+(uy)y=(vy)x+(vx)y=vyxvxy=0,
となる. 虚部vについても同様.

正則関数fに対し, |f|p=(u2+v2)p/2(u2)p/2=|u|p等が成り立つので, fLp可積分ならば実部uと虚部vLp可積分になります. よって, Lp可積分な調和関数uは恒等的に0でなければならないことを示せれば, Liouvilleの定理の証明ができたことになります.

こうして話を調和関数の場合に帰着できました.
そこで, 以下ではC=R2とみなし, 関数は全て実数値で考えます.

調和関数は様々な性質を満たしますが, その中でも今回は次のような, Poincaréの不等式の逆向きに当たるCaccioppoli型の不等式を用います.

Caccioppoli型不等式

uR2上の調和関数とする. このとき任意の関数ϕLip0(R2)および任意のq>1/2に対し,
(1)ϕ2|uq|2(2q2q1)2|u|2q|ϕ|2.

はじめに,
div(ϕ2uquq)=ϕ2|uq|2+uqϕ2uq+ϕ2uqΔuq,
となるので, 発散定理より
ϕ2|uq|2=uqϕ2uqϕ2uqΔuq.
仮定よりΔu=0だから,
Δuq=div(quq1u)=q(q1)uq2|u|2,
となるので, q>0より,
ϕ2uqΔuq=q(q1)ϕ2u2(q1)|u|2=(1q1)ϕ2|quq1u|2=(1q1)ϕ2|uq|2.
したがって,
2q1qϕ2|uq|2=uqϕ2uq=2ϕuqϕuq2|ϕ||ua||ϕ||ua|.
ここで, Youngの不等式2abεa2+ε1b2で, a=|ϕ||uq|, b=|uq||ϕ|とすることで,
2q1qϕ2|uq|2εϕ2|uq|+1ε|u|2q|ϕ|2,
を得るので, 移項して
(2q1qε)ϕ2|uq|21ε|u|2q|ϕ|2.
いま, q>1/2より, (2q1)/q>0に注意して, ε=(2q1)/2qとおくことで
ϕ2|uq|2(2q2q1)2|u|2q|ϕ|2.

調べたい関数uのDirichletエネルギーを, 任意に選べるテスト関数ϕのエネルギーで上から抑えられているのがこの不等式の特徴です. 微分を制御できるという性質上, 微分方程式や変分問題の解の正則性(regularity)を示すのにも応用されます(正則性について学べる和書としては, 手頃な価格で入手できる文献[2]があります).

定理の証明

冒頭の定理を証明します. といっても, 主要な部分の証明はほぼ終わっていて, あとは適切なテスト関数ϕを取ってきてCaccioppoliの不等式を適用するだけです. 以下, 不等式(1)の右辺の係数をCとおくことにします.

p>1のときのLp版Liouvilleの定理の証明

任意のR>0を取る. 関数ϕを次のように定義する:
ϕ(x)={1on BR,2|x|Ron B2RBR,0otherwise.
すると, ϕLip0(R2)であり, |ϕ|1/Rが成り立つ.
p=2qとおいて不等式(1)に代入して,
BR|uq|2B2Rϕ2|uq|2CB2R|u|2q|ϕ|2CR2B2RBR|u|pCuLppR2,
が成り立つ. 上式でRとすると右辺が0に収束することから, ほとんど至る所で|uq|=0でなければならないことがわかる. uはなめらかだから恒等的にu=0でなければならず, したがってuは定数関数である. さらにuLp可積分だから, u0でなければならない.

同様の計算により, Rn上のLp可積分な調和関数もまた恒等的に0になることが証明できます.

ついでに

通常のLiouvilleの定理も今回の手法で示してみましょう. ひとまずLpの時と同じϕを用いると,
BR|u|2CR2B2RBR|u|CuR2πR2=Cπu,
となってしまい, 極限操作をとってもエネルギーが有限なことまでしか言えません. ですのでテスト関数ϕの取り方をもう少し工夫する必要があるのですが, 実はこれには上手い方法があって, 次のようにϕを修正することで解決します:
ϕ(x)={1on BeN,2log|x|Non Be2NBeN,0otherwise.

Liouvilleの定理

uを有界な調和関数とする. 上のようにϕを取ると, |ϕ|(N|x|)1を満たすので, r=|x|とおいて,
BeN|u|2CN2Be2NBeN|u|r2CuN2Be2NBeNr2.
ここで, 積分範囲を
Be2NBeN=k=N+12NBekBek1
と分割すると,
Be2NBeNr2=k=N+12NBekBek1r2k=N+12Ne2e2kπe2k=Nπe2,
となるので,
BeN|u|2πCe2uN.
上式でNとしてu0を得る.

この証明のように対数的に減衰するテスト関数を用いる手法はlogarithmic cutoff trickと呼ばれることがあり, 例えば極小曲面(面積汎関数の変分問題の解)の研究の中で登場します.

幾何解析で用いられる計算の雰囲気を, 本記事を通して少しでも味わってもらえたなら幸いです.

参考文献

[1]
T.H. Colding and W. P. Minicozzi Ⅱ, A Course in Minimal Surfaces, Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, 2011
[2]
立川篤, 変分問題: 直接法と解の正則性, 大学数学スポットライト・シリーズ, 近代科学社, 2018
投稿日:2024412
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Torte
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数理系博士課程在籍. 幾何学や解析学が好きです. 多分大学数学メイン?

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