文献あり

LovejoyによるBailey格子

前の記事で, Agarwal-Andrews-BressoudによるBailey格子を示したが, 別のBailey格子として, 以下のような結果もある.

Lovejoy(2004)

$(\alpha_n,\beta_n)$が$a$に関するBailey対であるとき,
\begin{align} \alpha_n^*&:=\frac{(1-aq^{2n+1})(aq/b;q)_n(-b)^nq^{\binom n2}}{(1-aq)(bq;q)_n}\sum_{k=0}^n\frac{(b;q)_k}{(aq/b;q)_k}(-b)^{-k}q^{-\binom k2}\alpha_k\\ \beta_n^*&:=\frac{1-b}{1-bq^n}\beta_n \end{align}
とするとき, $(\alpha_n^*,\beta_n^*)$は$aq$に関するBailey対である.

\begin{align} &\sum_{k=0}^n\frac{\alpha_k^*}{(q;q)_{n-k}(aq^2;q)_{n+k}}\\ &=\sum_{k=0}^n\frac{1}{(q;q)_{n-k}(aq^2;q)_{n+k}}\frac{(1-aq^{2k+1})(aq/b;q)_k(-b)^kq^{\binom k2}}{(1-aq)(bq;q)_k}\sum_{j=0}^k\frac{(b;q)_j}{(aq/b;q)_j}(-b)^{-j}q^{-\binom j2}\alpha_j\\ &=\sum_{j=0}^n\frac{(b;q)_j}{(aq/b;q)_j}(-b)^{-j}q^{-\binom j2}\alpha_j\sum_{k=j}^n\frac{1}{(q;q)_{n-k}(aq^2;q)_{n+k}}\frac{(1-aq^{2k+1})(aq/b;q)_k(-b)^kq^{\binom k2}}{(1-aq)(bq;q)_k} \end{align}
ここで,
\begin{align} &\sum_{k=j}^n\frac{1}{(q;q)_{n-k}(aq^2;q)_{n+k}}\frac{(1-aq^{2k+1})(aq/b;q)_k(-b)^kq^{\binom k2}}{(1-aq)(bq;q)_k}\\ &=\frac 1{(q,aq^2;q)_n}\sum_{k=j}^n\frac{(1-aq^{2k+1})(aq/b,q^{-n};q)_k(bq^n)^k}{(1-aq)(bq,aq^{n+2};q)_k}\\ &=\frac 1{(1-bq^n)(q,aq^2;q)_n}\sum_{k=j}^n\frac{((1-bq^k)(1-aq^{n+k+1})-bq^n(1-aq^{k+1}/b)(1-q^{k-n}))(aq/b,q^{-n};q)_k(bq^n)^k}{(1-aq)(bq,aq^{n+2};q)_k}\\ &=\frac 1{(1-bq^n)(1-aq)(q,aq^2;q)_n}\sum_{k=j}^n\left(\frac{(aq/b,q^{-n};q)_k(bq^n)^k}{(bq,aq^{n+2};q)_{k-1}}-\frac{(aq/b,q^{-n};q)_{k+1}(bq^n)^{k+1}}{(bq,aq^{n+2};q)_{k}}\right)\\ &=\frac 1{(1-bq^n)(1-aq)(q,aq^2;q)_n}\frac{(aq/b,q^{-n};q)_j(bq^n)^j}{(bq,aq^{n+2};q)_{j-1}}\\ &=\frac 1{(1-bq^n)(q;q)_n}\frac{(aq/b,q^{-n};q)_j(bq^n)^j}{(bq;q)_{j-1}(aq;q)_{n+j}} \end{align}
であるから, これを代入して,
\begin{align} &\sum_{j=0}^n\frac{(b;q)_j}{(aq/b;q)_j}(-b)^{-j}q^{-\binom j2}\alpha_j\sum_{k=j}^n\frac{1}{(q;q)_{n-k}(aq^2;q)_{n+k}}\frac{(1-aq^{2k+1})(aq/b;q)_k(-b)^kq^{\binom k2}}{(1-aq)(bq;q)_k}\\ &=\sum_{j=0}^n\frac{(b;q)_j}{(aq/b;q)_j}(-b)^{-j}q^{-\binom j2}\alpha_j\frac 1{(1-bq^n)(q;q)_n}\frac{(aq/b,q^{-n};q)_j(bq^n)^j}{(bq;q)_{j-1}(aq;q)_{n+j}}\\ &=\frac{1-b}{1-bq^n}\sum_{j=0}^n\frac{\alpha_j}{(aq;q)_{n+j}(q;q)_{n-j}}\\ &=\frac{1-b}{1-bq^n}\beta_n\\ &=\beta_n^* \end{align}
となって定理が示される.

定理1を反復して適用することによって, 多重のRogers-Ramanujan型の級数を得ることができる.