文献あり

LovejoyによるBailey格子

前の記事で, Agarwal-Andrews-BressoudによるBailey格子を示したが, 別のBailey格子として, 以下のような結果もある.

Lovejoy(2004)

$(α_{n}, β_{n})$ が $a$ に関するBailey対であるとき,
$\begin{aligned} α_{n}^{*} & := \frac{(1 - a q^{2 n + 1}) (a q / b; q)_{n} (- b)^{n} q^{(\binom{n}{2})}}{(1 - a q) (b q; q)_{n}} \sum_{k = 0}^{n} \frac{(b; q)_{k}}{(a q / b; q)_{k}} (- b)^{- k} q^{- (\binom{k}{2})} α_{k} \\ β_{n}^{*} & := \frac{1 - b}{1 - b q^{n}} β_{n} \end{aligned}$
とするとき, $(α_{n}^{*}, β_{n}^{*})$ は $a q$ に関するBailey対である.

$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^{n} \frac{α_{k}^{*}}{(q; q)_{n - k} (a q^{2}; q)_{n + k}} \\ = \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{(q; q)_{n - k} (a q^{2}; q)_{n + k}} \frac{(1 - a q^{2 k + 1}) (a q / b; q)_{k} (- b)^{k} q^{(\binom{k}{2})}}{(1 - a q) (b q; q)_{k}} \sum_{j = 0}^{k} \frac{(b; q)_{j}}{(a q / b; q)_{j}} (- b)^{- j} q^{- (\binom{j}{2})} α_{j} \\ = \sum_{j = 0}^{n} \frac{(b; q)_{j}}{(a q / b; q)_{j}} (- b)^{- j} q^{- (\binom{j}{2})} α_{j} \sum_{k = j}^{n} \frac{1}{(q; q)_{n - k} (a q^{2}; q)_{n + k}} \frac{(1 - a q^{2 k + 1}) (a q / b; q)_{k} (- b)^{k} q^{(\binom{k}{2})}}{(1 - a q) (b q; q)_{k}} \end{aligned}$
ここで,
$\begin{aligned} \sum_{k = j}^{n} \frac{1}{(q; q)_{n - k} (a q^{2}; q)_{n + k}} \frac{(1 - a q^{2 k + 1}) (a q / b; q)_{k} (- b)^{k} q^{(\binom{k}{2})}}{(1 - a q) (b q; q)_{k}} \\ = \frac{1}{(q, a q^{2}; q)_{n}} \sum_{k = j}^{n} \frac{(1 - a q^{2 k + 1}) (a q / b, q^{- n}; q)_{k} (b q^{n})^{k}}{(1 - a q) (b q, a q^{n + 2}; q)_{k}} \\ = \frac{1}{(1 - b q^{n}) (q, a q^{2}; q)_{n}} \sum_{k = j}^{n} \frac{((1 - b q^{k}) (1 - a q^{n + k + 1}) - b q^{n} (1 - a q^{k + 1} / b) (1 - q^{k - n})) (a q / b, q^{- n}; q)_{k} (b q^{n})^{k}}{(1 - a q) (b q, a q^{n + 2}; q)_{k}} \\ = \frac{1}{(1 - b q^{n}) (1 - a q) (q, a q^{2}; q)_{n}} \sum_{k = j}^{n} (\frac{(a q / b, q^{- n}; q)_{k} (b q^{n})^{k}}{(b q, a q^{n + 2}; q)_{k - 1}} - \frac{(a q / b, q^{- n}; q)_{k + 1} (b q^{n})^{k + 1}}{(b q, a q^{n + 2}; q)_{k}}) \\ = \frac{1}{(1 - b q^{n}) (1 - a q) (q, a q^{2}; q)_{n}} \frac{(a q / b, q^{- n}; q)_{j} (b q^{n})^{j}}{(b q, a q^{n + 2}; q)_{j - 1}} \\ = \frac{1}{(1 - b q^{n}) (q; q)_{n}} \frac{(a q / b, q^{- n}; q)_{j} (b q^{n})^{j}}{(b q; q)_{j - 1} (a q; q)_{n + j}} \end{aligned}$
であるから, これを代入して,
$\begin{aligned} \sum_{j = 0}^{n} \frac{(b; q)_{j}}{(a q / b; q)_{j}} (- b)^{- j} q^{- (\binom{j}{2})} α_{j} \sum_{k = j}^{n} \frac{1}{(q; q)_{n - k} (a q^{2}; q)_{n + k}} \frac{(1 - a q^{2 k + 1}) (a q / b; q)_{k} (- b)^{k} q^{(\binom{k}{2})}}{(1 - a q) (b q; q)_{k}} \\ = \sum_{j = 0}^{n} \frac{(b; q)_{j}}{(a q / b; q)_{j}} (- b)^{- j} q^{- (\binom{j}{2})} α_{j} \frac{1}{(1 - b q^{n}) (q; q)_{n}} \frac{(a q / b, q^{- n}; q)_{j} (b q^{n})^{j}}{(b q; q)_{j - 1} (a q; q)_{n + j}} \\ = \frac{1 - b}{1 - b q^{n}} \sum_{j = 0}^{n} \frac{α_{j}}{(a q; q)_{n + j} (q; q)_{n - j}} \\ = \frac{1 - b}{1 - b q^{n}} β_{n} \\ = β_{n}^{*} \end{aligned}$
となって定理が示される.