Hofp-Rinowの定理の証明の概略

終点になる点$q\in M$を固定する。
(まずどっちに進むのかアタリをつける)
十分小さい$\delta_0$を取って、$p$中心で半径が$\delta_0$の球$S_{\delta_0}(p) $をとる。このとき、$S_{\delta_0}(p) $はコンパクトであるから、最大値の原理から、$d_g(x_0,q)=\text{min}\{d_g(y,q)|y\in S_{\delta_0}(p) \}$となるような$ x_0$が存在して、$x_0=\text{Exp}_p(\delta_0v_0)(v_0\in T_pM,|v_0|=1)$と表される。このとき、$c_0(t)=\text{Exp}_p(tv_0)$が最短測地線を与えることを示す。
(これが最短測地線からずれてないことを示す)
$I=\{y\in [0,d_g(p,q)]|t+d_g(c_0(t),q)=d_g(p,q)\}$とする。
$t$が$I$に属しているなら、その時点までは最短測地線からずれていないということを意味しているから、$d_g(p,q)\in I$を示せたら、最後まで伸ばし切っても最短測地線であることが従う。
(まずは$\delta_0$までは伸ばしても大丈夫なことを示す。)
$\delta_0+d_g(c_0(\delta_0),q)=d_g(p,q)$を示す。
$\geq$は三角不等式から出るから、$\leq$を示す。
最短線より$\varepsilon$だけ長い$p,q$を結ぶ曲線$c:[a,b]\to M$を用意する。
すなわち$c$は$d_g(p,q)+\varepsilon\geq L(c)$を満たす。
このとき、$c,S_{\delta_0}(p)$の交点を$y_0$とすると、$L(c)\geq d_g(p,y_0)+d_g(y_0,q)$となるから、$d_g(p,q)+\varepsilon\geq\delta_0+d_g(x_0,q)$を得て、$\varepsilon$を$0$に飛ばすと$\leq$を得るからOK
($d_g(p,q)\not\in I$を仮定し、背理法)
$t_{\infty}=\text{sup}I$とすると、$t_{\infty}\in I$で$\delta\leq t_{\infty}< d_g(p,q)$となる。
$p_1=c_0(t_{\infty})$とおいて、そこからまた$q$に方向を定めて線を伸ばすと、$c_0$を延長することができて$ t_{\infty}$の定義に矛盾。よって$d_g(p,q)\in I$となる。

(1)の仮定の下で、任意の有界閉集合がコンパクトであることを示す。
$K\subset M$:有界閉集合を固定する。このとき、$p$と$K$の最も遠い点の距離$r$は有限だから、$T_pM$の半径$r$の球を指数写像で送ったものは$K$を含みコンパクト。(ここで補題2を使っている。使わないと含まれるかわかんない。)コンパクト集合の閉部分集合はコンパクト。

(2)の仮定の下で、$M$内のCauchy列$\{p_n\}$が収束列であることを示す。
$K=\{p_n\}$は有界だから、$\bar{K}$はコンパクト。
$a\in\bar{K}$で$a$を含む$M$の任意の開集合$U$に対して$\{n|p_n\in U\}$が無限集合なものが存在する。
実際、任意の$a\in\bar{K}$に対して、有限集合となるような$U_q$が存在するなら、$\{U_q\}$は$\bar{K}$の開被覆でコンパクト性から有限個で覆える。これは$\{p_n\}$が無限列であることに反する。
この$a$に収束する部分列を取ることができて、$\{p_n\}$は$a$に収束する。

(3)の仮定の下で、任意の点$p\in M$に対し指数写像が全域で定義されていることを示す。
任意の$p\in M$に対し、$v\in T_pM$で$|v|=1$となるものを固定する。$I=\{t>0|c(t)=\text{Exp}_p(tv):[0,t]\to M\text{ is well-defined}\}$とし、$t_{\infty}=\text{sup}I$とする。$t_{\infty}=\infty$を示す。
$t_{\infty}<\infty$とし、背理法を用いる。$t_{\infty}$に収束する単調列$\{t_n\}$を取ると完備性から$q=\lim_{n\to\infty}c(t_n)$が定まる。$q$の開近傍$U$で$U$上の任意の点で一斉にある$\delta$で指数写像が取れるものが存在する。$U$に入っている$c(t_n)$で$t_{\infty}-\frac{\delta}{2}< t_n< t_{\infty}$となるものをとると、$t_n+\frac{\delta}{2}\in I$これは矛盾。