Aoki-Ohnoの関係式
前の記事 で, 補間多重ゼータ値のOhno-Zagier型の母関数表示を与え, その特別な場合として以下の系を得た.
\begin{align}
\sum_{0< k,n,s}\left(\sum_{\bk\in I_0(k,n,s)}\mathrm{Li}_{\bk}^{\star}(z)\right)u^{k-n-s}v^{n-s}w^{s-1}&=\sum_{1\leq n}\frac{(n-1)!(1-u)_{n-1}}{\prod_{k=1}^n((k-u)(k-v)-w)}z^n
\end{align}
ここで,
\begin{align}
\mathrm{Li}_{k_1,\dots,k_r}^{\star}(z):=\sum_{1\leq n_1\leq\cdots\leq n_r}\frac {z^{n_r}}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}
\end{align}
であり, $I_0(k,n,s)$は重さ$k$, 深さ$n$, 高さ$s$のインデックス全体の集合を表す.
等号付き多重ゼータ値を$\zeta^{\star}(\bk):=\mathrm{Li}_{\bk}^{\star}(1)$とする. 今回は定理1を用いて以下の結果を示す.
\begin{align}
\sum_{\bk\in I_0(k,*,s)}\zeta^{\star}(\bk)&=2\binom{k-1}{2s-1}(1-2^{1-k})\zeta(k)
\end{align}
が成り立つ. ここで, $I_0(k,*,s)$は重さ$k$, 高さ$s$のインデックス全体の集合を表す.
定理1において, $z=1, v=u$として,
\begin{align}
\sum_{0< k,s}\left(\sum_{\bk\in I_0(k,*,s)}\zeta^{\star}(\bk)\right)u^{k-2s}w^{s-1}&=\sum_{1\leq n}\frac{(n-1)!(1-u)_{n-1}}{\prod_{k=1}^n((k-u)^2-w)}
\end{align}
を得る. 右辺を$w$に関して部分分数分解すると,
\begin{align}
\sum_{1\leq n}\frac{(n-1)!(1-u)_{n-1}}{\prod_{k=1}^n((k-u)^2-w)}&=\sum_{1\leq m}\frac 1{(m-u)^2-w}\sum_{m\leq n}\frac{(n-1)!(1-u)_{n-1}}{\prod_{\substack{1\leq k\leq n\\k\neq m}}((k-u)^2-(m-u)^2)}
\end{align}
ここで, Gaussの超幾何定理より,
\begin{align}
\sum_{m\leq n}\frac{(n-1)!(1-u)_{n-1}}{\prod_{\substack{1\leq k\leq n\\k\neq m}}((k-u)^2-(m-u)^2)}&=\sum_{0\leq n}\frac{(n+m-1)!(1-u)_{n+m-1}}{\prod_{\substack{1\leq k< m}}(k-m)(k+m-2u)\cdot\prod_{\substack{m< k\leq n+m}}(k-m)(k+m-2u))}\\
&=\frac{(-1)^{m-1}(1-u)_{m-1}}{(1+m-2u)_{m-1}}\F21{m,m-u}{1+2m-2u}1\\
&=\frac{(-1)^{m-1}(1-u)_{m-1}}{(1+m-2u)_{m-1}}\frac{\Gamma(1+2m-2u)\Gamma(1-u)}{\Gamma(1+m-2u)\Gamma(1+m-u)}\\
&=\frac{(-1)^{m-1}(1-u)_{m-1}}{(1+m-2u)_{m-1}}\frac{(1+m-2u)_m}{(1-u)_m}\\
&=2(-1)^{m-1}
\end{align}
であるから,
\begin{align}
\sum_{0< k,s}\left(\sum_{\bk\in I_0(k,*,s)}\zeta^{\star}(\bk)\right)u^{k-2s}w^{s-1}&=2\sum_{1\leq m}\frac{(-1)^{m-1}}{(m-u)^2-w}
\end{align}
を得る. 両辺の$w^{s-1}$の係数を比較して,
\begin{align}
\sum_{0< k}\left(\sum_{\bk\in I_0(k,*,s)}\zeta^{\star}(\bk)\right)u^{k-2s}&=2\sum_{1\leq m}\frac{(-1)^{m-1}}{(m-u)^{2s}}
\end{align}
を得る. さらに, 両辺の$u^{k-2s}$の係数を比較すると,
\begin{align}
\sum_{\bk\in I_0(k,*,s)}\zeta^{\star}(\bk)&=2\binom{k-1}{2s-1}\sum_{1\leq m}\frac{(-1)^{m-1}}{m^k}\\
&=2(1-2^{1-k})\binom{k-1}{2s-1}\zeta(k)
\end{align}
となって定理が示された.
