15

多重ゼータ値の双対性1

1377
0
$$$$

0.目次

1.はじめに
2.多重ゼータ値
3.多重ゼータ値の双対性
4.終わりに

1.はじめに

多重ゼータ値の双対性について書きます。
ぷえ~(>_<)

2.多重ゼータ値

インデックス
  • 正の整数$k_1,k_2,\cdots k_r$の組$\boldsymbol{k}=(k_1,k_2,\cdots k_r)$を「インデックス」と呼ぶ。インデックスの内、$2\leq k_r$を満たすものを特に「許容インデックス」呼ぶ。
  • $k_1+k_2+\cdots +k_r$をインデックス$\boldsymbol{k}$の「重さ」と言い、$wt(\boldsymbol{k})$$\left| \boldsymbol{k} \right|$と書く。

  • $r$をインデックスの「深さ」と言い、$dep(\boldsymbol{k})$で表す。

  • 同一の数が繰り返されるインデックスについて、例えば$(\underbrace{a,a,\cdots,a}_{n個})$$(\lbrace a \rbrace^n)$と書くことにする。

多重ゼータ値

インデックス$\boldsymbol{k}=(k_1,k_2,\cdots k_r)$に対して、多重ゼータ値を次のように定める。

$$\zeta(\boldsymbol{k})=\sum_{0\lt n_1 \lt n_2 \lt \cdots \lt n_r}\frac{1}{n_1^{k_1}n_2^{k_2}\cdots n_r^{k_r}}$$

$\boldsymbol{k}$が許容インデックスの時、右辺の級数は収束する。

多重ゼータ値の反復積分表示

$$\omega_0(t)=\frac{dt}{t},\omega_1(t)=\frac{dt}{1-t}$$
$ \epsilon_i\in\lbrace 0,1 \rbrace, \quad i,k\in \mathbb{Z}_{\gt0}$に対して、次のような積分を定める。

$$I(\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_k)=\int_{0\lt t_1 \lt t_2 \lt \cdots \lt t_k \lt 1}\omega_{\epsilon_1}(t_1)\omega_{\epsilon_2}(t_2)\cdots\omega_{\epsilon_k}(t_k)$$

このとき、次の等式が成立する。
$$\zeta(\boldsymbol{k})=I(1,\lbrace 0 \rbrace^{k_1-1},1,\lbrace 0 \rbrace^{k_2-1},\cdots,1,\lbrace 0 \rbrace^{k_r-1})$$

例えば、
$$\begin{align} I(1,0)&=\int_{0\lt t_1 \lt t_2 \lt 1}\omega_{1}(t_1)\omega_{0}(t_2)\\ &=\int_{0\lt t_1 \lt t_2 \lt 1}\frac{dt_1}{1-t_1}\frac{dt_2}{t_2}\\ &=\int_0^{1}\frac{dt_2}{t_2}\int_0^{t_2}\frac{dt_1}{1-t_1}\\ &=\int_0^{1}\frac{dt_2}{t_2}\int_0^{t_2}\sum_{n=1}^{\infty}{t_1}^{n-1}dt_1\\ &=\sum_{n=1}^{\infty}\int_0^{1}\frac{dt_2}{t_2}\int_0^{t_2}{t_1}^{n-1}dt_1\\ &=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\int_0^{1}{t_2}^{n-1}dt_2\\ &=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\\ &=\zeta(2) \end{align}$$

となるので$I(1,0)=\zeta(2)$が成り立ちます。また、

$$\begin{align} I(1,1,0)&=\int_{0\lt t_1 \lt t_2 \lt t_3 \lt 1}\omega_{1}(t_1)\omega_{1}(t_2)\omega_{0}(t_3)\\ &=\int_{0\lt t_1 \lt t_2 \lt t_3 \lt 1}\frac{dt_1}{1-t_1}\frac{dt_2}{1-t_2}\frac{dt_3}{t_3}\\ &=\int_0^{1}\frac{dt_3}{t_3}\int_0^{t_3}\frac{dt_2}{1-t_2}\int_0^{t_2}\frac{dt_1}{1-t_1}\\ &=\int_0^{1}\frac{dt_3}{t_3}\int_0^{t_3}\frac{dt_2}{1-t_2}\int_0^{t_2}\sum_{n=1}^{\infty}{t_1}^{n-1}dt_1\\ &=\sum_{n=1}^{\infty}\int_0^{1}\frac{dt_3}{t_3}\int_0^{t_3}\frac{dt_2}{1-t_2}\int_0^{t_2}{t_1}^{n-1}dt_1\\ &=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\int_0^{1}\frac{dt_3}{t_3}\int_0^{t_3}\frac{{t_2}^n}{1-t_2}dt_2\\ &=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\int_0^{1}\frac{dt_3}{t_3}\int_0^{t_3}\sum_{m=1}^{\infty}{t_2}^{n+m-1}dt_2\\ &=\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{n}\int_0^{1}\frac{dt_3}{t_3}\int_0^{t_3}{t_2}^{n+m-1}dt_2\\ &=\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+m)}\int_0^{1}{t_3}^{n+m-1}dt_3\\ &=\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+m)^2}\\ &=\sum_{0\lt n_1 \lt n_2}\frac{1}{{n_1}{n_2}^2}\\ &=\zeta(1,2) \end{align}$$
となるので$I(1,1,0)=\zeta(1,2)$が成り立ちます。

上の2つの例のように、無限等比級数の和の公式を用いながら順に積分を実行していけば、定理1が成り立つことを確認できます。

3.多重ゼータ値の双対性

双対インデックス

許容インデックス$\boldsymbol{k}$は正整数$a_1,a_2,\cdots,a_m,b_1,b_2,\cdots,b_m$を用いて
$$\boldsymbol{k}=(\lbrace 1 \rbrace^{a_1-1},b_1+1,\cdots,\lbrace 1 \rbrace^{a_m-1},b_m+1)$$
と一意的に書ける。このとき、$\boldsymbol{k}$の「双対インデックス」$\boldsymbol{k}^{\dagger}$を次で定める。
$$\boldsymbol{k^{\dagger}}=(\lbrace 1 \rbrace^{b_m-1},a_m+1,\cdots,\lbrace 1 \rbrace^{b_1-1},a_1+1)$$

多重ゼータ値の双対性

許容インデックス$\boldsymbol{k}$と、その双対インデックス$\boldsymbol{k^{\dagger}}$に対して
$$\zeta(\boldsymbol{k})=\zeta(\boldsymbol{k^{\dagger}})$$

$\boldsymbol{k}=(\lbrace 1 \rbrace^{a_1-1},b_1+1,\cdots,\lbrace 1 \rbrace^{a_m-1},b_m+1)$とおくと、定理1により
$$\zeta(\boldsymbol{k})=I(\lbrace 1 \rbrace^{a_1},\lbrace 0 \rbrace^{b_1},\cdots,\lbrace 1 \rbrace^{a_m},\lbrace 0 \rbrace^{b_m})$$
$$\zeta(\boldsymbol{k^{\dagger}})=I(\lbrace 1 \rbrace^{b_m},\lbrace 0 \rbrace^{a_m},\cdots,\lbrace 1 \rbrace^{b_1},\lbrace 0 \rbrace^{a_1})$$
がそれぞれ成り立つ。したがって
$$I(\lbrace 1 \rbrace^{a_1},\lbrace 0 \rbrace^{b_1},\cdots,\lbrace 1 \rbrace^{a_m},\lbrace 0 \rbrace^{b_m})=I(\lbrace 1 \rbrace^{b_m},\lbrace 0 \rbrace^{a_m},\cdots,\lbrace 1 \rbrace^{b_1},\lbrace 0 \rbrace^{a_1})$$
を示せばよい。

(以下$\left| \boldsymbol{k} \right|$$\boldsymbol{k}$の重さを表すことに注意)

\begin{align} I(\lbrace 1 \rbrace^{a_1},\lbrace 0 \rbrace^{b_1},\cdots,\lbrace 1 \rbrace^{a_m},\lbrace 0 \rbrace^{b_m}) &=\int_{0\lt t_1 \lt t_2 \lt \cdots \lt t_{\left| \boldsymbol{k} \right|} \lt 1}\omega_{\epsilon_1}(t_1)\omega_{\epsilon_2}(t_2)\cdots\omega_{\epsilon_{\left| \boldsymbol{k} \right|}}(t_{\left| \boldsymbol{k} \right|})\\ \end{align}
ここで変数変換$t_i=1-x_i \ (i=1,2,\cdots ,\left| \boldsymbol{k} \right|)$を行う。
$ J $をヤコビアンとし、$\epsilon'_i$を次で定める。
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \epsilon_i=0\Longrightarrow \epsilon'_i=1\\ \epsilon_i=1\Longrightarrow \epsilon'_i=0 \end{array} \right. \end{eqnarray}

\begin{align} J&=\begin{vmatrix} \frac{\partial t_1}{\partial x_1} &\frac{\partial t_2}{\partial x_1} &\cdots &\frac{\partial t_{\left| \boldsymbol{k} \right|}}{\partial x_1}\\ \frac{\partial t_1}{\partial x_2} &\frac{\partial t_2}{\partial x_2} &\cdots &\frac{\partial t_{\left| \boldsymbol{k} \right|}}{\partial x_2}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ \frac{\partial t_1}{\partial x_{\left| \boldsymbol{k} \right|}} &\frac{\partial t_2}{\partial x_{\left| \boldsymbol{k} \right|}} &\cdots &\frac{\partial t_{\left| \boldsymbol{k} \right|}}{\partial x_\left| \boldsymbol{k} \right|} \end{vmatrix}\\ \\ &=\begin{vmatrix} -1 &0 &\cdots &0 \\ 0 &-1 &\cdots &0\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ 0 &0 &\dots &-1 \end{vmatrix}\\ \\ &=(-1)^{\left| \boldsymbol{k} \right|} \end{align}
となるので
\begin{align} I(\lbrace 1 \rbrace^{a_1},\lbrace 0 \rbrace^{b_1},\cdots,\lbrace 1 \rbrace^{a_m},\lbrace 0 \rbrace^{b_m}) &=\int_{0\lt 1-x_1 \lt 1-x_2 \lt \cdots \lt 1-x_{\left| \boldsymbol{k} \right|} \lt 1}\omega_{\epsilon_1}(1-x_1)\omega_{\epsilon_2}(1-x_2)\cdots\omega_{\epsilon_{\left| \boldsymbol{k} \right|}}(1-x_{\left| \boldsymbol{k} \right|})\left| J \right|\\ &=\int_{0\lt x_{\left| \boldsymbol{k} \right|} \lt x_{\left| \boldsymbol{k} \right|-1} \lt \cdots \lt x_{1} \lt 1}\omega_{\epsilon'_{\left| \boldsymbol{k} \right|}}(x_{\left| \boldsymbol{k} \right|})\omega_{\epsilon'_{\left| \boldsymbol{k} \right|-1}}(x_{\left| \boldsymbol{k} \right|-1})\cdots\omega_{\epsilon'_{1}}(x_1)\ \\ \end{align}
$\epsilon'$の性質と積分の順序に注意すると、最後の積分は
$$I(\lbrace 1 \rbrace^{b_m},\lbrace 0 \rbrace^{a_m},\cdots,\lbrace 1 \rbrace^{b_1},\lbrace 0 \rbrace^{a_1})$$
に等しいことが分かる。したがって
$$I(\lbrace 1 \rbrace^{a_1},\lbrace 0 \rbrace^{b_1},\cdots,\lbrace 1 \rbrace^{a_m},\lbrace 0 \rbrace^{b_m})=I(\lbrace 1 \rbrace^{b_m},\lbrace 0 \rbrace^{a_m},\cdots,\lbrace 1 \rbrace^{b_1},\lbrace 0 \rbrace^{a_1}) \blacksquare$$

4.終わりに

少し前に学校で「自分が学んできた数学について自由に書く」という課題が出て、そこに書いた内容の一部を今回の記事にまとめました。続編も書く予定です。。。
ぷえ~(>_<)$\leftarrow$この顔かわいくて気に入りました。

参考文献

  1. https://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~mkaneko/papers/MZV_LectureNotes.pdf
投稿日:2023820
更新日:111
OptHub AI Competition

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。

投稿者

余余余
余余余
210
12579
よよよよよよよよよよよよ

コメント

他の人のコメント

コメントはありません。
読み込み中...
読み込み中