多重ゼータ値の双対性1
0.目次
1.はじめに
2.多重ゼータ値
3.多重ゼータ値の双対性
4.終わりに
1.はじめに
多重ゼータ値の双対性について書きます。
ぷえ～(>_<)
2.多重ゼータ値
- 正の整数$k_1,k_2,\cdots k_r$の組$\boldsymbol{k}=(k_1,k_2,\cdots k_r)$を「インデックス」と呼ぶ。インデックスの内、$2\leq k_r$を満たすものを特に「許容インデックス」呼ぶ。
$k_1+k_2+\cdots +k_r$をインデックス$\boldsymbol{k}$の「重さ」と言い、$wt(\boldsymbol{k})$や$\left| \boldsymbol{k} \right|$と書く。
$r$をインデックスの「深さ」と言い、$dep(\boldsymbol{k})$で表す。
同一の数が繰り返されるインデックスについて、例えば$(\underbrace{a,a,\cdots,a}_{n個})$を$(\lbrace a \rbrace^n)$と書くことにする。
インデックス$\boldsymbol{k}=(k_1,k_2,\cdots k_r)$に対して、多重ゼータ値を次のように定める。
$$\zeta(\boldsymbol{k})=\sum_{0\lt n_1 \lt n_2 \lt \cdots \lt n_r}\frac{1}{n_1^{k_1}n_2^{k_2}\cdots n_r^{k_r}}$$
$\boldsymbol{k}$が許容インデックスの時、右辺の級数は収束する。
$$\omega_0(t)=\frac{1}{t},\omega_1(t)=\frac{1}{1-t}$$
$ \epsilon_i\in\lbrace 0,1 \rbrace, \quad i,k\in \mathbb{Z}_{\gt0}$に対して、次のような積分を定める。
$$I(\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_k)=\int_{0\lt t_1 \lt t_2 \lt \cdots \lt t_k \lt 1}\omega_{\epsilon_1}(t_1)\omega_{\epsilon_2}(t_2)\cdots\omega_{\epsilon_k}(t_k)\ dt_1 dt_2 \cdots dt_{k}$$
このとき、次の等式が成立する。
$$\zeta(\boldsymbol{k})=I(1,\lbrace 0 \rbrace^{k_1-1},1,\lbrace 0 \rbrace^{k_2-1},\cdots,1,\lbrace 0 \rbrace^{k_r-1})$$
例えば、
$$\begin{align}
I(1,0)&=\int_{0\lt t_1 \lt t_2 \lt 1}\omega_{1}(t_1)\omega_{0}(t_2)\ dt_1 dt_2\\
&=\int_{0\lt t_1 \lt t_2 \lt 1}\frac{dt_1}{1-t_1}\frac{dt_2}{t_2}\\
&=\int_0^{1}\frac{dt_2}{t_2}\int_0^{t_2}\frac{dt_1}{1-t_1}\\
&=\int_0^{1}\frac{dt_2}{t_2}\int_0^{t_2}\sum_{n=1}^{\infty}{t_1}^{n-1}dt_1\\
&=\sum_{n=1}^{\infty}\int_0^{1}\frac{dt_2}{t_2}\int_0^{t_2}{t_1}^{n-1}dt_1\\
&=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\int_0^{1}{t_2}^{n-1}dt_2\\
&=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\\
&=\zeta(2)
\end{align}$$
となるので$I(1,0)=\zeta(2)$が成り立ちます。また、
$$\begin{align}
I(1,1,0)&=\int_{0\lt t_1 \lt t_2 \lt t_3 \lt 1}\omega_{1}(t_1)\omega_{1}(t_2)\omega_{0}(t_3)\ dt_1 dt_2dt_3\\
&=\int_{0\lt t_1 \lt t_2 \lt t_3 \lt 1}\frac{dt_1}{1-t_1}\frac{dt_2}{1-t_2}\frac{dt_3}{t_3}\\
&=\int_0^{1}\frac{dt_3}{t_3}\int_0^{t_3}\frac{dt_2}{1-t_2}\int_0^{t_2}\frac{dt_1}{1-t_1}\\
&=\int_0^{1}\frac{dt_3}{t_3}\int_0^{t_3}\frac{dt_2}{1-t_2}\int_0^{t_2}\sum_{n=1}^{\infty}{t_1}^{n-1}dt_1\\
&=\sum_{n=1}^{\infty}\int_0^{1}\frac{dt_3}{t_3}\int_0^{t_3}\frac{dt_2}{1-t_2}\int_0^{t_2}{t_1}^{n-1}dt_1\\
&=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\int_0^{1}\frac{dt_3}{t_3}\int_0^{t_3}\frac{{t_2}^n}{1-t_2}dt_2\\
&=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\int_0^{1}\frac{dt_3}{t_3}\int_0^{t_3}\sum_{m=1}^{\infty}{t_2}^{n+m-1}dt_2\\
&=\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{n}\int_0^{1}\frac{dt_3}{t_3}\int_0^{t_3}{t_2}^{n+m-1}dt_2\\
&=\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+m)}\int_0^{1}{t_3}^{n+m-1}dt_3\\
&=\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+m)^2}\\
&=\sum_{0\lt n_1 \lt n_2}\frac{1}{{n_1}{n_2}^2}\\
&=\zeta(1,2)
\end{align}$$
となるので$I(1,1,0)=\zeta(1,2)$が成り立ちます。
上の2つの例のように、無限等比級数の和の公式を用いながら順に積分を実行していけば、定理1が成り立つことを確認できます。
3.多重ゼータ値の双対性
許容インデックス$\boldsymbol{k}$は正整数$a_1,a_2,\cdots,a_m,b_1,b_2,\cdots,b_m$を用いて
$$\boldsymbol{k}=(\lbrace 1 \rbrace^{a_1-1},b_1+1,\cdots,\lbrace 1 \rbrace^{a_m-1},b_m+1)$$
と一意的に書ける。このとき、$\boldsymbol{k}$の「双対インデックス」$\boldsymbol{k}^{\dagger}$を次で定める。
$$\boldsymbol{k^{\dagger}}=(\lbrace 1 \rbrace^{b_m-1},a_m+1,\cdots,\lbrace 1 \rbrace^{b_1-1},a_1+1)$$
許容インデックス$\boldsymbol{k}$と、その双対インデックス$\boldsymbol{k^{\dagger}}$に対して
$$\zeta(\boldsymbol{k})=\zeta(\boldsymbol{k^{\dagger}})$$
$\boldsymbol{k}=(\lbrace 1 \rbrace^{a_1-1},b_1+1,\cdots,\lbrace 1 \rbrace^{a_m-1},b_m+1)$とおくと、定理1により
$$\zeta(\boldsymbol{k})=I(\lbrace 1 \rbrace^{a_1},\lbrace 0 \rbrace^{b_1},\cdots,\lbrace 1 \rbrace^{a_m},\lbrace 0 \rbrace^{b_m})$$
$$\zeta(\boldsymbol{k^{\dagger}})=I(\lbrace 1 \rbrace^{b_m},\lbrace 0 \rbrace^{a_m},\cdots,\lbrace 1 \rbrace^{b_1},\lbrace 0 \rbrace^{a_1})$$
がそれぞれ成り立つ。したがって
$$I(\lbrace 1 \rbrace^{a_1},\lbrace 0 \rbrace^{b_1},\cdots,\lbrace 1 \rbrace^{a_m},\lbrace 0 \rbrace^{b_m})=I(\lbrace 1 \rbrace^{b_m},\lbrace 0 \rbrace^{a_m},\cdots,\lbrace 1 \rbrace^{b_1},\lbrace 0 \rbrace^{a_1})$$
を示せばよい。
(以下$\left| \boldsymbol{k} \right|$が$\boldsymbol{k}$の重さを表すことに注意)
\begin{align}
I(\lbrace 1 \rbrace^{a_1},\lbrace 0 \rbrace^{b_1},\cdots,\lbrace 1 \rbrace^{a_m},\lbrace 0 \rbrace^{b_m})
&=\int_{0\lt t_1 \lt t_2 \lt \cdots \lt t_{\left| \boldsymbol{k} \right|} \lt 1}\omega_{\epsilon_1}(t_1)\omega_{\epsilon_2}(t_2)\cdots\omega_{\epsilon_{\left| \boldsymbol{k} \right|}}(t_{\left| \boldsymbol{k} \right|})\ dt_1 dt_2 \cdots dt_{\left| \boldsymbol{k} \right|}\\
&=\int_{0}^{1}\omega_{\epsilon_{\left| \boldsymbol{k} \right|}}(t_{\left| \boldsymbol{k} \right|})\int_{0}^{t_{\left| \boldsymbol{k} \right|}}\omega_{\epsilon_{\left| \boldsymbol{k} \right|-1}}(t_{\left| \boldsymbol{k} \right|-1})\cdots \int_{0}^{t_2}\omega_{\epsilon_1}(t_{1})\ dt_1 dt_2 \cdots dt_{\left| \boldsymbol{k} \right|}
\end{align}
ここで変数変換$t_i=1-x_i \ (i=1,2,\cdots ,\left| \boldsymbol{k} \right|)$を行う。
$\left| J \right|$をヤコビアンとし、$\epsilon'_i$を次で定める。
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\epsilon_i=0\Longrightarrow \epsilon'_i=1\\
\epsilon_i=1\Longrightarrow \epsilon'_i=0
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
\begin{align}
\left| J \right|&=\begin{vmatrix}
\frac{dx_1}{dt_1} &\frac{dx_2}{dt_1} &\cdots &\frac{dx_{\left| \boldsymbol{k} \right|}}{dt_1}\\
\frac{dx_1}{dt_2} &\frac{dx_2}{dt_2} &\cdots &\frac{dx_{\left| \boldsymbol{k} \right|}}{dt_2}\\
\vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\
\frac{dx_1}{dt_{\left| \boldsymbol{k} \right|}} &\frac{dx_2}{dt_{\left| \boldsymbol{k} \right|}} &\cdots &\frac{dx_{\left| \boldsymbol{k} \right|}}{dt_\left| \boldsymbol{k} \right|}
\end{vmatrix}\\
\\
&=\begin{vmatrix}
-1 &0 &\cdots &0 \\
0 &-1 &\cdots &0\\
\vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\
0 &0 &\dots &-1
\end{vmatrix}\\
\\
&=(-1)^{\left| \boldsymbol{k} \right|}
\end{align}
となるので
\begin{align}
I(\lbrace 1 \rbrace^{a_1},\lbrace 0 \rbrace^{b_1},\cdots,\lbrace 1 \rbrace^{a_m},\lbrace 0 \rbrace^{b_m})
&=(-1)^{\left| \boldsymbol{k} \right|}\int_{1}^{0}\omega_{\epsilon_{\left| \boldsymbol{k} \right|}}(1-x_{\left| \boldsymbol{k} \right|})\int_{1}^{x_{\left| \boldsymbol{k} \right|}}\omega_{\epsilon_{\left| \boldsymbol{k} \right|-1}}(1-x_{\left| \boldsymbol{k} \right|-1})\cdots \int_{1}^{x_2}\omega_{\epsilon_1}(1-x_{1})\ dx_1 dx_2 \cdots dx_{\left| \boldsymbol{k} \right|}\\
&=\int_{0}^{1}\omega_{\epsilon'_{\left| \boldsymbol{k} \right|}}(x_{\left| \boldsymbol{k} \right|})\int_{x_{\left| \boldsymbol{k} \right|}}^{1}\omega_{\epsilon'_{\left| \boldsymbol{k} \right|-1}}(x_{\left| \boldsymbol{k} \right|-1})\cdots \int_{x_2}^{1}\omega_{\epsilon'_1}(x_{1})\ dx_1 dx_2 \cdots dx_{\left| \boldsymbol{k} \right|}\\
&=\int_{0\lt x_{\left| \boldsymbol{k} \right|} \lt x_{\left| \boldsymbol{k} \right|-1} \lt \cdots \lt x_{1} \lt 1}\omega_{\epsilon'_{\left| \boldsymbol{k} \right|}}(x_{\left| \boldsymbol{k} \right|})\omega_{\epsilon'_{\left| \boldsymbol{k} \right|-1}}(x_{\left| \boldsymbol{k} \right|-1})\cdots\omega_{\epsilon'_{1}}(x_1)\ dx_1 dx_2 \cdots dx_{\left| \boldsymbol{k} \right|}\\
\end{align}
$\epsilon'$の性質と積分の順序に注意すると、最後の積分は
$$I(\lbrace 1 \rbrace^{b_m},\lbrace 0 \rbrace^{a_m},\cdots,\lbrace 1 \rbrace^{b_1},\lbrace 0 \rbrace^{a_1})$$
に等しいことが分かる。したがって
$$I(\lbrace 1 \rbrace^{a_1},\lbrace 0 \rbrace^{b_1},\cdots,\lbrace 1 \rbrace^{a_m},\lbrace 0 \rbrace^{b_m})=I(\lbrace 1 \rbrace^{b_m},\lbrace 0 \rbrace^{a_m},\cdots,\lbrace 1 \rbrace^{b_1},\lbrace 0 \rbrace^{a_1}) \blacksquare$$
4.終わりに
少し前に学校で「自分が学んできた数学について自由に書く」という課題が出て、そこに書いた内容の一部を今回の記事にまとめました。続編も書く予定です。。。
ぷえ～(>_<)$\leftarrow$この顔かわいくて気に入りました。