15

多重ゼータ値の双対性1

1781
0
$$$$

0.目次

1.はじめに
2.多重ゼータ値
3.多重ゼータ値の双対性
4.終わりに

1.はじめに

多重ゼータ値の双対性について書きます。
ぷえ~(>_<)

2.多重ゼータ値

インデックス
  • 正の整数$k_1,k_2,\cdots k_r$の組$\boldsymbol{k}=(k_1,k_2,\cdots k_r)$を「インデックス」と呼ぶ。インデックスの内、$2\leq k_r$を満たすものを特に「許容インデックス」呼ぶ。
  • $k_1+k_2+\cdots +k_r$をインデックス$\boldsymbol{k}$の「重さ」と言い、$wt(\boldsymbol{k})$$\left| \boldsymbol{k} \right|$と書く。

  • $r$をインデックスの「深さ」と言い、$dep(\boldsymbol{k})$で表す。

  • 同一の数が繰り返されるインデックスについて、例えば$(\underbrace{a,a,\cdots,a}_{n個})$$(\lbrace a \rbrace^n)$と書くことにする。

多重ゼータ値

インデックス$\boldsymbol{k}=(k_1,k_2,\cdots k_r)$に対して、多重ゼータ値を次のように定める。

$$\zeta(\boldsymbol{k})=\sum_{0\lt n_1 \lt n_2 \lt \cdots \lt n_r}\frac{1}{n_1^{k_1}n_2^{k_2}\cdots n_r^{k_r}}$$

$\boldsymbol{k}$が許容インデックスの時、右辺の級数は収束する。

多重ゼータ値の反復積分表示

$$\omega_0(t)=\frac{dt}{t},\omega_1(t)=\frac{dt}{1-t}$$
$ \epsilon_i\in\lbrace 0,1 \rbrace, \quad i,k\in \mathbb{Z}_{\gt0}$に対して、次のような積分を定める。

$$I(\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_k)=\int_{0\lt t_1 \lt t_2 \lt \cdots \lt t_k \lt 1}\omega_{\epsilon_1}(t_1)\omega_{\epsilon_2}(t_2)\cdots\omega_{\epsilon_k}(t_k)$$

このとき、次の等式が成立する。
$$\zeta(\boldsymbol{k})=I(1,\lbrace 0 \rbrace^{k_1-1},1,\lbrace 0 \rbrace^{k_2-1},\cdots,1,\lbrace 0 \rbrace^{k_r-1})$$

例えば、
$$\begin{align} I(1,0)&=\int_{0\lt t_1 \lt t_2 \lt 1}\omega_{1}(t_1)\omega_{0}(t_2)\\ &=\int_{0\lt t_1 \lt t_2 \lt 1}\frac{dt_1}{1-t_1}\frac{dt_2}{t_2}\\ &=\int_0^{1}\frac{dt_2}{t_2}\int_0^{t_2}\frac{dt_1}{1-t_1}\\ &=\int_0^{1}\frac{dt_2}{t_2}\int_0^{t_2}\sum_{n=1}^{\infty}{t_1}^{n-1}dt_1\\ &=\sum_{n=1}^{\infty}\int_0^{1}\frac{dt_2}{t_2}\int_0^{t_2}{t_1}^{n-1}dt_1\\ &=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\int_0^{1}{t_2}^{n-1}dt_2\\ &=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\\ &=\zeta(2) \end{align}$$

となるので$I(1,0)=\zeta(2)$が成り立ちます。また、

$$\begin{align} I(1,1,0)&=\int_{0\lt t_1 \lt t_2 \lt t_3 \lt 1}\omega_{1}(t_1)\omega_{1}(t_2)\omega_{0}(t_3)\\ &=\int_{0\lt t_1 \lt t_2 \lt t_3 \lt 1}\frac{dt_1}{1-t_1}\frac{dt_2}{1-t_2}\frac{dt_3}{t_3}\\ &=\int_0^{1}\frac{dt_3}{t_3}\int_0^{t_3}\frac{dt_2}{1-t_2}\int_0^{t_2}\frac{dt_1}{1-t_1}\\ &=\int_0^{1}\frac{dt_3}{t_3}\int_0^{t_3}\frac{dt_2}{1-t_2}\int_0^{t_2}\sum_{n=1}^{\infty}{t_1}^{n-1}dt_1\\ &=\sum_{n=1}^{\infty}\int_0^{1}\frac{dt_3}{t_3}\int_0^{t_3}\frac{dt_2}{1-t_2}\int_0^{t_2}{t_1}^{n-1}dt_1\\ &=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\int_0^{1}\frac{dt_3}{t_3}\int_0^{t_3}\frac{{t_2}^n}{1-t_2}dt_2\\ &=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\int_0^{1}\frac{dt_3}{t_3}\int_0^{t_3}\sum_{m=1}^{\infty}{t_2}^{n+m-1}dt_2\\ &=\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{n}\int_0^{1}\frac{dt_3}{t_3}\int_0^{t_3}{t_2}^{n+m-1}dt_2\\ &=\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+m)}\int_0^{1}{t_3}^{n+m-1}dt_3\\ &=\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+m)^2}\\ &=\sum_{0\lt n_1 \lt n_2}\frac{1}{{n_1}{n_2}^2}\\ &=\zeta(1,2) \end{align}$$
となるので$I(1,1,0)=\zeta(1,2)$が成り立ちます。

上の2つの例のように、無限等比級数の和の公式を用いながら順に積分を実行していけば、定理1が成り立つことを確認できます。

3.多重ゼータ値の双対性

双対インデックス

許容インデックス$\boldsymbol{k}$は正整数$a_1,a_2,\cdots,a_m,b_1,b_2,\cdots,b_m$を用いて
$$\boldsymbol{k}=(\lbrace 1 \rbrace^{a_1-1},b_1+1,\cdots,\lbrace 1 \rbrace^{a_m-1},b_m+1)$$
と一意的に書ける。このとき、$\boldsymbol{k}$の「双対インデックス」$\boldsymbol{k}^{\dagger}$を次で定める。
$$\boldsymbol{k^{\dagger}}=(\lbrace 1 \rbrace^{b_m-1},a_m+1,\cdots,\lbrace 1 \rbrace^{b_1-1},a_1+1)$$

多重ゼータ値の双対性

許容インデックス$\boldsymbol{k}$と、その双対インデックス$\boldsymbol{k^{\dagger}}$に対して
$$\zeta(\boldsymbol{k})=\zeta(\boldsymbol{k^{\dagger}})$$

$\boldsymbol{k}=(\lbrace 1 \rbrace^{a_1-1},b_1+1,\cdots,\lbrace 1 \rbrace^{a_m-1},b_m+1)$とおくと、定理1により
$$\zeta(\boldsymbol{k})=I(\lbrace 1 \rbrace^{a_1},\lbrace 0 \rbrace^{b_1},\cdots,\lbrace 1 \rbrace^{a_m},\lbrace 0 \rbrace^{b_m})$$
$$\zeta(\boldsymbol{k^{\dagger}})=I(\lbrace 1 \rbrace^{b_m},\lbrace 0 \rbrace^{a_m},\cdots,\lbrace 1 \rbrace^{b_1},\lbrace 0 \rbrace^{a_1})$$
がそれぞれ成り立つ。したがって
$$I(\lbrace 1 \rbrace^{a_1},\lbrace 0 \rbrace^{b_1},\cdots,\lbrace 1 \rbrace^{a_m},\lbrace 0 \rbrace^{b_m})=I(\lbrace 1 \rbrace^{b_m},\lbrace 0 \rbrace^{a_m},\cdots,\lbrace 1 \rbrace^{b_1},\lbrace 0 \rbrace^{a_1})$$
を示せばよい。

(以下$\left| \boldsymbol{k} \right|$$\boldsymbol{k}$の重さを表すことに注意)

\begin{align} I(\lbrace 1 \rbrace^{a_1},\lbrace 0 \rbrace^{b_1},\cdots,\lbrace 1 \rbrace^{a_m},\lbrace 0 \rbrace^{b_m}) &=\int_{0\lt t_1 \lt t_2 \lt \cdots \lt t_{\left| \boldsymbol{k} \right|} \lt 1}\omega_{\epsilon_1}(t_1)\omega_{\epsilon_2}(t_2)\cdots\omega_{\epsilon_{\left| \boldsymbol{k} \right|}}(t_{\left| \boldsymbol{k} \right|})\\ \end{align}
ここで変数変換$t_i=1-x_i \ (i=1,2,\cdots ,\left| \boldsymbol{k} \right|)$を行う。
$ J $をヤコビアンとし、$\epsilon'_i$を次で定める。
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \epsilon_i=0\Longrightarrow \epsilon'_i=1\\ \epsilon_i=1\Longrightarrow \epsilon'_i=0 \end{array} \right. \end{eqnarray}

\begin{align} J&=\begin{vmatrix} \frac{\partial t_1}{\partial x_1} &\frac{\partial t_2}{\partial x_1} &\cdots &\frac{\partial t_{\left| \boldsymbol{k} \right|}}{\partial x_1}\\ \frac{\partial t_1}{\partial x_2} &\frac{\partial t_2}{\partial x_2} &\cdots &\frac{\partial t_{\left| \boldsymbol{k} \right|}}{\partial x_2}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ \frac{\partial t_1}{\partial x_{\left| \boldsymbol{k} \right|}} &\frac{\partial t_2}{\partial x_{\left| \boldsymbol{k} \right|}} &\cdots &\frac{\partial t_{\left| \boldsymbol{k} \right|}}{\partial x_\left| \boldsymbol{k} \right|} \end{vmatrix}\\ \\ &=\begin{vmatrix} -1 &0 &\cdots &0 \\ 0 &-1 &\cdots &0\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ 0 &0 &\dots &-1 \end{vmatrix}\\ \\ &=(-1)^{\left| \boldsymbol{k} \right|} \end{align}
となるので
\begin{align} I(\lbrace 1 \rbrace^{a_1},\lbrace 0 \rbrace^{b_1},\cdots,\lbrace 1 \rbrace^{a_m},\lbrace 0 \rbrace^{b_m}) &=\int_{0\lt 1-x_1 \lt 1-x_2 \lt \cdots \lt 1-x_{\left| \boldsymbol{k} \right|} \lt 1}\omega_{\epsilon_1}(1-x_1)\omega_{\epsilon_2}(1-x_2)\cdots\omega_{\epsilon_{\left| \boldsymbol{k} \right|}}(1-x_{\left| \boldsymbol{k} \right|})\left| J \right|\\ &=\int_{0\lt x_{\left| \boldsymbol{k} \right|} \lt x_{\left| \boldsymbol{k} \right|-1} \lt \cdots \lt x_{1} \lt 1}\omega_{\epsilon'_{\left| \boldsymbol{k} \right|}}(x_{\left| \boldsymbol{k} \right|})\omega_{\epsilon'_{\left| \boldsymbol{k} \right|-1}}(x_{\left| \boldsymbol{k} \right|-1})\cdots\omega_{\epsilon'_{1}}(x_1)\ \\ \end{align}
$\epsilon'$の性質と積分の順序に注意すると、最後の積分は
$$I(\lbrace 1 \rbrace^{b_m},\lbrace 0 \rbrace^{a_m},\cdots,\lbrace 1 \rbrace^{b_1},\lbrace 0 \rbrace^{a_1})$$
に等しいことが分かる。したがって
$$I(\lbrace 1 \rbrace^{a_1},\lbrace 0 \rbrace^{b_1},\cdots,\lbrace 1 \rbrace^{a_m},\lbrace 0 \rbrace^{b_m})=I(\lbrace 1 \rbrace^{b_m},\lbrace 0 \rbrace^{a_m},\cdots,\lbrace 1 \rbrace^{b_1},\lbrace 0 \rbrace^{a_1}) \blacksquare$$

4.終わりに

少し前に学校で「自分が学んできた数学について自由に書く」という課題が出て、そこに書いた内容の一部を今回の記事にまとめました。続編も書く予定です。。。
ぷえ~(>_<)$\leftarrow$この顔かわいくて気に入りました。

参考文献

  1. https://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~mkaneko/papers/MZV_LectureNotes.pdf
投稿日:2023820
更新日:2024111
OptHub AI Competition

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。
バッチを贈って投稿者を応援しよう

バッチを贈ると投稿者に現金やAmazonのギフトカードが還元されます。

投稿者

余余余
余余余
227
15029
よよよよよよよよよよよよ

コメント

他の人のコメント

コメントはありません。
読み込み中...
読み込み中
  1. 0.目次
  2. 1.はじめに
  3. 2.多重ゼータ値
  4. 3.多重ゼータ値の双対性
  5. 4.終わりに
  6. 参考文献