大学数学基礎解説

多重ゼータ値の双対性1

多重ゼータ値

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0.目次

1.はじめに
2.多重ゼータ値
3.多重ゼータ値の双対性
4.終わりに

1.はじめに

多重ゼータ値の双対性について書きます。
ぷえ～(>_<)

2.多重ゼータ値

インデックス

正の整数 $k_{1}, k_{2}, \dots k_{r}$ の組 $k = (k_{1}, k_{2}, \dots k_{r})$ を「インデックス」と呼ぶ。インデックスの内、 $2 \leq k_{r}$ を満たすものを特に「許容インデックス」呼ぶ。

$k_{1} + k_{2} + \dots + k_{r}$ をインデックス $k$ の「重さ」と言い、 $w t (k)$ や $| k |$ と書く。
$r$ をインデックスの「深さ」と言い、 $d e p (k)$ で表す。
同一の数が繰り返されるインデックスについて、例えば $(\underset{n 個}{\underset{⏟}{a, a, \dots, a}})$ を $({a}^{n})$ と書くことにする。

多重ゼータ値

インデックス $k = (k_{1}, k_{2}, \dots k_{r})$ に対して、多重ゼータ値を次のように定める。

$ζ (k) = \sum_{0 < n_{1} < n_{2} < \dots < n_{r}} \frac{1}{n_{1}^{k_{1}} n_{2}^{k_{2}} \dots n_{r}^{k_{r}}}$

$k$ が許容インデックスの時、右辺の級数は収束する。

多重ゼータ値の反復積分表示

$ω_{0} (t) = \frac{d t}{t}, ω_{1} (t) = \frac{d t}{1 - t}$
$ϵ_{i} \in {0, 1}, i, k \in Z_{> 0}$ に対して、次のような積分を定める。

$I (ϵ_{1}, ϵ_{2}, \dots, ϵ_{k}) = \int_{0 < t_{1} < t_{2} < \dots < t_{k} < 1} ω_{ϵ_{1}} (t_{1}) ω_{ϵ_{2}} (t_{2}) \dots ω_{ϵ_{k}} (t_{k})$

このとき、次の等式が成立する。
$ζ (k) = I (1, {0}^{k_{1} - 1}, 1, {0}^{k_{2} - 1}, \dots, 1, {0}^{k_{r} - 1})$

例えば、
$\begin{aligned} I (1, 0) & = \int_{0 < t_{1} < t_{2} < 1} ω_{1} (t_{1}) ω_{0} (t_{2}) \\ = \int_{0 < t_{1} < t_{2} < 1} \frac{d t_{1}}{1 - t_{1}} \frac{d t_{2}}{t_{2}} \\ = \int_{0}^{1} \frac{d t_{2}}{t_{2}} \int_{0}^{t_{2}} \frac{d t_{1}}{1 - t_{1}} \\ = \int_{0}^{1} \frac{d t_{2}}{t_{2}} \int_{0}^{t_{2}} \sum_{n = 1}^{\infty} {t_{1}}^{n - 1} d t_{1} \\ = \sum_{n = 1}^{\infty} \int_{0}^{1} \frac{d t_{2}}{t_{2}} \int_{0}^{t_{2}} {t_{1}}^{n - 1} d t_{1} \\ = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n} \int_{0}^{1} {t_{2}}^{n - 1} d t_{2} \\ = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} \\ = ζ (2) \end{aligned}$

となるので $I (1, 0) = ζ (2)$ が成り立ちます。また、

$\begin{aligned} I (1, 1, 0) & = \int_{0 < t_{1} < t_{2} < t_{3} < 1} ω_{1} (t_{1}) ω_{1} (t_{2}) ω_{0} (t_{3}) \\ = \int_{0 < t_{1} < t_{2} < t_{3} < 1} \frac{d t_{1}}{1 - t_{1}} \frac{d t_{2}}{1 - t_{2}} \frac{d t_{3}}{t_{3}} \\ = \int_{0}^{1} \frac{d t_{3}}{t_{3}} \int_{0}^{t_{3}} \frac{d t_{2}}{1 - t_{2}} \int_{0}^{t_{2}} \frac{d t_{1}}{1 - t_{1}} \\ = \int_{0}^{1} \frac{d t_{3}}{t_{3}} \int_{0}^{t_{3}} \frac{d t_{2}}{1 - t_{2}} \int_{0}^{t_{2}} \sum_{n = 1}^{\infty} {t_{1}}^{n - 1} d t_{1} \\ = \sum_{n = 1}^{\infty} \int_{0}^{1} \frac{d t_{3}}{t_{3}} \int_{0}^{t_{3}} \frac{d t_{2}}{1 - t_{2}} \int_{0}^{t_{2}} {t_{1}}^{n - 1} d t_{1} \\ = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n} \int_{0}^{1} \frac{d t_{3}}{t_{3}} \int_{0}^{t_{3}} \frac{{t_{2}}^{n}}{1 - t_{2}} d t_{2} \\ = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n} \int_{0}^{1} \frac{d t_{3}}{t_{3}} \int_{0}^{t_{3}} \sum_{m = 1}^{\infty} {t_{2}}^{n + m - 1} d t_{2} \\ = \sum_{n = 1}^{\infty} \sum_{m = 1}^{\infty} \frac{1}{n} \int_{0}^{1} \frac{d t_{3}}{t_{3}} \int_{0}^{t_{3}} {t_{2}}^{n + m - 1} d t_{2} \\ = \sum_{n = 1}^{\infty} \sum_{m = 1}^{\infty} \frac{1}{n (n + m)} \int_{0}^{1} {t_{3}}^{n + m - 1} d t_{3} \\ = \sum_{n = 1}^{\infty} \sum_{m = 1}^{\infty} \frac{1}{n (n + m)^{2}} \\ = \sum_{0 < n_{1} < n_{2}} \frac{1}{n_{1} {n_{2}}^{2}} \\ = ζ (1, 2) \end{aligned}$
となるので $I (1, 1, 0) = ζ (1, 2)$ が成り立ちます。

上の2つの例のように、無限等比級数の和の公式を用いながら順に積分を実行していけば、定理1が成り立つことを確認できます。

3.多重ゼータ値の双対性

双対インデックス

許容インデックス $k$ は正整数 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{m}, b_{1}, b_{2}, \dots, b_{m}$ を用いて
$k = ({1}^{a_{1} - 1}, b_{1} + 1, \dots, {1}^{a_{m} - 1}, b_{m} + 1)$
と一意的に書ける。このとき、 $k$ の「双対インデックス」 $k^{†}$ を次で定める。
$k^{†} = ({1}^{b_{m} - 1}, a_{m} + 1, \dots, {1}^{b_{1} - 1}, a_{1} + 1)$

多重ゼータ値の双対性

許容インデックス $k$ と、その双対インデックス $k^{†}$ に対して
$ζ (k) = ζ (k^{†})$

$k = ({1}^{a_{1} - 1}, b_{1} + 1, \dots, {1}^{a_{m} - 1}, b_{m} + 1)$ とおくと、定理1により
$ζ (k) = I ({1}^{a_{1}}, {0}^{b_{1}}, \dots, {1}^{a_{m}}, {0}^{b_{m}})$
$ζ (k^{†}) = I ({1}^{b_{m}}, {0}^{a_{m}}, \dots, {1}^{b_{1}}, {0}^{a_{1}})$
がそれぞれ成り立つ。したがって
$I ({1}^{a_{1}}, {0}^{b_{1}}, \dots, {1}^{a_{m}}, {0}^{b_{m}}) = I ({1}^{b_{m}}, {0}^{a_{m}}, \dots, {1}^{b_{1}}, {0}^{a_{1}})$
を示せばよい。

(以下 $| k |$ が $k$ の重さを表すことに注意)

$\begin{aligned} I ({1}^{a_{1}}, {0}^{b_{1}}, \dots, {1}^{a_{m}}, {0}^{b_{m}}) & = \int_{0 < t_{1} < t_{2} < \dots < t_{| k |} < 1} ω_{ϵ_{1}} (t_{1}) ω_{ϵ_{2}} (t_{2}) \dots ω_{ϵ_{| k |}} (t_{| k |}) \end{aligned}$
ここで変数変換 $t_{i} = 1 - x_{i} (i = 1, 2, \dots, | k |)$ を行う。
$J$ をヤコビアンとし、 $ϵ_{i}^{'}$ を次で定める。
$\begin{array}{r} {\begin{cases} ϵ_{i} = 0 ⟹ ϵ_{i}^{'} = 1 \\ ϵ_{i} = 1 ⟹ ϵ_{i}^{'} = 0 \end{cases} \end{array}$

$\begin{aligned} J & = | \begin{array}{c} \frac{\partial t_{1}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial t_{2}}{\partial x_{1}} & \dots & \frac{\partial t_{| k |}}{\partial x_{1}} \\ \frac{\partial t_{1}}{\partial x_{2}} & \frac{\partial t_{2}}{\partial x_{2}} & \dots & \frac{\partial t_{| k |}}{\partial x_{2}} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ \frac{\partial t_{1}}{\partial x_{| k |}} & \frac{\partial t_{2}}{\partial x_{| k |}} & \dots & \frac{\partial t_{| k |}}{\partial x_{| k |}} \end{array} | \\ = | \begin{array}{c} - 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & - 1 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & - 1 \end{array} | \\ = (- 1)^{| k |} \end{aligned}$
となるので
$\begin{aligned} I ({1}^{a_{1}}, {0}^{b_{1}}, \dots, {1}^{a_{m}}, {0}^{b_{m}}) & = \int_{0 < 1 - x_{1} < 1 - x_{2} < \dots < 1 - x_{| k |} < 1} ω_{ϵ_{1}} (1 - x_{1}) ω_{ϵ_{2}} (1 - x_{2}) \dots ω_{ϵ_{| k |}} (1 - x_{| k |}) | J | \\ = \int_{0 < x_{| k |} < x_{| k | - 1} < \dots < x_{1} < 1} ω_{ϵ_{| k |}^{'}} (x_{| k |}) ω_{ϵ_{| k | - 1}^{'}} (x_{| k | - 1}) \dots ω_{ϵ_{1}^{'}} (x_{1}) \end{aligned}$
$ϵ^{'}$ の性質と積分の順序に注意すると、最後の積分は
$I ({1}^{b_{m}}, {0}^{a_{m}}, \dots, {1}^{b_{1}}, {0}^{a_{1}})$
に等しいことが分かる。したがって
$I ({1}^{a_{1}}, {0}^{b_{1}}, \dots, {1}^{a_{m}}, {0}^{b_{m}}) = I ({1}^{b_{m}}, {0}^{a_{m}}, \dots, {1}^{b_{1}}, {0}^{a_{1}}) ◼$