文献あり

微分代数

この著者は初心者として投稿しています。間違いや考慮が足りていない点が含まれている可能性が高いです。見つけたらコメント欄で優しく指摘してあげましょう。

　これは、Introduction to Lie Algebras and Representation Theoryの
1.3. Lie algebras of derivations の部分をまとめたものです。
　以下、 $F$ は体とする。

（

F -

代数）

　 $V$ は体 $F$ 上の線型空間とし、 $f : V \times V \to V$ を双線型写像とする。
　このとき、組 $(V, f)$ を $F -$ 代数という。

例1　( $g$ ,[ $\cdot, \cdot$ ])を体 $F$ 上の $L i e$ 代数とすると、( $g$ ,[ $\cdot, \cdot$ ])は $F -$ 代数である。
これを単に、 $g$ は $F -$ 代数とかく。

　 $V$ には可換とは限らない積が定まっているとする。
　 $L i e$ 代数のときは、かっこ積で考えることにする。

(線形空間

V

上の微分)

　線形写像 $\partial : V \to V$ が $L e i b n i z$ 則をみたすとき、 $\partial : V \to V$ を $V$ 上の微分とよぶ。

（微分代数）

　 $V$ 上の微分全体を $Der V$ と書いて、 $V$ の微分代数とよぶ。

　 $Der V$ は $End V$ の部分線形空間である。

（証明） $f, g \in Der V$ を任意にとると、 $x, y \in V$ に対し、
$\begin{aligned} (f + g) (x y) & = f (x y) + g (x y) \\ = f (x) y + x f (y) + g (x) y + x g (y) \\ = (f + g) (x) y + x (f + g) (y) \end{aligned}$
　 $∴ f + g \in Der V$
$k \in F, f \in Der$ を任意にとると、 $x, y \in V$ に対し、
$\begin{aligned} (k f) (x y) & = k f (x y) \\ = k (f (x) y + x f (y)) \\ = k f (x) y + k x f (y) \\ = (k f) (x) y + x (k f) (y) \end{aligned}$
　 $∴ k f \in Der V$ 　したがって、 $Der V$ は $End V$ の部分線形空間である。 $◻$

　 $Der V$ は $gl (V)$ の部分 $L i e$ 代数である。

　（証明） $f, g \in Der V$ を任意にとると、 $x, y \in V$ に対し、
$\begin{aligned} [f, g] (x y) & = (f \circ g - g \circ f) (x y) \\ = f (g (x y)) - g (f (x y)) \\ = f (g (x) y + x g (y)) - g (f (x) y + x f (y)) \\ = f (g (x) y) + f (x g (y)) - g (f (x) y) - g (x f (y)) \\ = f (g (x)) y + g (x) f (y) + f (x) g (y) + x f (g (y)) \end{aligned}$
$- g (f (x)) y - f (x) g (y) - g (x) f (y) - x g (f (y))$
$\begin{aligned} = f \circ g (x) y + x f \circ g (y) - g \circ f (x) y - x g \circ f (y) \\ = (f \circ g - g \circ f) (x) y + x (f \circ g - g \circ f) (y) \\ = [f, g] (x) y + x [f, g] (y) \end{aligned}$
$∴ [f, g] \in Der V$ したがって、 $Der V$ は $gl (V)$ の部分 $L i e$ 代数である。 $◻$

$L i e$ 代数において、微分は自然に表れる。

(随伴表現)

　 $x \in V$ に対し、 $a d (x) \in gl (V)$ を $a d (x) (y) := [x, y]$ で定める。
　この写像 $a d : V \to gl (V)$ を $V$ の随伴表現という。

　 $x \in V$ に対し、 $a d (x) \in Der V$ すなわち、 $Im (a d) \subset Der V$

　（証明） $y, z \in V$ を任意にとると、
　 $\begin{aligned} a d (x) ([y, z]) & = [x, [y, z]] \\ = - [y, [z, x]] - [z, [x, y]] \\ = [y, [x, z]] + [[x, y], z] \\ = [y, a d (x) (z)] + [a d (x) (y), z] \end{aligned}$

$f := a d (x)$ と書き直すと、 $f ([y, z]) = [y, f (z)] + [f (y), z]$
まさに、 $a d (x)$ は $L e i b n i z$ 則を満たしている。 $∴ a d (x) \in Der V ◻$

（内部微分、外部微分）

$Im (a d)$ の元を内部微分といい、 $Der V ∖ Im (a d)$ の元を外部微分という。

$W$ を $V$ の部分線型空間とする。このとき、 $a d (x)$ と単に書くと、 $a d (x) \in gl (V)$
なのか $a d (x) \in gl (W)$ なのか分からないので区別するために、
$a d (x) \in gl (W)$ を $a d_{W} (x)$ と書くことにする。