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大学数学基礎解説
東大数理院試過去問解答例(2020B03)
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ここでは東大数理の修士課程の院試の2020B0の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。
2020B03
$R=\mathbb{C}[X,Y]/(X^3-Y^3+X^4)$と、$X$で代表される元$x$と$Y$で代表される元$y$で生成される$R$の極大イデアルを$I$とする。直和
$$
S=\bigoplus_{n=0}^{\infty}I^n/I^{n+1}
$$
に対して、$S$のある直和成分の元
$$
a+I^{n+1}\in I^n/I^{n+1}
$$
$$
b+I^{m+1}\in I^m/I^{m+1}
$$
の積を
$$
ab+I^{n+m+1}\in I^{n+m}/I^{n+m+1}
$$
と定めることで、二項演算$S\times S\to S$が定まり、これを積とすることで$S$は可換環になる。以下の問いに解答しなさい。
- $I/I^2$及び$I^2/I^3$の$\mathbb{C}$線型空間としての次元を計算しなさい。
- 環準同型
$$ \begin{array}{ccc} \mathbb{C}[U,V]&\to &S\\ U&\mapsto& x\\ V&\mapsto& y \end{array} $$
の核の生成系を一つ挙げなさい。 - $R$及び$S$は環同型ではないことを示しなさい。
- 複素数$a,b,c$に対して$ax^2+bxy+cy^2\in I^2/I^3$が$0$であるとする。このとき
$$ aX^2+bXY+cY^2\in I^3+(X^3-Y^3+X^4) $$
でなければならない。しかし左辺は$2$次の斉次多項式か$0$なので、$0$になるしかない。よって$\dim I^2/I^3={\color{red}3}$である。同様の議論により$\dim I/I^2={\color{red}2}$もわかる。 - まず$f\in\mathrm{Ker}(F)$を$0$でない元とし、その$n$次の項を$f_n$とおく。このときある多項式$g_i$及び$g$が存在して
$$ \begin{split} f_n&=(U^3-V^3-V^4)g+\sum_{i=0}^{n+1}U^iV^{n+1-j}g_i\\ &=(U^3-V^3)g-\left(V^4g-\sum_{i=0}^{n+1}U^iV^{n+1-j}g_i\right) \end{split} $$
と書き表せる。$g$の最低次数が$n-4$以下であったとすると、右辺第二項の最低次数は$n$以下、右辺第一項の最低次数は$n-1$以下になり、左辺が$n$次斉次式であることに矛盾する。よって$g$の最低次数は$n-3$以上である。ここで分解$g=g_1+g_2$を、$g_1$が$n-3$次斉次式、$g_2$が最低次数が$n-2$以上の多項式になるようにとると、
$$ f_n-(U^3-V^3)g_1=(U^3-V^3)g_2-V^4g+\sum_{i=0}^{n+1}U^iV^{n+1-j}g_i $$
が成り立つ。左辺は$n$次斉次式、右辺は最低次数$n+1$以上の多項式なので、これらは$0$であり、特に任意の$n$に対して
$$ f_n\in (U^3-V^3) $$
が分かる。以上から${\color{red}U^3-V^3}$が$\mathrm{Ker}(F)$の生成元である。 - 初めに(2)に於いて定義した環準同型が全射であることを考慮すると、(2)より
$$ S\simeq\mathbb{C}[X,Y]/(X^3-Y^3) $$
が分かる。よって所望の結果を得る為には
$$ R=\mathbb{C}[X,Y]/(X^3-X^4-Y^3) $$
$$ S\simeq \mathbb{C}[X,Y]/(X^3-Y^3) $$
が環として同型でないことを示せば良い。$Y$に関する多項式$Y^3+(X^3-X^4)$はアイゼンシュタインの既約判定法により既約多項式である一方、$Y^3-X^3$は既約ではない。よって$R$が整域である一方、$S$は整域ではないから、所望の結果が従う。
投稿日：28日前
更新日：28日前
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