PILAME杯2025予選解説　問6

問4に引き続き問6の解説をします。
問4の解説はこちら↓ https://mathlog.info/articles/eas9dQxFGYfb9F5Z2OhC

問６

2問目の求値幾何です。
今回の幾何の中では比較的解きやすい問題だったと思います。
(OMC換算だと茶diffくらい？)

解説

条件から$\mathrm{\angle }$ADE=$\mathrm{\angle }$CDFであり、接弦定理から、$\mathrm{\angle }$DAB=$\mathrm{\angle }$ACBとなるので$\mathrm{△}$DAE$\backsim$$\mathrm{△}$DCFがわかります
ここで、AE=xとすると相似比はx:5となり、DA:DC=x:5となります
また、角の二等分線の性質からDA:DC=AF:5であるので、AF=xがわかり、$\mathrm{△}$AEFはAE=AFの二等辺三角形となります
もう一度、角の二等分線の性質を用いてkを実数とすると、
DA=kx,DB=3k,DC=5kと表すことができ、方べきの定理から、
$D{A}^2$=DB・DCが成り立つので、これに代入して、x=$\sqrt{15}$を得ます
したがって求める値はAB=AE+BE=x+3=$\sqrt{15}$+3となります

まとめ

問４に比べると解きやすい問題だったと思います。(私は誤読し、求める線分がADだと思っており、20分溶かしました。)
お読みいただきありがとうございました。