応用数学解説

文献あり

角運動量代数の表現

量子力学,表現論,Lie代数

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【はじめに】

本記事では空間3次元の場合を考えます。太字は3次元ベクトルを表します。またベクトル量の上付き添字 $1, 2, 3$ はそれぞれ空間の $x, y, z$ 方向に対応します。
Hilbert空間の元を $| a ⟩$ のように表記する、いわゆるブラケット記法を採用します。
本記事は物理学の教科書[1]を参考にして書かれています。数学的には厳密さを欠く部分もあるかもしれませんがご容赦ください。

量子力学と回転不変性と角運動量

本記事では角運動量代数の表現を求めます。大学で習う量子力学における鬼門のひとつがこの話題です。

角運動量代数の表現論を知っていると、シュレーディンガー方程式を解く際に非常に見通しが良くなります。シュレーディンガー方程式を解くには、時間と空間の変数を分離し、空間の変数に関する方程式: $H ψ = E ψ$ を解くことが重要です。ここで $H$ はハミルトニアン（※時間に依存しないとする）、 $E$ はその固有値、すなわちエネルギーです。水素原子のような中心力ポテンシャルの場合、系は回転対称性を持つため、ハミルトニアンも回転に対して不変です。そのため角運動量演算子 −回転の生成子− とハミルトニアンは可換であり両者には同時固有状態が存在します。よって角運動量演算子の固有状態は時間発展に対して不変であり、この基底で状態を記述することが便利かつ重要です。

量子力学における角運動量

量子力学では物理量を演算子に昇格し、それらが作用する空間の元が物体の状態と考えます。その状態空間の元を、何らかの基底を採用することで関数として表したのが波動関数です。位置による表示（位置演算子を対角化する基底における表示）を採用することが多く、通常波動関数と言えば $ψ (x)$ のように位置表示のものを指します。

量子力学では $x$ と $p$ に以下の交換関係を課します：
$\begin{array}{r} [x^{i}, p^{j}] = i ℏ δ_{i j} \end{array}$
$ℏ$ はプランク定数を $2 π$ で割ったものです。
位置表示、すなわち位置の演算子を対角化する基底を採用し、交換関係を満たす演算子としての運動量 $\hat{p}$ を
$\begin{array}{r} \hat{p} := - i ℏ \frac{\partial}{\partial x} \end{array}$
とします。ハットは演算子であることを強調するために付けました。ここで $\partial / \partial x := (\partial / \partial x^{1}, \partial / \partial x^{2}, \partial / \partial x^{3})$ です。

量子力学において角運動量は運動量を位置の微分演算子として
$\begin{array}{r} \hat{L} := \hat{x} \times \hat{p} \end{array}$
で表されます。

ここで $\hat{p}, \hat{L}$ はどちらもエルミート演算子であることに注意してください。エルミート演算子は

固有値は実数
異なる固有値に属する固有ベクトルは直交する

という重要な性質を持ちます（Appendixで証明します）。物理量は実数の固有値を持たなければならないのでエルミート演算子です。

角運動量代数

角運動量演算子は以下の関係を満たします：
$\begin{array}{r} [{\hat{L}}^{a}, {\hat{L}}^{b}] = i ℏ ϵ^{a b c} {\hat{L}}^{c} \end{array}$
$ϵ^{a b c}$ はレヴィチヴィタ記号です。SO(3)、そしてそれと準同型なSU(2)のLie代数の元は（ $ℏ$ を除けば）この関係を満たします。 $ϵ^{a b c}$ はこれらの群のLie代数の構造定数です。

以下の演算子を定義します：
$\begin{aligned} {\hat{L}}^{+} & := {\hat{L}}^{1} + i {\hat{L}}^{2}, \\ {\hat{L}}^{-} & := {\hat{L}}^{1} - i {\hat{L}}^{2} \end{aligned}$
これらは次の交換関係を満たします:
$\begin{aligned} [{\hat{L}}^{3}, {\hat{L}}^{+}] & = ℏ {\hat{L}}^{+}, \\ [{\hat{L}}^{3}, {\hat{L}}^{-}] & = - ℏ {\hat{L}}^{-}, \\ [{\hat{L}}^{+}, {\hat{L}}^{-}] & = 2 ℏ {\hat{L}}^{3} \end{aligned}$
さらに次の演算子を定義します：
$\begin{array}{r} \hat{L^{2}} := ({\hat{L}}^{1})^{2} + ({\hat{L}}^{2})^{2} + ({\hat{L}}^{3})^{2} \end{array}$
これが以下の関係を満たすことは容易に証明できます：
$\begin{array}{r} [{\hat{L}}^{2}, {\hat{L}}^{a}] = 0, [{\hat{L}}^{2}, {\hat{L}}^{\pm}] = 0 \end{array}$

角運動量の固有状態の表現

ここから先は前章の代数を満たす演算子一般に共通することを議論します。Ref.[1]に習い、一般的な議論であることを強調するため、記号を $\hat{L}$ から $\hat{j}$ に変更します。また物理的なスケールを取り除くため
$\begin{array}{r} \hat{L} / ℏ \to \hat{j} \end{array}$
とします。

改めて前章の交換関係を $\hat{j}$ で書き直しまとめます：

$\begin{array}{r} (1.1) & [{\hat{j}}^{a}, {\hat{j}}^{b}] = i ϵ^{a b c} {\hat{j}}^{c} \end{array}$

$\begin{aligned} {\hat{j}}^{+} & := {\hat{j}}^{1} + i {\hat{j}}^{2} \\ {\hat{j}}^{-} & := {\hat{j}}^{1} - i {\hat{j}}^{2} \\ {\hat{j}}^{2} & := ({\hat{j}}^{1})^{2} + ({\hat{j}}^{2})^{2} + ({\hat{j}}^{3})^{2} (※ {\hat{j}}^{2} と混同しないように) \end{aligned}$

$\begin{aligned} (1.2) & [{\hat{j}}^{3}, {\hat{j}}^{+}] & = {\hat{j}}^{+} \\ (1.3) & [{\hat{j}}^{3}, {\hat{j}}^{-}] & = - {\hat{j}}^{-} \\ (1.4) & [{\hat{j}}^{+}, {\hat{j}}^{-}] & = 2 {\hat{j}}^{3} \end{aligned}$

$\begin{array}{r} (1.5) & [{\hat{j}}^{2}, {\hat{j}}^{a}] = 0 \\ (1.6) & [{\hat{j}}^{2}, {\hat{j}}^{\pm}] = 0 \end{array}$

これらが成り立つことを示すのは定義に従い変形するだけなので省略します。

さらに次の関係が成立することに注意します：

$\begin{aligned} (1.7) & {\hat{j}}^{2} & = {\hat{j}}^{3} ({\hat{j}}^{3} + 1) + {\hat{j}}^{-} {\hat{j}}^{+} \\ (1.8) & {\hat{j}}^{2} & = {\hat{j}}^{3} ({\hat{j}}^{3} - 1) + {\hat{j}}^{+} {\hat{j}}^{-} \end{aligned}$
$\begin{array}{r} (1.9) & \hat{j^{2}} = \frac{1}{2} ({\hat{j}}^{+} {\hat{j}}^{-} + {\hat{j}}^{-} {\hat{j}}^{+}) + ({\hat{j}}^{3})^{2} \end{array}$

これらも簡単に証明できます。

以下これらの公式から導出できることに関して述べます。

【1】 Eq.(1.5)より

{\hat{j}}^{2}

と

{\hat{j}}^{3}

の同時固有状態が存在する

これは明らかかと思います。

量子力学ではふつう ${\hat{j}}^{3}$ を ${\hat{j}}^{2}$ と可換な演算子として採用し、それらの同時固有状態を考えます。 $[{\hat{j}}^{a}, {\hat{j}}^{b}]$ はゼロではないことに注意してください。

【2】

{\hat{j}}^{+}, {\hat{j}}^{-}

はそれぞれ

{\hat{j}}^{3}

の固有値をひとつ増やす・減らす演算子である

これはEq.(1.2),(1.3)から簡単に示せます。

【3】

{\hat{j}}^{2}, {\hat{j}}^{3}

の同時固有状態を

| a, b ⟩

とする。ここで

a, b

はそれぞれ

\hat{j^{2}}, {\hat{j}}^{3}

の固有値。このとき

⟨ a, b | ({\hat{j}}^{+} {\hat{j}}^{-} + {\hat{j}}^{-} {\hat{j}}^{+}) | a, b ⟩

はゼロまたは正

${\hat{j}}^{2}, {\hat{j}}^{3}$ は両方ともエルミート演算子であるから、その固有値が違う状態は直交する。すなわち $⟨ a, b | a^{'}, b^{'} ⟩ = δ_{a, a^{'}} δ_{b, b^{'}}$ が成立する（状態は規格化されているとする）。【2】より ${\hat{j}}^{+} | a, b ⟩ = λ_{a, b}^{+} | a, b + 1 ⟩, {\hat{j}}^{-} | a, b ⟩ = λ_{a, b}^{-} | a, b - 1 ⟩$ が成立し（※ $λ_{j, m}^{+}, λ_{j, m}^{-}$ はゼロの可能性もある）、また $({\hat{j}}^{+})^{†} = {\hat{j}}^{-}, ({\hat{j}}^{-})^{†} = {\hat{j}}^{+}$ なので
$\begin{aligned} ⟨ a, b | {\hat{j}}^{-} & = ⟨ a, b + 1 | (λ_{a, b}^{+})^{†}, \\ ⟨ a, b | {\hat{j}}^{+} & = ⟨ a, b - 1 | (λ_{a, b}^{-})^{†} \end{aligned}$
が成立する。これらを用いて $⟨ a, b | ({\hat{j}}^{+} {\hat{j}}^{-} + {\hat{j}}^{-} {\hat{j}}^{+}) | a, b ⟩$ を計算する。 ${\hat{j}}^{+}, {\hat{j}}^{-}$ の演算子の間に完全系 $\sum_{a^{'}, b^{'}} | a^{'}, b^{'} ⟩ ⟨ a^{'}, b^{'} | (単位演算子)$ を挟むと
$\begin{array}{r} \sum_{a^{'}, b^{'}} (⟨ a, b | {\hat{j}}^{+} | a^{'}, b^{'} ⟩ ⟨ a^{'}, b^{'} | {\hat{j}}^{-} | a, b ⟩ + ⟨ a, b | {\hat{j}}^{-} | a^{'}, b^{'} ⟩ ⟨ a^{'}, b^{'} | {\hat{j}}^{+} | a, b ⟩) \end{array}$
であるが、状態の直交性から第1項は $δ_{a^{'}, a} δ_{b^{'}, b - 1}$ 、第2項は $δ_{a^{'}, a} δ_{b^{'}, b + 1}$ に比例する。また上記の性質を用いると
$\begin{array}{r} = | λ_{a, b}^{-} |^{2} + | λ_{a, b}^{+} |^{2} \end{array}$
であることが簡単にわかる。以上より
$\begin{array}{r} ⟨ a, b | ({\hat{j}}^{+} {\hat{j}}^{-} + {\hat{j}}^{-} {\hat{j}}^{+}) | a, b ⟩ はゼロまたは正 \end{array}$
が成立する。 $_{◼}$

【4】

{\hat{j}}^{2}

の固有値を固定すると、

{\hat{j}}^{3}

の固有値には上限および下限が存在する

Eq.(1.9)を $⟨ a, b |, | a, b ⟩$ で挟むと、【3】より
$\begin{array}{r} a = C_{a, b} + b^{2} (a, b \in R, C_{a, b} \geq 0) \end{array}$
が成立する。 $a$ を固定すれば、 $C_{a, b} \geq 0$ なので、 $b$ の絶対値は上下にバウンドされている。 $_{◼}$

【5】

{\hat{j}}^{2}

の固有値を固定した際

{\hat{j}}^{3}

の固有値が最も大きい状態を

| ψ ⟩

とする。

| ψ ⟩

の

{\hat{j}}^{3}

に関する固有値を

j

とすると

\begin{array}{r} {\hat{j}}^{+} | ψ ⟩ = 0, {\hat{j}}^{3} | ψ ⟩ = j | ψ ⟩ \end{array}

であるが、このとき

{\hat{j}}^{2}

の固有値は

j (j + 1)

である：

\begin{array}{r} {\hat{j}}^{2} | ψ ⟩ = j (j + 1) | ψ ⟩ \end{array}

これはEq.(1.7)に $| ψ ⟩$ を作用させることで直ちに証明できます。

【6】

{\hat{j}}^{2}, {\hat{j}}^{3}

の固有状態を改めて

| j, m ⟩

と書き

\begin{aligned} {\hat{j}}^{2} | j, m ⟩ & = j (j + 1) | j, m ⟩, \\ j^{3} | j, m ⟩ & = m | j, m ⟩ \end{aligned}

とする。またこの状態は規格化されているとする。このとき

m

は

\begin{array}{r} m = j, j - 1, \dots, - j \end{array}

である。また

j

は整数または半整数をとる：

j = 0, 1 / 2, 1, 3 / 2, \dots

【5】より、 ${\hat{j}}^{2}$ の固有値を $j (j + 1)$ に固定した際の $m$ の最大値は $j$ である。これを $| j, j ⟩$ と書く。 ${\hat{j}}^{3}$ の固有値には下限が存在するので、 $| j, j ⟩$ に ${\hat{j}}^{-}$ を作用し続けると、どこかで状態はゼロにならなければならない。 $| j, j ⟩$ から $j^{-}$ で ${\hat{j}}^{3}$ の固有値を下げ、かつそれに係数をかけて規格化した状態を
$\begin{array}{r} | j, m ⟩, m \in N ({\hat{j}}^{3} | j, m ⟩ = m | j, m ⟩, ⟨ j, m | j, m ⟩ = 1) \end{array}$
のように表記する。いま $k (\in N) \geq 1$ を
$\begin{aligned} (j^{-})^{k - 1} | j, j ⟩ \propto | j, j - k + 1 ⟩ \neq 0, \\ (j^{-})^{k} | j, j ⟩ \propto | j, j - k ⟩ = 0 \end{aligned}$
とする。つまり $| j, j ⟩$ に $k$ 回 ${\hat{j}}^{-}$ を作用させたとき初めて状態が消えることとする。Eq.(1.8)を $| j, j - k + 1 ⟩$ で挟むと
$\begin{aligned} j (j + 1) = (j - k + 1) {(j - k + 1) - 1} \\ \leftrightarrow k (k - 2 j - 1) = 0 \\ ∴ k = 2 j + 1 (∵ k \geq 1) \end{aligned}$
となる。すなわち $| j, m ⟩$ の $m$ の最小値は $j - k + 1 = - j$ であり
$\begin{array}{r} m = j, j - 1, \dots, - j + 1, - j \end{array}$
となる。さらに $k = 2 j + 1$ より、 $k$ が正の整数であることから、 $j$ は $0$ または正の整数、または半整数である：
$\begin{array}{r} j = 0, \frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, \dots \end{array}$
$_{◼}$

【7】

| j, m ⟩

に

j^{\pm}

を作用させると以下のようになる：

\begin{aligned} {\hat{j}}^{-} | j, m ⟩ & = \sqrt{j (j + 1) - m (m - 1)} | j, m - 1 ⟩, \\ {\hat{j}}^{+} | j, m ⟩ & = \sqrt{j (j + 1) - m (m + 1)} | j, m + 1 ⟩ \end{aligned}

（※

| j, m ⟩

は規格化されている）

${\hat{j}}^{-}$ を $| j, m ⟩$ に作用させたとき
$\begin{array}{r} j^{-} | j, m ⟩ = c_{m} | j, m - 1 ⟩ \end{array}$
となるとする。ただし $c_{m}$ には位相の不定性があるので、これを正の実数にとることとする。このとき
$\begin{array}{r} ⟨ j, m | {\hat{j}}^{+} {\hat{j}}^{-} | j, m ⟩ = c_{m}^{2} \end{array}$
となるが、一方で ${\hat{j}}^{+} {\hat{j}}^{-} = {\hat{j}}^{2} - {\hat{j}}^{3} ({\hat{j}}^{3} - 1)$ であるから
$\begin{array}{r} c_{m}^{2} = j (j + 1) - m (m - 1) \end{array}$
が成立する。ゆえに
$\begin{array}{r} c_{m} = \sqrt{j (j + 1) - m (m - 1)} \end{array}$
である。

${\hat{j}}^{+}$ に関しても同様の考察を行うことで
$\begin{array}{r} {\hat{j}}^{+} | j, m ⟩ = \sqrt{j (j + 1) - m (m + 1)} | j, m + 1 ⟩ \end{array}$
であることがわかる。 $_{◼}$

まとめ

本記事では回転不変な量子力学系において重要な角運動量代数の表現に関して述べました。

特に重要な公式をまとめると以下のようになります：

${\hat{j}}^{2}$ と ${\hat{j}}^{3}$ には同時固有状態が存在する。この状態を $| j, m ⟩$ とすると、 $\hat{j^{2}}, {\hat{j}}_{3}$ の固有値は以下を満たさなければならない：
$\begin{aligned} {\hat{j}}^{2} | j, m ⟩ = j (j + 1) | j, m ⟩ \\ {\hat{j}}^{3} | j, m ⟩ = m | j, m ⟩ \\ m = j, j - 1, \dots, - j \\ j = 0, \frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, \dots \end{aligned}$
すなわち ${\hat{j}}^{2}$ の固有値は $j (j + 1)$ であり、 $j$ は0または正の整数、または半整数をとる。 $m$ は $j$ から $- j$ まで1ずつ異なる値をとる。
$| j, m ⟩$ に ${\hat{j}}^{\pm}$ を作用させると以下のようになる：
$\begin{aligned} {\hat{j}}^{-} | j, m ⟩ & = \sqrt{j (j + 1) - m (m - 1)} | j, m - 1 ⟩, \\ {\hat{j}}^{+} | j, m ⟩ & = \sqrt{j (j + 1) - m (m + 1)} | j, m + 1 ⟩ \end{aligned}$

おしまい。 $_{◼}$

Appendix: エルミート演算子の性質

エルミート演算子のもつ2つの性質に関して証明します。

エルミート演算子の固有値は実数

$\hat{H}$ をエルミート演算子とする。 $| λ ⟩$ を固有値 $λ$ をもつ $\hat{H}$ の固有状態とする: $\hat{H} | λ ⟩ = λ | λ ⟩$ 。またこの状態は規格化されているものとする。 $\hat{H}$ がエルミートであることから
$\begin{array}{r} ⟨ λ | \hat{H} = λ^{*} ⟨ λ | \end{array}$
が成立する。これに右から $| λ ⟩$ をかければ $⟨ λ | \hat{H} | λ ⟩ = λ^{*}$ だが、一方で $\hat{H} | λ ⟩ = λ | λ ⟩$ に $⟨ λ |$ をかければ $⟨ λ | \hat{H} | λ ⟩ = λ$ でもあるから、 $λ^{*} = λ$ でなければならず、固有値は実数になる $_{◼}$

エルミート演算子の異なる固有値に属する固有ベクトルは直交する

$| λ ⟩, | λ^{'} ⟩$ はそれぞれエルミート演算子 $\hat{H}$ の固有値 $λ, λ^{'}$ を持つ固有状態であり、 $λ^{'} \neq λ$ とする。
$\begin{array}{r} ⟨ λ^{'} | \hat{H} | λ ⟩ \end{array}$
を考えると、 $\hat{H}$ が右の状態に作用すれば $λ ⟨ λ^{'} | λ ⟩$ 、左の状態に作用すればエルミート演算子の性質より $λ^{'} ⟨ λ^{'} | λ ⟩$ であるから
$\begin{array}{r} (λ - λ^{'}) ⟨ λ^{'} | λ ⟩ = 0 \end{array}$
が成立する。いま $λ \neq λ^{'}$ なので、 $⟨ λ^{'} | λ ⟩ = 0$ である $_{◼}$