角運動量代数の表現

$\hat{\boldsymbol{j}}^2,\hat j^3$は両方ともエルミート演算子であるから、その固有値が違う状態は直交する。すなわち$\langle a,b|a',b'\rangle=\delta_{a,a'}\delta_{b,b'}$が成立する（状態は規格化されているとする）。【2】より$\hat j^+|a,b\rangle=\lambda^+_{a,b}|a,b+1\rangle, \ \hat j^-|a,b\rangle=\lambda^-_{a,b}|a,b-1\rangle$が成立し（※$\lambda^+_{j,m},\lambda^-_{j,m}$はゼロの可能性もある）、また$(\hat j^+)^\dagger=\hat j^-, \ (\hat j^-)^\dagger=\hat j^+$なので
\begin{align} \langle a,b|\hat j^- &= \langle a,b+1|(\lambda^+_{a,b})^\dagger,\\ \langle a,b|\hat j^+ &= \langle a,b-1|(\lambda^-_{a,b})^\dagger \end{align}
が成立する。これらを用いて$\langle a,b|(\hat j^+\hat j^-+\hat j^- \hat j^+)|a,b\rangle$を計算する。$\hat j^+,\hat j^-$の演算子の間に完全系$\sum_{a',b'}|a',b'\rangle\langle a',b'|\ (\text{単位演算子})$を挟むと
\begin{align} \sum_{a',b'}(\langle a,b|\hat j^+|a',b'\rangle\langle a',b'|\hat j^-|a,b\rangle +\langle a,b|\hat j^-|a',b'\rangle\langle a',b'|\hat j^+|a,b\rangle) \end{align}
であるが、状態の直交性から第1項は$\delta_{a',a}\delta_{b',b-1}$、第2項は$\delta_{a',a}\delta_{b',b+1}$に比例する。また上記の性質を用いると
\begin{align} =|\lambda_{a,b}^-|^2+|\lambda_{a,b}^+|^2 \end{align}
であることが簡単にわかる。以上より
\begin{align} \langle a,b|(\hat j^+\hat j^-+\hat j^- \hat j^+)|a,b\rangle \text{はゼロまたは正} \end{align}
が成立する。${}_\blacksquare$

Eq.(1.9)を$\langle a,b|,|a,b\rangle$で挟むと、【3】より
\begin{align} a=C_{a,b}+b^2 \ \ \ (a,b\in\mathbb{R},\ \ C_{a,b}\ge 0) \end{align}
が成立する。$a$を固定すれば、$C_{a,b}\ge 0$なので、$b$の絶対値は上下にバウンドされている。${}_\blacksquare$

【5】より、$\hat{\boldsymbol{j}}^2$の固有値を$j(j+1)$に固定した際の$m$の最大値は$j$である。これを$|j,j\rangle$と書く。$\hat j^3$の固有値には下限が存在するので、$|j,j\rangle$に$\hat j^-$を作用し続けると、どこかで状態はゼロにならなければならない。$|j,j\rangle$から$j^-$で$\hat j^3$の固有値を下げ、かつそれに係数をかけて規格化した状態を
\begin{align} |j,m\rangle , \ m\in\mathbb{N}\ \ \ \ (\hat j^3|j,m\rangle=m|j,m\rangle, \ \ \langle j,m|j,m\rangle=1) \end{align}
のように表記する。いま$k (\in \mathbb{N})\ge 1$を
\begin{align} &(j^-)^{k-1}|j,j\rangle\propto|j,j-k+1\rangle\neq 0, \\ &(j^-)^k|j,j\rangle\propto|j,j-k\rangle=0 \end{align}
とする。つまり$|j,j\rangle$に$k$回$\hat j^-$を作用させたとき初めて状態が消えることとする。Eq.(1.8)を$|j,j-k+1\rangle$で挟むと
\begin{align} &j(j+1)=(j-k+1)\left\{ (j-k+1)-1 \right\}\\ &\leftrightarrow k(k-2j-1)=0 \\ &\therefore k=2j+1 \ \ \ (\because k\ge 1) \end{align}
となる。すなわち$|j,m\rangle$の$m$の最小値は$j-k+1=-j$であり
\begin{align} m=j,j-1,\cdots,-j+1,-j \end{align}
となる。さらに$k=2j+1$より、$k$が正の整数であることから、$j$は$0$または正の整数、または半整数である：
\begin{align} j=0, \ \frac{1}{2}, \ 1,\ \frac{3}{2},\cdots \end{align}
${}_\blacksquare$

$\hat j^-$を$|j,m\rangle$に作用させたとき
\begin{align} j^-|j,m\rangle=c_m|j,m-1\rangle \end{align}
となるとする。ただし$c_m$には位相の不定性があるので、これを正の実数にとることとする。このとき
\begin{align} \langle j,m|\hat j^+\hat j^-|j,m\rangle=c_m^2 \end{align}
となるが、一方で$\hat j^+\hat j^-=\hat{\boldsymbol{j}}^2-\hat j^3(\hat j^3-1)$であるから
\begin{align} c_m^2=j(j+1)-m(m-1) \end{align}
が成立する。ゆえに
\begin{align} c_m=\sqrt{j(j+1)-m(m-1)} \end{align}
である。

$\hat j^+$に関しても同様の考察を行うことで
\begin{align} \hat j^+|j,m\rangle=\sqrt{j(j+1)-m(m+1)}|j,m+1\rangle \end{align}
であることがわかる。${}_\blacksquare$

$\hat H$をエルミート演算子とする。$|\lambda\rangle$を固有値$\lambda$をもつ$\hat H$の固有状態とする:$\hat H|\lambda\rangle=\lambda |\lambda\rangle$。またこの状態は規格化されているものとする。$\hat H$がエルミートであることから
\begin{align} \langle \lambda|\hat H=\lambda^*\langle \lambda | \end{align}
が成立する。これに右から$|\lambda\rangle$をかければ$\langle \lambda |\hat H|\lambda\rangle=\lambda^*$だが、一方で$\hat H|\lambda\rangle=\lambda|\lambda\rangle$に$\langle\lambda|$をかければ$\langle \lambda |\hat H|\lambda\rangle=\lambda$でもあるから、$\lambda^*=\lambda$でなければならず、固有値は実数になる${}_\blacksquare$

$|\lambda\rangle,|\lambda'\rangle$はそれぞれエルミート演算子$\hat H$の固有値$\lambda,\lambda'$を持つ固有状態であり、$\lambda'\neq \lambda$とする。
\begin{align} \langle\lambda'|\hat H|\lambda\rangle \end{align}
を考えると、$\hat H$が右の状態に作用すれば$\lambda\langle\lambda'|\lambda\rangle $、左の状態に作用すればエルミート演算子の性質より$\lambda'\langle\lambda'|\lambda\rangle$であるから
\begin{align} (\lambda-\lambda')\langle\lambda'|\lambda\rangle=0 \end{align}
が成立する。いま$\lambda\neq\lambda'$なので、$\langle\lambda'|\lambda\rangle=0$である${}_\blacksquare$