「軸が直交する2つの放物線の4交点は共円」（射影幾何から考える）

斉次座標を使って証明する。
点の斉次座標となる3つの数をまとめて$\bm{x}$のように表記し、これを3次元列ベクトルとみなして行列・ベクトルの演算規則で計算を行うこととする。
円錐曲線は$M$を3×3対称行列として座標$\bm{x}$が$^t\bm{x}M\bm{x}=0$を満たす点の集合になる。
点$A,B$の座標をそれぞれ$\bm{a},\bm{b}$とするとき、
$A,B$が$^t\bm{x}M\bm{x}=0$に関して共役 $\Leftrightarrow$ $^t\bm{a}M\bm{b}=0$ $\Leftrightarrow$ $^t\bm{b}M\bm{a}=0$
が成り立つ。

円錐曲線$\mathcal{C},\mathcal{D}$をそれぞれ$^t\bm{x}M\bm{x}=0,\,^t\bm{x}N\bm{x}=0$とする。
$A,B$は$\mathcal{C}$に関して共役なので $^t\bm{a}M\bm{b}=0,\,^t\bm{b}M\bm{a}=0$が成り立つ。
$A,B$は$\mathcal{D}$に関して共役なので $^t\bm{a}N\bm{b}=0,\,^t\bm{b}N\bm{a}=0$が成り立つ。
$\mathcal{C},\mathcal{D}$の4つの交点を通る円錐曲線は$k,l$を任意の数として$^t\bm{x}(kM+lN)\bm{x}=0$と書くことができ、この形で表されるものですべて網羅している。

点$P$は直線$AB$上の点なので、$P$の座標は$s,t$を任意の数として$s\bm{a}+t\bm{b}$と書くことができる。
点$Q$は$A,B$に関する$P$の調和共役点なので、$Q$の座標は$s\bm{a}-t\bm{b}$となる。

点$P$の座標$s\bm{a}+t\bm{b}$を円錐曲線の式$^t\bm{x}(kM+lN)\bm{x}=0$の左辺に代入すると次のようになる。
\begin{align} &^t(s\bm{a}+t\bm{b})(kM+lN)(s\bm{a}+t\bm{b}) \\ =&ks^2(^t\bm{a}M\bm{a})+kt^2(^t\bm{b}M\bm{b})+ls^2(^t\bm{a}N\bm{a})+lt^2(^t\bm{b}N\bm{b}) \\ &\quad {}+kst(^t\bm{a}M\bm{b})+kst(^t\bm{b}M\bm{a})+lst(^t\bm{a}N\bm{b})+lst(^t\bm{b}N\bm{a}) \\ =&ks^2(^t\bm{a}M\bm{a})+kt^2(^t\bm{b}M\bm{b})+ls^2(^t\bm{a}N\bm{a})+lt^2(^t\bm{b}N\bm{b}) \end{align}

点$Q$の座標$s\bm{a}-t\bm{b}$を円錐曲線の式$^t\bm{x}(kM+lN)\bm{x}=0$の左辺に代入すると次のようになる。
\begin{align} &^t(s\bm{a}-t\bm{b})(kM+lN)(s\bm{a}-t\bm{b}) \\ =&ks^2(^t\bm{a}M\bm{a})+kt^2(^t\bm{b}M\bm{b})+ls^2(^t\bm{a}N\bm{a})+lt^2(^t\bm{b}N\bm{b}) \\ &\quad {}-kst(^t\bm{a}M\bm{b})-kst(^t\bm{b}M\bm{a})-lst(^t\bm{a}N\bm{b})-lst(^t\bm{b}N\bm{a}) \\ =&ks^2(^t\bm{a}M\bm{a})+kt^2(^t\bm{b}M\bm{b})+ls^2(^t\bm{a}N\bm{a})+lt^2(^t\bm{b}N\bm{b}) \end{align}

この2つの式が一致するため、
$\hspace{1em}$ 点$P$が円錐曲線$^t\bm{x}(kM+lN)\bm{x}=0$上にある
$\Leftrightarrow$ $ks^2(^t\bm{a}M\bm{a})+kt^2(^t\bm{b}M\bm{b})+ls^2(^t\bm{a}N\bm{a})+lt^2(^t\bm{b}N\bm{b})=0$
$\Leftrightarrow$ 点$Q$が円錐曲線$^t\bm{x}(kM+lN)\bm{x}=0$上にある
が成り立つ。
(どの4点も一直線上にない)5点を通る円錐曲線がただ一つに決まることを考えると、$\mathcal{C},\mathcal{D}$の4交点[これはどの3点も一直線上にない]と$P$を合わせた計5点を通る円錐曲線が存在して点$Q$を通ることが言えて、$\mathcal{C}$と$\mathcal{D}$の4つの交点と$P,Q$を合わせた計6点を通る円錐曲線の存在が示された。

[逆の証明: $\mathcal{C},\mathcal{D}$の4つの交点を通る円錐曲線が直線$AB$と交わる点の一方の座標が$s\bm{a}+t\bm{b}$になるとすると、先の計算がそのまま使える。ベズーの定理より円錐曲線と直線の交点は2つだけであるため、もう一方の交点の座標は必然的に$s\bm{a}-t\bm{b}$が該当することになり、$A,B$とこの2つの交点は調和点列になることがわかる。]

$A$が$\mathcal{C}$上にあり、$B$は$\mathcal{C}$の$A$における接線上の点なので、$A,B$は$\mathcal{C}$に関して共役である。
$B$が$\mathcal{D}$上にあり、$A$は$\mathcal{D}$の$B$における接線上の点なので、$A,B$は$\mathcal{D}$に関して共役である。
よってthmdaiより、$\mathcal{C}$と$\mathcal{D}$の4つの交点と$P,Q$を合わせた計6点を通る円錐曲線が存在することがいえる。

次の2つの事柄を使う。

• 放物線の軸上の無限遠点はその放物線上の点であり、その点で無限遠直線に接する。
• 虚円点(2つ)と直交する2直線上の無限遠点(各直線に1つずつで計2つ)の合わせて4点は無限遠直線上にあって調和点列をなす。

これらに注意するとthmchuが適用できて、軸が直交する2つの放物線の4つの交点と2つの虚円点を通る円錐曲線が存在することがいえる。すなわち、軸が直交する2つの放物線の4つの交点は共円である。

円に内接する四角形は凸四角形であり、凸四角形は台形でないとき外接放物線を2つ持つ。よって、台形ではない円内接四角形は外接放物線を2つ持つのでそれらを$\mathcal{C},\mathcal{D}$とする。
$\mathcal{C},\mathcal{D}$の軸上のの無限遠点をそれぞれ$A,B$とすると、$A,B$は$\mathcal{C}$に関して共役であり、$A,B$は$\mathcal{D}$に関して共役である。
よってthmdaiの逆が使えて、四角形の4頂点を通る円錐曲線が無限遠直線と交わる2点は$A,B$に関して互いに調和共役点となる。今、四角形は円に内接しているので、「四角形の4頂点を通る円錐曲線」として「四角形の4頂点を通る円」を選べば無限遠直線と交わる2点は虚円点となり、$A,B$と2つの虚円点が調和点列となる。これは$A$を通る直線と$B$を通る直線が直交していることを意味しており、$\mathcal{C}$の軸と$\mathcal{D}$の軸は直交する。

3点$A,B,C$を通る任意の直角双曲線は$\triangle ABC$の垂心$H$を通るため、3点$A,B,C$を通る2つの直角双曲線の第4交点は$\triangle ABC$の垂心$H$になる。
これは2つの直角双曲線の4つの交点の内の1点は残り3点が作る三角形の垂心であることを意味し、4交点が垂心系をなしていることがいえた。

三角形$ABC$の角$A$の二等分線を$l_A$とおく。
三角形$ABC$の内心は$l_A$上にあるため、内接円は$l_A$に関して対称である。
三角形$ABC$の$A$-傍心は$l_A$上にあるため、$A$-傍接円は$l_A$に関して対称である。
よって内接円と$A$-傍接円の共通接線は$l_A$に関して対称な2直線の組が2つとなり、直線$AB$と直線$AC$が$l_A$に関して対称なので、第4共通接線は直線$BC$を$l_A$に関して対称移動した直線になる。

三角形$ABC$の内接円錐曲線が楕円または双曲線のとき、2つの焦点は互いに三角形$ABC$に関する等角共役点である。よって、焦点の1つが$l_A$上にあるとき、もう一つの焦点も$l_A$上にあり、この内接円錐曲線は$l_A$に関して対称である。
三角形$ABC$の内接円錐曲線が放物線のとき、焦点と軸上の無限遠点は互いに三角形$ABC$に関する等角共役点である。よって、焦点が$l_A$上にあるとき、軸上の無限遠点も$l_A$上にあって軸が$l_A$に一致するため、この内接円錐曲線は$l_A$に関して対称である。
内接円錐曲線は直線$BC$に接しているので、$l_A$に関して対称な内接円錐曲線は直線$BC$を$l_A$に関して対称移動した直線にも接する。

以上から、角$A$の二等分線上に焦点を持つ内接円錐曲線は内接円と$A$-傍接円の第4共通接線に接することが言える。