大学数学基礎解説

微分方程式でフーリエ変換をする

フーリエ変換,微分方程式

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微分方程式でフーリエ変換をする

どうも、らららです。
フーリエ変換の $PDF$ を読んでいたら面白いのがあったので記事にします。(その $PDF$ )

フーリエ変換する関数

$F [\exp (- \frac{a t^{2}}{2})] (ξ) = \sqrt{\frac{2 π}{a}} \exp (- \frac{2 π^{2} ξ^{2}}{a})$

$a > 0$ です。
これを微分方程式で証明していきます。
その前に使う補題の証明をしておきます。

f^{'} (t)

のフーリエ変換

$F [f^{'} (t)] (ξ) = 2 π i ξ F [f (t)] (ξ)$

証明

フーリエ変換可能な関数

f (t)

は

ξ \in R

に対して

lim_{t \to \pm \infty} f (t) e^{- 2 π i ξ t} = 0

であることに注意して

\begin{aligned} F [f (t)] (ξ) & = \int_{- \infty}^{\infty} f^{'} (t) e^{- 2 π i ξ t} d t \\ = [f (t) e^{- 2 π i ξ t}]_{- \infty}^{\infty} + 2 π i ξ \int_{- \infty}^{\infty} f (t) e^{- 2 π i ξ t} d t \\ = 2 π i ξ F [f (t)] (ξ) \end{aligned}

t f (t)

のフーリエ変換

$F [t f (t)] (ξ) = \frac{i}{2 π} \frac{d}{d ξ} F [f (t)] (ξ)$

証明

t e^{- 2 π i ξ t} = \frac{i}{2 π} \frac{d}{d ξ} e^{- 2 π i ξ t}

であることに注意して

\begin{aligned} F [t f (t)] (ξ) & = \int_{- \infty}^{\infty} t f (t) e^{- 2 π i ξ t} d t \\ = \frac{i}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} f (t) \frac{d}{d ξ} e^{- 2 π i ξ t} d t \\ = \frac{i}{2 π} \frac{d}{d ξ} \int_{- \infty}^{\infty} f (t) e^{- 2 π i ξ t} d t \\ = \frac{i}{2 π} \frac{d}{d ξ} F [f (t)] (ξ) \end{aligned}

それでは、証明していきます。

$f (t) = \exp (- \frac{a t^{2}}{2})$
$\begin{aligned} \hat{f} (ξ) & = F [f (t)] (ξ) \\ = \int_{- \infty}^{\infty} f (t) e^{- 2 π i ξ t} d t \end{aligned}$
$\begin{aligned} f^{'} (t) & = - a t \exp (- \frac{a t^{2}}{2}) \\ = - a t f (t) \end{aligned}$
$f^{'} (t) + a t f (t) = 0$
$\begin{aligned} F [f^{'} (t) + a t f (t)] & = F [f^{'} (t)] + a F [t f (t)] \\ = 2 π i ξ \hat{f} (ξ) + \frac{i a}{2 π} {\hat{f}}^{'} (ξ) \end{aligned}$
$2 π i ξ \hat{f} (ξ) + \frac{i a}{2 π} {\hat{f}}^{'} (ξ) = 0$
$\frac{4 π^{2} ξ}{a} g (ξ) + g^{'} (ξ) = 0 (\hat{f} (ξ) = g (ξ))$
$\frac{g^{'} (x)}{g (x)} = - \frac{4 π^{2} ξ}{a}$
$\log g (x) = - \frac{2 π^{2} ξ^{2}}{a} + C_{1}$
$g (ξ) = C \exp (- \frac{2 π^{2} ξ^{2}}{a})$
$\begin{aligned} C & = g (0) \\ = \hat{f} (0) \\ = \int_{- \infty}^{\infty} f (t) e^{0} d t \\ = \int_{- \infty}^{\infty} \exp (- \frac{a t^{2}}{2}) d t \\ = \sqrt{\frac{2}{a}} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x \\ = \sqrt{\frac{2 π}{a}} \end{aligned}$
$\hat{f} (ξ) = \sqrt{\frac{2 π}{a}} \exp (- \frac{2 π^{2} ξ^{2}}{a})$