微分方程式でフーリエ変換をする
微分方程式でフーリエ変換をする
どうも、らららです。
フーリエ変換の$\mathrm{PDF}$を読んでいたら面白いのがあったので記事にします。(その
$\mathrm{PDF}$
)
フーリエ変換する関数
$$\mathcal{F}\left[\exp\left(-\frac{at^2}{2}\right)\right](\xi)=\sqrt{\frac{2\pi}{a}}\exp\left(-\frac{2\pi^2\xi^2}{a}\right)$$
$a>0$です。
これを微分方程式で証明していきます。
その前に使う補題の証明をしておきます。
$$\mathcal{F}\big[f’(t)\big](\xi)=2\pi i\xi\mathcal{F}\big[f(t)\big](\xi)$$
証明
フーリエ変換可能な関数$f(t)$は$\xi\in\mathbb{R}$に対して$\di\lim_{t\to\pm\infty}f(t)e^{-2\pi i\xi t}=0$であることに注意して\begin{align} \mathcal{F}\big[f(t)\big](\xi)&=\int_{-\infty}^{\infty}f’(t)e^{-2\pi i\xi t}dt \\&=\Big[f(t)e^{-2\pi i\xi t}\Big]_{-\infty}^{\infty}+2\pi i\xi\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-2\pi i\xi t}dt \\&=2\pi i\xi\mathcal{F}\big[f(t)\big](\xi) \end{align}
$$\mathcal{F}\big[tf(t)\big](\xi)=\frac{i}{2\pi}\frac{d}{d\xi}\mathcal{F}\big[f(t)\big](\xi)$$
証明
$\di te^{-2\pi i\xi t}=\frac{i}{2\pi}\frac{d}{d\xi}e^{-2\pi i\xi t}$であることに注意して\begin{align} \mathcal{F}\big[tf(t)\big](\xi)&=\int_{-\infty}^{\infty}tf(t)e^{-2\pi i\xi t}dt \\&=\frac{i}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\frac{d}{d\xi}e^{-2\pi i\xi t}dt \\&=\frac{i}{2\pi}\frac{d}{d\xi}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-2\pi i\xi t}dt \\&=\frac{i}{2\pi}\frac{d}{d\xi}\mathcal{F}\big[f(t)\big](\xi) \end{align}
それでは、証明していきます。
$$f(t)=\exp\left(-\frac{at^2}{2}\right)$$
\begin{align}
\hat{f}(\xi)&=\mathcal{F}\left[f(t)\right](\xi)
\\&=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-2\pi i\xi t}dt
\end{align}
\begin{align}
f’(t)&=-at\exp\left(-\frac{at^2}{2}\right)
\\&=-atf(t)
\end{align}
$$f’(t)+atf(t)=0$$
\begin{align}
\mathcal{F}\big[f’(t)+atf(t)\big]&=\mathcal{F}\big[f’(t)\big]+a\mathcal{F}\big[tf(t)\big]
\\&=2\pi i\xi\hat{f}(\xi)+\frac{ia}{2\pi}\hat{f}’(\xi)
\end{align}
$$2\pi i\xi\hat{f}(\xi)+\frac{ia}{2\pi}\hat{f}’(\xi)=0$$
$$\frac{4\pi^2\xi}{a}g(\xi)+g’(\xi)=0\quad(\hat{f}(\xi)=g(\xi))$$
$$\frac{g’(x)}{g(x)}=-\frac{4\pi^2\xi}{a}$$
$$\log g(x)=-\frac{2\pi^2\xi^2}{a}+C_1$$
$$g(\xi)=C\exp\left(-\frac{2\pi^2\xi^2}{a}\right)$$
\begin{align}
C&=g(0)
\\&=\hat{f}(0)
\\&=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{0}dt
\\&=\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-\frac{at^2}{2}\right)dt
\\&=\sqrt{\frac{2}{a}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx
\\&=\sqrt{\frac{2\pi}{a}}
\end{align}
$$\hat{f}(\xi)=\sqrt{\frac{2\pi}{a}}\exp\left(-\frac{2\pi^2\xi^2}{a}\right)$$
でたーーー！！
複素積分でも導出できます
このフーリエ変換に出会ったきっかけは リーマンゼータ関数のwiki の関数等式の導出にあるこの1文
ここで$f(x)=e^{-\pi x^2}$とおくと、$f(x)$はフーリエ変換に対し不変である。これ証明がかかれてなかったんですよね
このクソデカ行間を埋めるべく証明を探しました
今回の記事の結果に$a=2\pi$を代入すると直ちにこの結果が分かります。
おしまい！！