e^{-x}/cos(x)の定積分値

とある掲示板を歩いているとき，興味深い結果が出た定積分があったため，ここでも共有しておこうと思います．

問題

是非考えてみてください．
※答えは初等関数で表せません．
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解答

$ \cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}$ から，
\begin{aligned}\int_{-1}^{1} \frac{1}{e^x \cos(x)} dx &= \int_{-1}^{1} \frac{2e^{-x}}{e^{ix} + e^{-ix}} dx \\&= \int_{-1}^{1} \frac{2e^{-x+ix}}{1 + e^{2ix}} dx\end{aligned}
と書ける．
ここで，$f(z)=\frac{2e^{-z+iz}}{1 + e^{2iz}} $ とおき，求めたい積分値を$I$ とおく．
$ \mathbb{C} $の上半平面に以下の4つの辺からなる長方形の閉曲線$ \Gamma_\varepsilon $を考える．ただし，$ 0<\varepsilon，e^{-2\varepsilon} < 1$ となるようにする．

• $ L_\varepsilon: z=x+i\varepsilon$ ($x$は$-1\to 1 $ )

• $L_1 : z=1+iy$ ($y$は$\varepsilon\to 0$ )

• $L : z=x$ ($x$は$1\to -1$ )

• $L_2 : z=-1+iy$ ($y$は$0\to \varepsilon$ )
  $f(z)$は$\Gamma_\varepsilon$ 内で極を持たないため，コーシーの積分定理より次のようになる．
  \begin{aligned}I &= -\int_{L} f(z) dz \\&= \int_{L_\varepsilon} f(z) dz+\int_{L_1} f(z) dz+\int_{L_2} f(z) dz\end{aligned}
  ここで，$f(z)$の分母$\frac{1}{1 + e^{2iz}}$を無限等比級数に展開する．
  $$\displaystyle\frac{1}{1 + e^{2iz}}= \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n e^{2inz}$$
  被積分関数は次のように書ける．
  $$\displaystyle f(z)= 2 \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n e^{(i(2n+1)-1)z}$$
  $L_\varepsilon$ 上では，$\vert{}e^{2iz}\vert{} = \vert{}e^{2i(x+i\epsilon)}\vert{} = e^{-2\epsilon} < 1$ であるため，級数は絶対一様収束し，積分と無限和を交換できる．
  \begin{aligned}\int_{L_\varepsilon} f(z) dz &= 2\sum_{n=0}^{\infty}\int_{L_\epsilon} (-1)^n e^{(i(2n+1)-1)z}\\&= 2\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{e^{(i(2n+1)-1)(1+i\epsilon)} - e^{(i(2n+1)-1)(-1+i\epsilon)}}{i(2n+1)-1}\\&= 2e^{-(1+i)\epsilon}\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{e^{i(2n+1)-1} - e^{-i(2n+1)+1}}{i(2n+1)-1}\left( e^{-2\epsilon} \right)^n\end{aligned}
  最後に$\varepsilon \to 0$ と極限を取る．すると，$\int_{L_1}$ ，$\int_{L_2}$ は明らかに0 に収束するので，後は$\int_{L_\varepsilon}$ の極限を考える．

$e^{-2\epsilon} < 1 $であるので，アーベルの連続性定理から極限$\varepsilon \to 0$ と無限級数は交換できる．よって，
\begin{aligned}\lim_{\epsilon \to 0}\int_{L_\varepsilon} f(z) dz &= 2\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{e^{i(2n+1)-1} - e^{-i(2n+1)+1}}{i(2n+1)-1}\\&= 4 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{1 + (2n+1)^2} \Big( \sinh(1)\cos(2n+1) + (2n+1)\cosh(1)\sin(2n+1) \Big)\end{aligned}
と求められる．

まとめ

$\displaystyle\int_{-1}^{1} \frac{1}{e^x \cos(x)} dx= \int_{-1}^{1} \frac{\cosh(x)}{\cos(x)} dx$から素直に$\cosh(x)$と$\frac{1}{\cos x}$を求める方法もありますが，この解法は答えがフーリエ展開の形になっているところが印象的である．