代数入門(1)〜幾何〜

$\sqrt[3]{2}$が作図可能とする。
定理1より
$\mathbb Q=K_0\subset\cdots\subset K_n$
が存在し、$\sqrt[3]{2}\in K_n$となる。
次のようなものを考える。
$[E:F]=[E:K][K:F]$が成り立つ。
ここで$m,n$は$E\subset K\subset F$において$[E:K]=m,[K:F]=n$とし、$E$の$K$上の基底を$\{x_1,…,x_m\}$、$K$の$F$上の基底を$\{y_1,…,y_n\}$とする。
$c_{ij}\in F$が
$\displaystyle \sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}c_{ij}x_iy_j=0$を満たすとする。
$\displaystyle a_i=\sum_{j=1}^{n}c_{ij}y_j\in K$とおくと、$\displaystyle \sum_{i=1}^{m}a_ix_i=0$が成り立つ。
仮定より$\{x_i,…,x_m\}$は$K$上線形独立であるため$\displaystyle \sum_{j=1}^nc_{ij}y_j=0$が成り立つ。
また、$\{y_1,…,y_n\}$は$F$上線形独立であるため$c_{ij}=0$が成り立つ。
したがって、$\{x_iy_j|1≦i≦m,1≦j≦n\}$は$F$上線形独立である。
$E$の$K$上基底が$\mathbf x$であるため任意の$z\in E$に対し
$\displaystyle z=\sum_{i=1}^m\alpha_ix_i$
を満たす$\alpha_i$が存在する
同様にして
$\displaystyle \alpha_i=\sum_{j=1}^n\beta _{i,j}y_j$を満たす$\beta_{i,j}$が存在する。
以上より
$\displaystyle z=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n\beta_{i,j}x_iy_j$
が得られる。
よって$E$は$F$上の線形空間として$\{x_iy_j|1≦i≦m,1≦j≦n\}$で生成される。
また、$[E:F]=mn$を得る。

これにより$[K_n:\mathbb Q]=[K_n:K_{n-1}]\cdots[K_1:K_0]=2^n$
一方で$\mathbb Q\subset K_n,\sqrt[3]{2}\in K_n$より
$\mathbb Q\subset \mathbb Q(\sqrt[3]{2})\subset K_n$
上で示した命題より
$[K_n:\mathbb Q]=[K_n:\mathbb Q(\sqrt[3]{2})][Q(\sqrt[3]{2}):\mathbb Q]$
$[\mathbb Q(\sqrt[3]{2})]=3$より
$2^n=3[K_n:\mathbb Q(\sqrt[3]{2})]$
となり不合理であるため矛盾。
よって、与えられた長さ(ここでは$1$として)の$\sqrt[3]{2}$倍の長さを作図不可能である