多項式環のポアンカレ級数とヒルベルト多項式

気になったので勉強の記録として雑にまとめてみます。記号は松村に準拠です。

一変数の場合

$k$を体として、$k[X]$のポアンカレ級数とヒルベルト多項式を求めます。
ポアンカレ級数は$1+t+t^2+\cdots=\dfrac{1}{1-t}$。
ヒルベルト多項式は１。

多変数の場合

$k[X_0,\cdots,X_r]$の場合、
ポアンカレ級数は$\sum_{n=0}^\infty {}_{n+r} C_r\cdot t^n$。
ヒルベルト多項式は$\dfrac{1}{r!}(X+r)(X+r-1)\cdots (X+1)$。