MZVにチャレンジするのだNo.2

MZV,級数,コネクター

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この著者は初心者として投稿しています。間違いや考慮が足りていない点が含まれている可能性が高いです。見つけたらコメント欄で優しく指摘してあげましょう。

あいさつ

んちゃ！
今回は間違いを恐れずにコネクターで遊んでみるよ。

分かればいいというスタイルで大胆な記号の使い方をするよ。
次の記事も参考にして欲しいです：yanasan。

記号法

\begin{array}{r} {\begin{cases} A d d (a) = \sum_{k = 1}^{N} a_{k} (a = (\begin{array}{c} a_{1} \\ a_{2} \\ ⋮ \\ a_{N} \end{array}) \in C^{N}) \\ Γ (a + r) = \prod_{k = 1}^{N} Γ (a_{k} + r) (a = (\begin{array}{c} a_{1} \\ a_{2} \\ ⋮ \\ a_{N} \end{array}) \in C^{N}, r \in C) \end{cases} \end{array}

コネクター

$Γ (a + r + 1) = Γ (a + r) \prod_{k = 1}^{N} (a_{k} + r) (a = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ ⋮ \\ a_{N} \end{matrix}) \in C^{N}, r \in C)$

代入して計算するだけ。

コネクター

$a = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ ⋮ \\ a_{N} \end{matrix}), b = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{M} \end{matrix})$ に対して以下の様なコネクターを定義する。
$C_{a, b} (n, m) = \frac{Γ (a + n + 1) Γ (b + m + 1)}{Γ (A d d (a) + A d d (b) + N n + M m + 1)}$

$C_{a, b} (n_{a}, m_{b + 1} - 1) - C_{a, b} (n_{a}, m_{b + 1}) = (\prod_{k = 1}^{M} \frac{A d d (a) + A d d (b) + N n_{a} + M m_{b + 1} - M + k}{b_{k} + m_{b + 1}} - 1) C_{a, b} (n_{a}, m_{b + 1})$

$M = 1, b_{1} = b$ とすると
$C_{a, b} (n_{a}, m_{b + 1} - 1) - C_{a, b} (n_{a}, m_{b + 1}) = \frac{A d d (a) + N n_{a}}{b + m_{b + 1}} C_{a, b} (n_{a}, m_{b + 1})$

$C_{a, b} (n_{a}, 0) = \frac{Γ (a + n + 1)}{Γ (A d d (a) + b + N n_{a} + 1)}$

輸送関係式

インデックス $k \in I_{a}, l \in I_{b}$ に対して以下の様な級数を定める。
$Z (k, l) = \sum_{\begin{matrix} 0 < n_{1} < n_{2} < \dots < n_{a} \\ 0 < m_{1} < m_{2} < \dots < m_{b} \end{matrix}} \frac{C_{a b} (n_{a}, m_{b})}{n^{k} (m + b)^{^{l}}}$

輸送関係式

$M = 1, b_{1} = b$ の場合下記の式が成り立つ。
$Z (k_{↑}, l) = A d d (a) Z (k_{↑}, l_{\to}) + N Z (k, l_{\to})$

\begin{array}{rcl} A d d (a) Z (k_{↑}, l_{\to}) + N Z (k, l_{\to}) & = & \sum_{\begin{array}{c} 0 < n_{1} < n_{2} < \dots n_{a} \\ 0 < m_{1} < m_{2} < \dots m_{b} < m_{b + 1} \end{array}} \frac{1}{n^{k} (m + b)^{l}} (\frac{A d d (a)}{n_{a} (b + m_{b + 1})} + \frac{N}{b + m_{b + 1}}) C_{a, b} (n_{a}, m_{b + 1}) \\ = & \sum_{\begin{array}{c} 0 < n_{1} < n_{2} < \dots n_{a} \\ 0 < m_{1} < m_{2} < \dots m_{b} \end{array}} \frac{1}{n^{k} (m + b)^{l}} \frac{C_{a, b} (n_{a}, m_{b})}{n_{a}} \\ = & Z (k_{↑}, l) \end{array}

結論

境界条件

$\begin{array}{r} {\begin{cases} Z (3, \emptyset) = \sum_{0 < n} \frac{1}{n^{3}} \frac{Γ (a + n + 1)}{Γ (A d d (a) + b + N n + 1)} \\ A d d (a) Z (3, 1) + N Z (2, 1) = \sum_{0 < n, m} \frac{Γ (a + n + 1) Γ (b + m + 1)}{Γ (A d d (a) + b + N n + m + 1)} \frac{A d d (a) + N n}{n^{3} (m + b)} \end{cases} \end{array}$

$N = 1, a_{1} = a = b = 0$ とすると下記の式を得る。
$ζ (3) = \sum_{0 < n, m} \frac{n! m!}{(n + m)!} \frac{1}{n^{2} m}$

$N = 1, a_{1} = a = b = \frac{1}{2}$ とすると
$\sqrt{π} \sum_{0 < n}^{\infty} \frac{(2 n + 2)!}{2^{2 n + 2} (n + 1)!} \frac{1}{n^{3}} = \frac{π}{2} \sum_{0 < n, m} \frac{(2 n + 2)! (2 m + 2)!}{2^{2 (n + m + 2)} (n + 1)! (m + 1)! (n + m + 1)!} \frac{1 + 2 n}{n^{3} (m + \frac{1}{2})}$