MZVにチャレンジするのだNo.2
あいさつ
んちゃ！
今回は間違いを恐れずにコネクターで遊んでみるよ。
分かればいいというスタイルで大胆な記号の使い方をするよ。次の記事も参考にして欲しいです：yanasan。
コネクター
\begin{equation} \vb*{\Gamma}(\vb*{a}+r+1)=\vb*{\Gamma}{(\vb*{a}+r)}\prod_{k=1}^{N}(a_{k}+r)\quad(\vb*{a}=\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\ \vdots\\ a_{N}\end{pmatrix}\in\mathbb{C}^{N},r\in\mathbb{C}) \end{equation}
代入して計算するだけ。
$\vb*{a}=\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\ \vdots \\a_{N}\end{pmatrix},\vb*{b}=\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\ \vdots\\b_{M}\end{pmatrix}$に対して以下の様なコネクターを定義する。
\begin{equation}
C_{\vb*{a},\vb*{b}}{(n,m)}=\frac{\vb*{\Gamma}(\vb*{a}+n+1)\vb*{\Gamma}(\vb*{b}+m+1)}{\Gamma{(Add(\vb*{a})+Add(\vb*{b})+Nn+Mm+1)}}
\end{equation}
\begin{equation} C_{\vb*{a},\vb*{b}}(n_{a},m_{b+1}-1)-C_{\vb*{a},\vb*{b}}(n_{a},m_{b+1})=(\prod_{k=1}^{M}\frac{Add(\vb*{a})+Add(\vb*{b})+Nn_{a}+Mm_{b+1}-M+k}{b_{k}+m_{b+1}}-1)C_{\vb*{a},\vb*{b}}(n_{a},m_{b+1}) \end{equation}
$M=1,b_{1}=b$とすると
\begin{equation}
C_{\vb*{a},\vb*{b}}(n_{a},m_{b+1}-1)-C_{\vb*{a},\vb*{b}}(n_{a},m_{b+1})=\frac{Add(\vb*{a})+Nn_{a}}{b+m_{b+1}}C_{\vb*{a},\vb*{b}}(n_{{a}},m_{b+1})
\end{equation}
\begin{equation} C_{a,b}(n_{a},0)=\frac{\vb*{\Gamma}{(\vb*{a}+n+1)}}{\Gamma{(Add(\vb*{a})+b+Nn_{a}+1)}} \end{equation}
輸送関係式
インデックス$\vb*{k}\in I_{a},\vb*{l}\in I_{b}$に対して以下の様な級数を定める。
\begin{equation}
Z(\vb*{k},\vb*{l})=\sum_{\substack{0\lt n_{1}\lt n_{2}\lt\cdots \lt n_{a}\\ 0\lt m_{1}\lt m_{2}\lt \cdots \lt m_{b}}}\frac{C_{\vb*{a}\vb*{b}}(n_{a},m_{b})}{\vb*{n}^{\vb*{k}}(\vb{m}+b)^{^{\vb*{l}}}}
\end{equation}
$M=1,b_{1}=b$の場合下記の式が成り立つ。
\begin{equation}
Z(\vb*{k}_{\uparrow},\vb*{l})=Add(\vb*{a})Z(\vb*{k}_{\uparrow},\vb*{l}_{\rightarrow})+NZ(\vb*{k},\vb{l}_\rightarrow)
\end{equation}
\begin{eqnarray} Add(\vb*{a})Z(\vb*{k}_{\uparrow},\vb*{l}_{\rightarrow})+NZ(\vb*{k},\vb*{l}_{\rightarrow})&=&\sum_{\substack{0\lt n_{1}\lt n_{2}\lt\cdots n_{a}\\ 0\lt m_{1}\lt m_{2}\lt \cdots m_{b}\lt m_{b+1}}}\frac{1}{\vb*{n}^{\vb*{k}}(\vb*{m}+b)^{\vb*{l}}}(\frac{Add(\vb*{a})}{n_{a}(b+m_{b+1})}+\frac{N}{b+m_{b+1}})C_{\vb*{a},\vb*{b}}(n_{a},m_{b+1})\\ &=&\sum_{\substack{0\lt n_{1}\lt n_{2}\lt\cdots n_{a}\\ 0\lt m_{1}\lt m_{2}\lt \cdots m_{b}}}\frac{1}{\vb*{n}^{\vb*{k}}(\vb*{m}+b)^{\vb*{l}}}\frac{C_{\vb*{a},\vb*{b}}(n_{a},m_{b})}{n_{a}}\\ &=&Z(\vb*{k}_{\uparrow},\vb*{l}) \end{eqnarray}
結論
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle Z(3,\varnothing)=\sum_{0\lt n}\frac{1}{n^{3}}\frac{\vb*{\Gamma}{(\vb*{a}+n+1)}}{\Gamma{(Add(\vb*{a})+b+Nn+1)}}\\ \displaystyle Add(\vb*{a})Z(3,1)+NZ(2,1)=\sum_{0\lt n,m}\frac{\vb*{\Gamma}(\vb*{a}+n+1)\Gamma(b+m+1)}{\Gamma{(Add(\vb*{a})+b+Nn+m+1)}}\frac{Add(\vb*{a})+Nn}{n^{3}(m+b)} \end{array} \right. \end{eqnarray}
$N=1,a_{1}=a=b=0$とすると下記の式を得る。
\begin{equation}
\zeta{(3)}=\sum_{0\lt n,m}\frac{n!m!}{(n+m)!}\frac{1}{n^{2}m}
\end{equation}
$N=1,a_{1}=a=b=\frac{1}{2}$とすると
\begin{equation}
\sqrt{\pi}\sum_{0\lt n}^{\infty}\frac{(2n+2)!}{2^{2n+2}(n+1)!}\frac{1}{n^{3}}=\frac{\pi}{2}\sum_{0 \lt n,m}\frac{(2n+2)!(2m+2)!}{2^{2(n+m+2)}(n+1)!(m+1)!(n+m+1)!}\frac{1+2n}{n^{3}(m+\frac{1}{2})}
\end{equation}
\begin{equation} \Gamma{(\frac{2n+1}{2}+1)}=\frac{(2n+2)!}{2^{2(n+1)}(n+1)!}\sqrt{\pi} \end{equation}
[2]
\begin{equation} \frac{\Gamma{(\frac{2n+1}{2}+1)}\Gamma{(\frac{2m+1}{2}+1)}}{\Gamma{(n+m+2)}}=\pi \frac{(2n+2)!(2m+2)!}{2^{2(n+m+2)}(n+1)!(m+1)!(n+m+1)!} \end{equation}
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