高校数学解説

MZVにチャレンジするのだNo.1

MZV,コネクター,連結和

139

この著者は初心者として投稿しています。間違いや考慮が足りていない点が含まれている可能性が高いです。見つけたらコメント欄で優しく指摘してあげましょう。

あいさつ

んちゃ！
前からずっとやってみたいと思っていたMZVにチャレンジするのだ。
以下の記事を参考にして本記事は作成致しました。

なるべく一次ソースを読んでから本記事を読むようにしてください。
Hoffmanの恒等式(ぐれぽんさんの記事)
(n!m!/(n+m)!)²が含まれる級数（余余余さんの記事）

前半部分は概要
後半部分はコネクタをオリジナルで作れないか考察を行っていきます。
それではよろしくお願いいたします。

表記法

まずは表記について簡単にまとめておくね。

表記法

a

は正整数

\begin{array}{r} {\begin{cases} J_{a} = \prod_{k = 1}^{a} Z_{\geq 0} \\ I_{a} = \prod_{k = 1}^{a} Z_{\geq 1} \\ I_{a}^{^{'}} = {k = (k_{1}, k_{2}, . . ., k_{a}) \in I_{a} | k_{a} \geq 2} \\ J_{0} = I_{0} = I_{0}^{^{'}} = {\emptyset} \\ I = ⊔_{a = 1}^{\infty} I_{a} \\ I^{^{'}} = ⊔_{a = 1}^{\infty} I_{a} \\ I_{0} = ⊔_{a = 0}^{\infty} I_{a} \\ U_{a}^{<} = {(n_{1}, n_{2}, . . ., n_{a}) \in N | n_{1} < n_{2} < \dots < n_{a}} \end{cases} \end{array}

インデックス

$k = (k_{1}, k_{2}, . . ., k_{a}) \in I_{a}$ の事をインデックスという。
また、 $k = (k_{1}, k_{2}, . . ., k_{a}) \in I_{a}^{^{'}}$ の事を許容インデックスという。

重み

インデックス $k = (k_{1}, k_{2}, . ., k_{a}) \in I_{a}$ に対して $w t (k) = \sum_{i = 1}^{a} k_{i}$ をインデックス $k$ の重みという。

矢印演算

インデックス $k = (k_{1}, k_{2}, . . ., k_{a}) \in I_{a}$ に対して次の様な演算を定める。
$\begin{array}{r} {\begin{cases} k_{\to} = (k_{1}, k_{2}, . . ., k_{a}, 1) \\ _{\leftarrow} k = (1, k_{1}, k_{2}, . . ., k_{a}) \end{cases} \end{array}$
$\begin{array}{r} {\begin{cases} k_{↑} = (k_{1}, k_{2}, . . ., k_{a} + 1) \\ _{↑} k = (k_{1} + 1, k_{2}, . . ., k_{a}) \end{cases} \end{array}$
$\begin{array}{r} {\begin{cases} k_{↓} = (k_{1}, k_{2}, . . ., k_{a} - 1) \\ _{↓} k = (k_{1} - 1, k_{2}, . . ., k_{a}) \end{cases} \end{array}$
また、 $◻$ を $↑, \leftarrow, ↓, \to$ のいずれかとし、 $◻^{n}$ と書いたときは
$◻$ を $n$ 回作用させることを意味するものとする。
なお特別な場合として、任意の正整数 $A$ に対して次の様な記号を定める。
${A}^{a} = \emptyset_{(\to, ↑^{A - 1})^{a}} = (A, A, . . ., A)$

反転

インデックス $k = (k_{1}, k_{2}, . . ., k_{a}) \in I_{a}$ に対して次の様な演算をインデックス $k$ の反転と呼ぶ。
$\overset{―}{k} = (k_{a}, k_{a - 1}, . . ., k_{1})$

多重指数

$a$ 次元ベクトル $n = (n_{1}, . . ., n_{a}), γ = (γ_{1}, . . ., γ_{a}) \in R^{a}$ に対して、次に様な演算を定める。これを拡張べきと呼ぶ。
$n^{γ} = \prod_{k = 1}^{a} n_{k}^{γ_{k}}$

拡張べきは次の性質を満たす。
$\forall n, α, β \in R^{a} : n^{α} n^{β} = n^{α + β}$

次の様に記号を定める。

\begin{array}{r} {\begin{cases} n = (n_{1}, . ., n_{a}) \\ α = (α_{1}, . . ., α_{a}) \\ β = (β 1, . . ., β a) \end{cases} \end{array}

すると次の様に計算ができるので上の定理は示された。

\begin{array}{r} {\begin{cases} (左 辺) = n^{α} n^{β} = \prod_{k = 1}^{a} n_{k}^{α_{k}} \prod_{l = 1}^{a} n_{l}^{β_{l}} = \prod_{k = 1}^{a} n^{α_{k} + β_{k}} \\ (右 辺) = \prod_{k = 1}^{a} n^{α_{k} + β_{k}} \end{cases} \end{array}

以下 $n = (n_{1}, . ., n_{a}), α = (α_{1}, . . ., α_{a}) \in R^{a}, m = (m_{1}, . . ., m_{b}), β = (β_{1}, . . ., β_{b}) \in R^{b}$ に対して以下の様な積を定める。
$n^{α} m^{β} = \sum_{\begin{matrix} 1 \leq k \leq a \\ 1 \leq l \leq b \end{matrix}} n_{k}^{α_{k}} m_{l}^{β_{l}}$

$n \in U_{a}^{<}$ に対して以下の記号を定める。
$\begin{array}{r} e_{a} (n) = (n の最後の成分) = n_{a} \end{array}$

連結和法と皆大好きコネクター

参考文献：Hoffmanの恒等式を参考にまずは連結和法とは何か抜粋しておこう。

連結和法

連結和 (connected sum) と呼ばれるこの証明法のキーを発見する。
連結和の輸送関係式 (transport relation) を示す。
連結和の境界条件 (boundary condition) を確認する。
輸送関係式を繰り返し用いてインデックスを輸送してできた等式に境界条件を適用する。

この連結和法について具体例で見ていこう。
そのために、この節では余余余さんの記事の冒頭の級数：(n!m!/(n+m)!)²が含まれる級数を示してみようと思う。
＊まずは、余余余さんの記事を参照してください。

抜粋した級数

\begin{array}{r} {\begin{cases} ζ (3) = \sum_{0 < n, m} \frac{1}{n m^{2}} \frac{n! m!}{(n + m)!} (余 余 余 ★) \\ ζ (3) = 3 \sum_{0 < n, m} \frac{1}{n m^{2}} (\frac{n! m!}{(n + m)!})^{2} (余 余 余 ★ ★) \end{cases} \end{array}

式(余余余★)を証明しよう。

連結和

インデックス $k = (k_{1}, . . ., k_{a}) \in I_{a} \subset I, l = (l_{1}, . . ., l_{b}) \in J_{b} \in I_{0}$ に対して、次の様な級数を連結和と言います。
$Z (k; l) = \sum_{\begin{matrix} n \in U_{a}^{<}, m \in U_{b}^{<} \end{matrix}} \frac{1}{n^{k}} C (e_{a} (n), e_{b} (m)) \frac{1}{m^{l}}$
この級数で $C (n_{a}, m_{b})$ の事をコネクターと言います。
このコネクターにより、次の式が成り立つように定義されています。
$Z (k_{↑}; l) = Z (k, l_{\to})$

コネクター

定義5で与えられた連結和に出てきたコネクター $C (n_{a}, m_{b})$ は次の様な形で与えらる。
$C (n_{a}, m_{b}) = \frac{n_{a}! m_{b}!}{(n_{a} + m_{b})!}$

[1]示すべきことを確認する：

\begin{array}{r} {\begin{cases} Z (k_{↑}; l) = \sum_{n \in U_{a}^{<}, m \in U_{b}} \frac{1}{n^{k}} \frac{C (e_{a} (n), e_{b} (m))}{n_{a}} \frac{1}{m^{l}} \\ Z (k; l_{\to}) = \sum_{n \in U_{a}^{<}, m \in U_{b + 1}} \frac{1}{n^{k}} \frac{C (e_{a} (n), e_{b + 1} (m))}{m_{b + 1}} \frac{1}{m^{l}} \end{cases} \end{array}

より

\begin{array}{rcl} Z (k_{↑}; l) - Z (k; l_{\to}) & = & \sum_{n \in U_{a}^{<}, m \in U_{b}} \frac{1}{n^{k} m^{l}} {\frac{C (e_{a} (n), e_{b} (m))}{n_{a}} - \sum_{m_{b} \leq m_{b + 1}} \frac{C (e_{a} (n), m_{b + 1})}{m_{b + 1}}} \\ = & 0 \end{array}

ゆえに、

C (n_{a}, m_{b})

が次式を満たすことを確認すればいい。

\frac{C (n_{a}, m_{b})}{n_{a}} = \sum_{m_{b} < m_{b + 1}} \frac{C (n_{a}, m_{b + 1})}{m_{b + 1}}

[2]実際に示す：

\begin{array}{rcl} \sum_{m_{b} < m_{b + 1}} \frac{C (n_{a}, m_{b + 1}))}{m_{b + 1}} & = & \sum_{m_{b} < m_{b + 1}} \frac{n_{a}! m_{b + 1}!}{m_{b + 1} (n_{a} + m_{b + 1})!} \\ = & \sum_{m_{b} < m_{b + 1}} \frac{n_{a}! (m_{b + 1} - 1)!}{(n_{a} + m_{b + 1})!} \\ = & \frac{1}{n_{a}} \sum_{m_{b} < m_{b + 1}} n_{a} \frac{n_{a}! m_{b + 1}!}{(n_{a} + m_{b + 1})!} \\ = & \frac{1}{n_{a}} \sum_{m_{b} < m_{b + 1}} (\frac{n_{a}! (m_{b + 1} - 1)!}{(n_{a} + m_{b + 1} - 1)!} - \frac{n_{a} m_{b + 1}!}{(n_{a} + m_{b + 1})!}) \\ = & \frac{1}{n_{a}} \frac{n_{a}! m_{b}!}{(n_{a} + m_{b}!)} \\ = & \frac{C (n_{a}, m_{b})}{n_{a}} \end{array}

輸送関係式

上記の様な連結和が定まった事で、直ちに次の様な輸送関係式を得る。
$Z (k_{↑^{n}}; \emptyset) = Z (k; {1}^{n})$

境界条件

$\begin{array}{r} {\begin{cases} ζ (3) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{3}} = Z (3; \emptyset) \\ \sum_{0 < n, m} \frac{1}{n m^{2}} \frac{n! m!}{(n + m)!} = Z (2; 1) \end{cases} \end{array}$

[1]確認事項1

\begin{array}{rcl} Z (3, \emptyset) & = & \sum_{0 < n} \frac{1}{n^{3}} Z = ζ (3) \end{array}

[2]確認事項2

\begin{array}{rcl} Z (2; 1) & = & \sum_{0 < n, m} \frac{1}{n^{2}} \frac{n! m!}{(n + m)!} \frac{1}{m} \end{array}

得られた式の

m, n

の総和の範囲は一致しているので文字を入れ替えて証明が完了する。

上記の輸送関係式から実は次の様な等式が得られていることは面白い

\begin{array}{rcl} ζ (3) & = & \sum_{0 < n} \frac{1}{n^{3}} \\ = & \sum_{0 < m, n} \frac{1}{n m^{2}} \frac{n! m!}{(n + m)!} \\ = & \sum_{\begin{array}{c} 0 < n \\ 0 < m_{1} < m_{2} \end{array}} \frac{1}{n} \frac{n! m_{2}!}{(n + m_{2})!} \frac{1}{m_{1} m_{2}} \end{array}

式(余余余★★)を証明しよう

式(余余余★)で証明した連結和を用いよう。

コネクター

$C (n_{a}, m_{b}) = (\frac{n_{a}! m_{b}!}{(n_{a} + m_{b})!})^{2}$

このコネクターを用いた場合は下記の様な輸送関係式を満たす。

輸送関係式

任意のインデックス $k \in I, l \in I_{0}$ に対して以下の漸化式が成り立つ。
$Z (k_{↑^{2}}; l) = Z (k; l_{\to↑}) + 2 Z (k_{↑}; l_{\to})$

[1]示すべきことを確認する：
$\begin{array}{r} {\begin{cases} Z (k_{↑^{2}}; l) = \sum_{n \in U_{a}^{<}, m \in U_{b}^{<}} \frac{C (n_{a}, m_{b})}{n_{a}^{2}} \frac{1}{m^{l}} \\ Z (k; l_{\to↑}) + 2 Z (k_{↑}; l_{\to}) = \sum_{n \in U_{a}^{<}, m \in U_{b + 1}^{<}} \frac{1}{n^{k}} C (n_{a}, m_{b + 1}) (\frac{1}{m_{b + 1}^{2}} + \frac{2}{n_{a} m_{b}}) \frac{1}{m^{l}} \end{cases} \end{array}$
より以下の式を得る。
$\begin{array}{rcl} Z (k_{↑^{2}}; l) - {Z (k; l_{\to↑}) + 2 Z (k_{↑}; l_{\to})} & = & \sum_{n \in U_{a}^{<}, m \in U_{b}^{<}} \frac{1}{n^{k} m^{l}} {\frac{C (n_{a}, m_{b})}{n_{a}^{2}} - \sum_{m_{b} < m_{b + 1}} C (n_{a}, m_{b + 1}) (\frac{1}{m_{b + 1}^{2}} + \frac{2}{n_{a} m_{b + 1}})} \\ = & 0 \end{array}$
ゆえに示すべきことは次の式：
$\frac{C (n_{a}, m_{b})}{n_{a}^{2}} = \sum_{m_{b} < m_{b + 1}} C (n_{a}, m_{b + 1}) (\frac{1}{m_{b + 1}^{2}} + \frac{2}{n_{a} m_{b + 1}})$
[2]
$\begin{array}{rcl} \sum_{m_{b} < m_{b + 1}} C (n_{a}, m_{b + 1}) (\frac{1}{m_{b + 1}^{2}} + \frac{2}{n_{a} m_{b + 1}}) & = & \sum_{m_{b} < m_{b + 1}} (\frac{n_{a}! m_{b + 1}!}{(n_{a} + m_{b + 1})!})^{2} (\frac{1}{m_{b + 1}^{2}} + \frac{2}{n_{a} m_{b + 1}}) \\ = & \sum_{m_{b} < m_{b + 1}} \frac{1}{n_{a}^{2}} {(\frac{n_{a}! (m_{b + 1} - 1)!}{(n_{a} + m_{b + 1} - 1)!})^{2} - (\frac{n_{a}! m_{b + 1}!}{(n_{a} + m_{b + 1})!})^{2}} \\ = & \frac{1}{n_{a}^{2}} (\frac{n_{a}! m_{b}!}{(n_{a} + m_{b})!})^{2} \\ = & \frac{1}{n_{a}^{2}} C (n_{a}, m_{b}) \end{array}$

境界条件

$\begin{array}{r} {\begin{cases} Z (3; \emptyset) = ζ (3) \\ Z (1; 2) + 2 (2, 1) = 3 \sum_{0 < n, m} \frac{1}{n m^{2}} (\frac{n! m!}{(n + m)!})^{2} \end{cases} \end{array}$

[1]前者は明らか
[2]後者

\begin{array}{rcl} Z (1; 2) + 2 Z (2; 1) & = & \sum_{0 < n, m} (\frac{1}{n m^{2}} + \frac{2}{n^{2} m}) (\frac{n! m!}{(n + m)!})^{2} (m, n の 対 称 性 を 利 用) \\ = & 3 \sum_{0 < n, m} \frac{1}{n m^{2}} (\frac{n! m!}{(n + m)!})^{2} \end{array}

自分でコネクタを考えてみる

少しはオリジナリティを出したいので、少しだけコネクタを考えてみよう。

コネクタ

任意の実数 $A \in R - {0}$ に対して以下の様なコネクタを定義する。
$C (n_{a}, m_{b}) = A^{n_{a} + m_{b}} \frac{n_{a}! m_{b}!}{(n_{a} + m_{b})!}$

上記コネクタは下記の漸化式を満たす。
$C (n_{a}, m_{b} - 1) - C (n_{a}, m_{b}) = C (n_{a}, m_{b}) (\frac{n_{a}}{m_{b}} - \frac{1 - A}{A})$

$\begin{array}{rcl} C (n_{a}, m_{b + 1} - 1) - C (n_{a}, m_{b + 1}) & = & A^{n_{a} + m_{b + 1} - 1} \frac{n_{a}! (m_{b + 1} - 1)!}{(n_{a} + m_{b + 1})!} (m_{b + 1} - A (n_{a} + m_{b + 1})) \\ = & C (n_{a}, m_{b + 1}) (\frac{n_{a}}{m_{b + 1}} - \frac{1 - A}{A}) \end{array}$

輸送関係式

任意のインデックス $k = (k_{1}, . . ., k_{a}) \in I, l = (l_{1}, . . ., l_{b}) \in I_{0}$ に対して以下の輸送関係式が成り立つ。
$Z (k_{↑}; l) = Z (k; l_{\to}) - \frac{1 - A}{A} Z (k_{↑}; l_{\to↓})$

[1]示すべきことを確認する：
$Z (k_{↑}; l) = \sum_{n \in U_{a}^{<}, m \in U_{b}^{<}} \frac{C (n_{a}, m_{b})}{n_{a}} \frac{1}{m^{l}}$
$Z (k; l_{\to}) - \frac{1 - A}{A} Z (k_{↑}; l_{\to↓}) = \sum_{n \in U_{a}^{<}, m \in U_{b}^{<}} \sum_{m_{b} < m_{b + 1}} C (n_{a}, m_{b + 1}) (\frac{1}{m_{b + 1}} - \frac{1 - A}{A} \frac{1}{n_{a}}) \frac{1}{m^{l}}$
より
$\begin{array}{rcl} Z (k_{↑}; l) - {Z (k; l_{\to}) - \frac{1 - A}{A} Z (k; l_{\to↓})} & = & \sum_{n \in U_{a}^{<}, m \in U_{b}^{<}} \frac{1}{n^{k} m^{l}} {\frac{C (n_{a}, m_{b})}{n_{a}} - \sum_{m_{b} < m_{b + 1}} C (n_{a}, m_{b + 1}) (\frac{1}{m_{b + 1}} - \frac{1 - A}{A} \frac{1}{n_{a}})} \\ = & 0 \end{array}$
よって示すべき式は以下の式：
$\frac{C (n_{a}, m_{b})}{n_{a}} = \sum_{m_{b} < m_{b + 1}} C (n_{a}, m_{b + 1}) (\frac{1}{m_{b + 1}} - \frac{1 - A}{A} \frac{1}{n_{a}})$
[2]
$\begin{array}{rcl} \sum_{m_{b} < m_{b + 1}} C (n_{a}, m_{b}) {\frac{1}{m_{b}} - \frac{1 - A}{A} \frac{1}{n_{a}}} & = & \frac{1}{n_{a}} C (n_{a}, m_{b}) \end{array}$

境界条件

$\begin{array}{r} {\begin{cases} Z (3; \emptyset) = \sum_{0 < n} \frac{A^{n}}{n^{3}} \\ Z (2; 1) - \frac{1 - A}{A} Z (3; 0) = \sum_{0 < n, m} \frac{A^{n + m}}{n^{2} m} \frac{n! m!}{(n + m)!} - \frac{1 - A}{A} \sum_{0 < n, m} \frac{A^{n + m}}{n^{3}} \frac{n! m!}{(n + m)!} \end{cases} \end{array}$

代入して計算するだけ。

この最後に得られた式は

A = 1

を代入した場合は(余余余★)と一致するので、(余余余★)を拡張したものだと分かる。
上記の様に、コネクタから逆算して輸送関係式を導くのは案外簡単にできる。
上記の方法をコネクタによる輸送関係式の導入と呼ぶことにする。

コネクタによる輸送関係式の導入法は簡単にまとめると次の様。

[1]まずコネクタ $C (n_{a}, m_{b + 1})$ を定める。
[2]コネクタの $m_{b + 1}$ に関する後進差分 $C (n_{a}, m_{b + 1}) - C (n_{a}, m_{b + 1} - 1)$ を求める。
[3][2]で求めた式を整理して次の形に直す： $\sum_{s} \frac{A_{s}}{n_{a}^{s}} {C (n_{a}, m_{b + 1}) - C (n_{a}, m_{b + 1} - 1)} = \sum_{q, r} \frac{B_{q r}}{n_{a}^{q} m_{b + 1}^{r}} C (n_{a}, m_{b + 1})$
[4][3]より $\sum_{s} A_{s} Z (k_{↑^{s}}) = \sum_{q, r} B_{q r} Z (k_{↑^{q}}; l_{\to^{r}})$

投稿日：2024年12月8日

更新日：2024年12月21日

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