文献あり

小数とは何なのか~なぜ1=0.99999•••が成り立つの？~

はじめに

数は自然数、整数、有理数、実数と定義されます。では小学生のころから嫌になるほど計算してきた小数はどのように定義されるのか、大学数学を少し勉強した人向けに書かせていただきます。自分で勉強したことなので、厳密性に欠ける点がいくらかあると思います。気づいたことがあればコメントで教えていただけると幸いです。

本文

ある実数$x$をとってきます。ではこの$x$を小数で表す方法として次のようなものを考えてみましょう。

任意の実数$x$に対して、数列${(a_{n})}_{n}$を以下のように定義します。

$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} a_{1} = \lfloor x \rfloor , a_{k+1} = \lfloor 10^k(x - \sum_{i=1}^{k} a_{i}/10^{i-1} ) \rfloor　　 (x \geq 0)\\ a_{1} = \lceil x \rceil , a_{k+1} = \lceil 10^k(x - \sum_{i=1}^{k} a_{i}/10^{i-1} ) \rceil　　 (x \lt 0) \end{array} \right. \end{eqnarray} $$

例えば、$\sqrt{2}$であれば次のようにすればよいですね。
$a_{1} = 1, a_{2} = 4, a_{3} = 1, a_{4} = 4, a_{5} = 2, \cdots $

このように定義すると、$\sum_{n=1}^{m}a_{n}/10^{n-1}$の$m$を$∞$にとばした極限はもとの実数$x$に収束することが分かります。

初項は整数で、$n \geq 2$の時$-9$から$9$の整数値をとり、全ての項は符号が同じで、任意の自然数$m$に対してある自然数$n \geq m$が存在して第$n$項が$-9$または$9$でないような数列全体を$A$とします。

すると次のことが示せます。

写像$\varphi : \mathbb{R} \rightarrow A $は全単射である。

単射であることを示す。
$\varphi$の定め方より、任意の$\mathbb{R}$の元$x, y$をとると数列${(a(x)_{n})}_{n}, {(a(y)_{n})}_{n}$をそれぞれ定めることができ、$x \neq y$ならば、ある自然数$m$が存在し、$a(x)_{m} \neq a(y)_{m}$が成り立つことが分かるので単射である。

全射であることを示す。
任意の二つの有理数の間に実数が存在するため、このことと、区間縮小法を用いると、任意の$A$の元${(a_{n})}_{n}$に対して写像$\varphi$で${(a_{n})}_{n}$に写される$\mathbb{R}$の元$x$が存在する（この証明でいいはず！）。よって、全単射である。

以上より示された。$\square$

※もし全単射であることの厳密な証明をできた方がいらっしゃればコメントで教えてくれると嬉しいです。

次に$A$の元に対して次のような大小関係を入れてあげます。

$A$の元${(a_{n})}_{n}, {(b_{n})}_{n}$に対して、$m = \min \lbrace n \vert a_{n} \neq b_{n} \rbrace$としたとき、$a_{m} \lt b_{m}$ならば${(a_{n})}_{n} \lt {(b_{n})}_{n}$とする。

すると、次のことが成り立ちます。

$x,y$を実数とする。$A$の元$\varphi (x), \varphi (y)$に対して、$\varphi (x) \lt \varphi (y)$ならば$x \lt y$が成り立つ。

$\varphi$の定め方より示せる。$\square$

※もし厳密な証明をできた方がいらっしゃればコメントで教えてくれると嬉しいです。

$x = \varphi (x)_{1}. \vert \varphi (x)_{2} \vert \vert \varphi (x)_{3} \vert \vert \varphi (x)_{4} \vert \vert \varphi (x)_{5} \vert \vert \varphi (x)_{6} \vert \cdots $と書き表すことにする。
また、ある自然数$n$が存在して、$m \gt n$ならば $\varphi (x)_{m} = 0$のとき、$\vert \varphi (x)_{n+1} \vert$以降は省略し、$x = \varphi (x)_{1}. \vert \varphi (x)_{2} \vert \vert \varphi (x)_{3} \vert \cdots　\vert \varphi (x)_{n} \vert $と書き表すことにする。

こうすれば今まで通りの少数の扱いになります。
今回は考えませんが、少数の加法と乗法を有限小数に対してのみ定義することができ、それらの演算によって得られた小数は、もとの実数の加法と乗法によって得られた値を写像$\varphi$で写したものと一致します。

今、$A$の元として、$-9$または$9$が無限に連続に続くものは考えませんでした。なぜならば、そのような数列${(c_{n})}_{n}$を考えると、$\sum_{n=1}^{m}c_{n}/10^{n-1}$と$\sum_{n=1}^{m}a_{n}/10^{n-1}$の$m$を$∞$にとばした極限が一致するような$A$の元${(a_{n})}_{n}$が存在してしまうからです。そこで、そのような数列${(c_{n})}_{n}$は${(a_{n})}_{n}$と等しいと考えてしまえばよいのです。