午年なので、馬蹄補題 (Horseshoe lemma) を証明してみた

$\forall x\in A_{i-1}$をとる。$f_{i-1}(x)\in\Im f_{i-1}=\Ker f_{i}$ なので、$f_{i}(f_{i-1}(x))=0$。$\square$

(1)$\Rightarrow$(2)

$q$の構成

$c\in C$に対し、$p:B\to C$の全射性より、$\exists b\in B,\ p(b)=c$となる。この$b$を使って、
$$q(c):=b-i\circ j(b)$$
と定める。

$q$がwell-definedであること

$p(b)=c$ となる $b\in B$ と、$p(b')=c$ となる $b'\in B$ を取ってくる。$p(b-b')=0$なので、$b-b'\in\Ker p$である。短完全列であることから$\Ker p=\Im i$ なので、$\exists a\in A, i(a)=b-b'$となる。このとき、
$$ b-i\circ j(b)=b'+i(a)-i\circ j(b'+i(a))=b'+i(a)-i\circ j(a)-i\circ j \circ i(b')=b'-i\circ j(b')$$
となる。したがって、$q$はwell-defined。

$q$が準同型写像であること

式の形より明らか。

$p\circ q=\mathrm{id}_{C}$であること

$$p\circ q(c)=p(b-i\circ j(b))=p(b)-0\circ j(b)=p(b)=c$$
であることから分かる。

(2)$\Rightarrow$(1)

$j$の構成

$b\in B$ に対して、$p(b-q\circ p(b))=0$となるので、$b-q\circ p(b)\in\Ker p$ である。短完全列であることから$\Ker p=\Im i$ なので、$\exists! a\in A, i(a)=b-q\circ p(b)$となる($\because$ $i$は単射なので、$a$は一意的に存在する)。このとき、
$$j(b):=a$$
が定められ、well-definedである。

jが準同型写像であること

式の形から容易に分かる。

$j\circ i=\mathrm{id}_{A}$であること

$i\circ j(b)=b-q\circ p(b)$であるので、
$$i\circ j\circ i(a)=i(a)-q\circ p\circ i(a)=i(a)-q\circ 0(a)=i(a)$$
となる。$i$は単射ゆえ$ j\circ i(a)=a$なので、$j\circ i=\mathrm{id}_{A}$である。

$\therefore$ 以上より、(1)$\iff$(2) である。$\square$

$R$-加群$M,N$、全射準同型写像 $f:A\oplus C\to N$、準同型写像 $g:A\oplus C\to N$をそれぞれ任意にとる。
\begin{xy} \xymatrix { & &A\oplus C \ar[dl]_{^{\exists}h?}\ar@{}[dl]!<+4ex, -2ex>|{\circlearrowleft} \ar[d]^{^{\forall}g}\\ &M \ar@{->>}[r]_{^{\forall}f} &N } \end{xy}
$i:A\to A\oplus C$ を $i(a)=(a,0)$ で定め、$j:C\to A\oplus C$ を $j(c)=(0,c)$ で定める。$f$ と $g\circ i$、$f$ と $g\circ j$ について、それぞれ射影加群であることの定義を使う。
\begin{xy} \xymatrix { & &A \ar[dl]_{^{\exists}h_{1}}\ar@{}[dl]!<+4ex, -2ex>|{\circlearrowleft} \ar[d]^{g\circ i}& &C \ar[dl]_{^{\exists}h_{2}}\ar@{}[dl]!<+4ex, -2ex>|{\circlearrowleft} \ar[d]^{g\circ j}\\ &M \ar@{->>}[r]_{f} &N&M \ar@{->>}[r]_{f} &N } \end{xy}
すると $\exists h_{1}:A\to M, f\circ h_{1}=g\circ i$ と $\exists h_{2}:C\to M, f\circ h_{2}=g\circ j$ がいえる。これを使って、$h:A\oplus C\to M$ を
$$h(a,c)=h_{1}(a)+h_{2}(c)$$
で定める。すると
$$f\circ h(a,c)=f(h_{1}(a)+h_{2}(c))=f\circ h_{1}(a)+f\circ h_{2}(c)=g\circ i(a)+g\circ j(a)=g(a,0)=g(0,c)=g(a,c)$$
となる。したがって、図式が可換になるような $h:A\oplus C\to M$ が存在するので、$A\oplus C$は射影加群である。$\square$

$C$ は射影加群なので、定義より次の図式
\begin{xy} \xymatrix { & &C \ar[dl]_{^{\exists}q} \ar@{}[dl]!<+4ex, -2ex>|{\circlearrowleft} \ar[d]^{\mathrm{id}_{C}}\\ &B \ar@{->>}[r]_{p} &C } \end{xy}
を可換にする写像$\exists q:C\to B$が存在する。$p\circ q=\mathrm{id}_{C}$ なので、この短完全列は分裂する。$\square$

$C$ は射影加群なので、定義より準同型写像$h:C\to E$で$g\circ h=\gamma$となるものが存在する。また、lem4より短完全列が分裂するので、lem2より、準同型写像$j:B\to A$で$j\circ i=\mathrm{id}_{A}$となるものが存在する。
\begin{xy} \xymatrix@M=2ex { &0 \ar[r] &A \ar@<0.6ex>@{^{(}->}[r]^{i} \ar[d]^{\alpha} &B \ar@<0.6ex>[l]^{j} \ar@{->>}[r]^{p} &C \ar[r] \ar[d]^{\gamma} \ar[dl]_{h} \ar@{}[dl]!<+4ex, -2ex>|{\circlearrowleft} &0\\ &0 \ar[r] &D \ar@{^{(}->}[r]_{f} &E \ar@{->>}[r]_{g} &F \ar[r]&0 } \end{xy}
このとき、
$$\beta:=f\circ\alpha\circ j+h\circ p$$
とすればよい。実際、これは準同型写像であり、以下の計算により図式の可換性が示せる。$a\in A$ に対して、
$$\beta(i(a))=f\circ\alpha\circ j\circ i(a)+h\circ p\circ i(a)=f\circ\alpha(a)+h\circ 0(a)=f(\alpha(a))$$
なので、$\beta\circ i=f\circ\alpha$となる。また、$b\in B$に対して、
$$g(\beta(b))=g\circ f\circ\alpha\circ j(b)+g\circ h\circ p(b)=0\circ\alpha\circ j(b)+\gamma\circ p(b)=\gamma(p(b))$$
なので、$g\circ\beta=\gamma\circ p$となる。以上より、図式が可換になる。
\begin{xy} \xymatrix@M=2ex { &0 \ar[r] &A \ar@{^{(}->}[r]^{i} \ar[d]^{\alpha} \ar@{}[dr]|{\circlearrowleft} &B \ar@{->>}[r]^{p} \ar[d]^{\beta} \ar@{}[dr]|{\circlearrowleft} &C \ar[r] \ar[d]^{\gamma} &0\\ &0 \ar[r] &D \ar@{^{(}->}[r]_{f} &E \ar@{->>}[r]_{g} &F \ar[r]&0 } \end{xy}
$\square$

定義から直ちにしたがう。$\square$

$B_{i} = A_{i}\oplus C_{i}$ として取ればよい（lem3より、このように構成すれば各$B_{i}$は射影加群になる）。以下、帰納的に示していく。

$B_{0}$ について

$B_{0}:=A_{0}\oplus C_{0}$ とし、
$$f_{0}:A_{0}\to A_{0}\oplus C_{0}, \ f_{0}(a)=(a,0)$$
$$g_{0}:A_{0}\oplus C_{0} \to C_{0}, \ g_{0}(a,c)=c$$
とすると、
\begin{xy} \xymatrix { 0 \ar[r]^{0} & A_{0} \ar[r]^{f_{0}} & A_{0}\oplus C_{0} \ar[r]^{g_{0}} & C_{0} \ar[r]^{0} & 0 } \end{xy}
は完全列である。次の図式を考える。

\begin{xy} \xymatrix { && 0\ar[d] &0\ar[d]&\\ &\cdots \ar[r] & A_{0} \ar@{->>}[r]^{\varepsilon} \ar[d]_{f_{0}} & A \ar[r]^{0}\ar[d]^{f} & 0\\ && B_{0} \ar[d]_{g_{0}} & B\ar[r]^{0}\ar[d]^{g} &0\\ &\cdots \ar[r] & C_{0} \ar@{->>}[r]^{\varepsilon''}\ar[d] & C \ar[r]^{0}\ar[d] & 0 \\ && 0 &0& } \end{xy}
$C_{0}$は射影加群なので、lem5より、準同型写像$\varepsilon':B_{0}\to B$ であって次の図式を可換にするものが存在する。
\begin{xy} \xymatrix { && 0\ar[d] &0\ar[d]&\\ &\cdots \ar[r] & A_{0} \ar@{->>}[r]^{\varepsilon} \ar[d]_{f_{0}} \ar@{}[dr]|{\circlearrowleft} & A \ar[r]^{0}\ar[d]^{f} & 0\\ && B_{0} \ar[r]^{\varepsilon'}\ar[d]_{g_{0}} \ar@{}[dr]|{\circlearrowleft} & B\ar[r]^{0}\ar[d]^{g} &0\\ &\cdots \ar[r] & C_{0} \ar@{->>}[r]^{\varepsilon''}\ar[d] & C \ar[r]^{0}\ar[d] & 0 \\ && 0 &0& } \end{xy}
あとは、$\varepsilon'$が全射なことを示せばよいが、それには蛇の補題を使う。
$$0\to\Ker\varepsilon\to\Ker\varepsilon'\to\Ker\varepsilon''\to\coker\varepsilon\to\coker\varepsilon'\to\coker\varepsilon''\to 0$$
という完全列において、$\varepsilon$と$\varepsilon''$は全射なので、$\coker\varepsilon=0, \coker\varepsilon''=0$ である。完全列の性質により$\coker\varepsilon'=0$であり、ゆえに$\varepsilon'$は全射である。

$B_{1}$ について

$B_{1}:=A_{1}\oplus C_{1}$ とし、
$$f_{1}:A_{1}\to A_{1}\oplus C_{1}, \ f_{1}(a)=(a,0)$$
$$g_{1}:A_{1}\oplus C_{1} \to C_{1}, \ g_{1}(a,c)=c$$
とする。次の図式を考える。

\begin{xy} \xymatrix { &0\ar[d] &0\ar[d]\\ &A_{1}\ar[r]^{d_{1}} \ar[d]_{f_{1}} & \Ker\varepsilon\ar[d]\\ &B_{1}\ar[d]_{g_{1}}& \Ker\varepsilon'\ar[d]\\ &C_{1}\ar[r]^{d''_{1}}\ar[d]& \Ker\varepsilon''\ar[d]\\ &0&0 } \end{xy}

左の列は完全列で、右の列は蛇の補題より完全列である。$C_{1}$は射影加群なので、lem5より、準同型写像$d'_{1}:B_{1}\to \Ker\varepsilon'$ であって次の図式を可換にするものが存在する。

\begin{xy} \xymatrix { &0\ar[d] &0\ar[d]\\ &A_{1}\ar[r]^{d_{1}} \ar[d]_{f_{1}} \ar@{}[dr]|{\circlearrowleft} & \Ker\varepsilon\ar[d]\\ &B_{1}\ar[r]^{d'_{1}} \ar[d]_{g_{1}} \ar@{}[dr]|{\circlearrowleft}& \Ker\varepsilon'\ar[d]\\ &C_{1}\ar[r]^{d''_{1}}\ar[d]& \Ker\varepsilon''\ar[d]\\ &0&0 } \end{xy}

あとは、$\Im d'_{1}=\Ker\varepsilon'$が成り立つことを示せばよく、それには再び蛇の補題を使う。
$$0\to\Ker d_{1}\to\Ker d'_{1}\to\Ker d''_{1}\to\coker d_{1} \to\coker d'_{1}\to\coker d''_{1}\to 0$$
という完全列において、$d_{1}:A_{1}\to\Ker\varepsilon=\Im d_{1}$と$d''_{1}:C_{1}\to\Ker\varepsilon''=\Im d''_{1}$は全射なので、$\coker d_{1}=0, \coker d''_{1}=0$ である。完全列の性質により$\coker d_{1}'=0$であり、ゆえに$d'_{1}:B_{1}\to\Ker\varepsilon'$は全射である。したがって、$d_{1}:B_{1}\to B_{0}$ に関して、$\Im d'_{1}=\Ker \varepsilon'$ となる。
これにより、次の図式が可換となり、左の列と真ん中の行が完全列となる。
\begin{xy} \xymatrix { &&0\ar[d]& 0\ar[d] &0\ar[d]&\\ &\cdots \ar[r]& A_{1}\ar[r]^{d_{1}}\ar[d]_{f_{1}} \ar@{}[dr]|{\circlearrowleft} & A_{0} \ar@{->>}[r]^{\varepsilon} \ar[d]^{f_{0}} \ar@{}[dr]|{\circlearrowleft} & A \ar[r]^{0}\ar[d]^{f} & 0\\ &&B_{1}\ar[r]^{d'_{1}}\ar[d]_{g_{1}} \ar@{}[dr]|{\circlearrowleft} & B_{0} \ar[r]^{\varepsilon'}\ar[d]^{g_{0}} \ar@{}[dr]|{\circlearrowleft} & B\ar[r]^{0}\ar[d]^{g} &0\\ &\cdots \ar[r]& C_{1}\ar[r]^{d''_{1}}\ar[d] & C_{0} \ar@{->>}[r]^{\varepsilon''}\ar[d] & C \ar[r]^{0}\ar[d] & 0 \\ && 0 & 0 & 0 & } \end{xy}

$B_{2}$ 以降について

$B_{1}$ のときと同様のことを行うことで、帰納的に$B_{2}, B_{3}, \cdots$ が構成できる。$\square$