有限群の部分集合で乗法に関して閉じているものは部分群である

$G$を有限群，$H$をその空でない部分集合とするとき，次の2条件は同値である．
(1) $H$は$G$の部分群である．
(2) $H$は乗法に関して閉じている．

(1)$\Rightarrow$(2) は自明．
(2)$\Rightarrow$(1). $H$は$G$の部分群だから，結合律が成り立つ．
$x \in H, X = \set{xy \mid y \in H}$とすると，$H$は有限集合だから$H = X$．ゆえに，ある$y \in H$が存在して$x y = x$，すなわち$1 \in H$．同様にある$z \in H$が存在して$xz = 1$，すなわち$z = x^{-1}$．ゆえに$H$は$G$の部分群である．

$G$が無限群であるときは，閉じている部分集合$H$が部分群であるとは限らない．反例：$G = \symbb{Z}, H = \symbb{N}$とすると，$H$は$G$の部分集合でかつ演算$+$に関して閉じているが，部分群ではない．（これは$\symbb{N}$が$0$を含むかどうかによらない．）