無限個の箱に無限個の玉を入れる方法の数

(2)の前半と(3)の前半以外明らか.
(2)の前半を示す. $\lambda\neq 0$としてよい. $\lambda\le\kappa$で、少なくとも片方は無限なので$\kappa$は無限である. $\kappa^\lambda\le|\mathrm{Inj}(\lambda, \kappa)|$が言えればよい. $\lambda\cdot\kappa=\kappa$より、$\kappa$を$\lambda$個の濃度$\kappa$の部分集合$X_\alpha:\alpha<\lambda$に分割できる. $\prod_{\alpha<\lambda}X_\alpha\subseteq \mathrm{Inj}(\lambda, \kappa)$より$\kappa^\lambda=|\prod_{\alpha<\lambda}X_\alpha|\le|\mathrm{Inj}(\lambda, \kappa)|$である.
(3)の前半を示す. $\lambda$は無限である. $\kappa^\lambda\le|\mathrm{Surj}(\lambda, \kappa)|$が言えればよい. $\kappa+\lambda=\kappa$より、$\kappa$はそれぞれ濃度$\kappa, \lambda$の部分集合$X, Y$に分割できる. $f:Y\to\lambda$を全射にとれるので固定する. $\mathrm{Map}(X, \kappa)\to\mathrm{Surj}(\lambda, \kappa);g\mapsto f\cup g$は単射なので$\kappa^\lambda=|\mathrm{Map}(X, \kappa)|\le|\mathrm{Surj}(\lambda, \kappa)|$である.

well-definedであることは確かめられる.
$F$が単射であることを見る. $f, g\in\mathrm{Map}(\lambda, \kappa)$が$ (|f^{-1}[\{\alpha\}]|)_{\alpha<\kappa}=(|g^{-1}[\{\alpha\}]|)_{\alpha<\kappa}$を満たすとして、$g\in\mathrm{Sym}(\lambda)\cdot f$を見ればよい. 各$\alpha<\kappa$に対し全単射$\varphi_\alpha:g^{-1}[\{\alpha\}]\to f^{-1}[\{\alpha\}]$がとれる. $\varphi=\bigcup_{\alpha<\kappa}\varphi_\alpha$とすると$\varphi\in\mathrm{Sym}(\lambda)$で$g=\varphi\cdot f\in\mathrm{Sym}(\lambda)\cdot f$である.
$\mathrm{ran}(F)=\{(\theta_\alpha)_{\alpha<\kappa}\in\Lambda^\kappa:\sum_{\alpha<\kappa}\theta_\alpha=\lambda\}$を見る. 左辺が右辺に包まれてはいるので、逆の包含を見る. $(\theta_\alpha)_{\alpha<\kappa}\in\Lambda^\kappa$が$\sum_{\alpha<\kappa}\theta_\alpha=\lambda$を満たすとすると、$\lambda$は$\forall \alpha<\kappa:|X_\alpha|=\theta_\alpha$となるような$\kappa$個の部分集合$X_\alpha:\alpha<\kappa$に分割できる. $f\in\mathrm{Map}(\lambda, \kappa)$を$\forall\alpha<\kappa:f[X_\alpha]\subseteq \{\alpha\}$で定めると$F(f)=(\theta_\alpha)_{\alpha<\kappa}$である.

補題の写像$F$を用いる.
(2)の前半から示す. $0<\lambda$としてよい. $\kappa^\lambda\le|\mathrm{Sym}(\lambda)\backslash\mathrm{Inj}(\lambda, \kappa)|$を見ればよいが、これは$X_\alpha:\alpha<\lambda$を命題1(2)の証明と同様にとると$\prod_{\alpha<\lambda}X_\alpha$の任意の相異なる2元が異なる軌道に属していることからしたがう.
(2)の後半は明らかである.
(1)の前半を示す. $|\Lambda|=\aleph_0+|\beta|$なので$|\Lambda|^\kappa\le|\mathrm{ran}(F)|$を見ればよいが、これは$\mathrm{ran}(F)$が濃度$|\Lambda|^\kappa$の部分集合$\{(\theta_\alpha)_{\alpha<\kappa}\in\Lambda^\kappa:\theta_0=\lambda\}$を持つことからしたがう.
(1)の後半を示す. $\kappa=0, 1$のときは明らかなので$\lambda<\kappa$のときを考えればよい. (2)より$\kappa^\lambda=|\mathrm{Sym}(\lambda)\backslash\mathrm{Inj}(\lambda, \kappa)|\le|\mathrm{Sym}(\lambda)\backslash\mathrm{Map}(\lambda, \kappa)|$なので$|\mathrm{ran}(F)|\le\kappa^\lambda$を示せば十分. $(\theta_\alpha)_{\alpha<\kappa}\in\mathrm{ran}(F)$の台$\{\alpha<\kappa:\theta_\alpha>0\}\subseteq \kappa$の濃度は$\lambda$以下. $\kappa$の濃度$\lambda$以下の部分集合が高々$\kappa^\lambda$個しかないこと、$S\subseteq \kappa$に対し$S$を台に持つ$f\in\mathrm{ran}(F)$が高々$|\Lambda|^\lambda$個しかないことより$|\mathrm{ran}(F)|\le\kappa^\lambda\cdot|\Lambda|^\lambda=\kappa^\lambda$.
(3)は$1<\kappa\le\lambda$のとき以外明らかなのでこの場合のみ示す. (1)より$|\mathrm{Sym}(\lambda)\backslash\mathrm{Surj}(\lambda, \kappa)|\le|\mathrm{Sym}(\lambda)\backslash\mathrm{Map}(\lambda, \kappa)|=|\Lambda|^\kappa$なので$|\Lambda|^\kappa\le|\mathrm{Sym}(\lambda)\backslash\mathrm{Surj}(\lambda, \kappa)|$さえ見れば十分だが、これは$F[\mathrm{Sym}(\lambda)\backslash\mathrm{Surj}(\lambda, \kappa)]\supseteq\{(\theta_\alpha)_{\alpha<\kappa}\in(\Lambda\setminus\{0\})^\kappa:\theta_0=\lambda\}$よりしたがう.

well-definedであることは確かめられる.
$G$が単射であることを見る. $f, g\in\mathrm{Map}(\lambda, \kappa)$が$G(f\cdot\mathrm{Sym}(\kappa))=G(g\cdot\mathrm{Sym}(\kappa))$を満たすとして$g\in f\cdot\mathrm{Sym}(\kappa)$を見ればよい. このとき全単射$\psi_0:\kappa\setminus\mathrm{ran}(f)\to\kappa\setminus\mathrm{ran}(g)$がとれるので$\psi=\{(f(\alpha), g(\alpha)):\alpha<\lambda\}\cup\psi_0$とすると$\psi\in\mathrm{Sym}(\kappa)$で$g=f\cdot\psi\in f\cdot\mathrm{Sym}(\kappa)$.
$\mathrm{ran}(G)=\{(\sim, |\kappa\setminus A|):{\sim}\in\mathcal{E}, A\subseteq \kappa, |A|=|\lambda/{\sim}|\}$を見る. 左辺が右辺に包まれてはいるので、逆の包含を見る. ${\sim}\in\mathcal{E}, A\subseteq \kappa, |A|=|\lambda/{\sim}|$と仮定する. 全単射$\lambda/{\sim}\to A$がとれるので一つ固定し、それから誘導される写像$\lambda\to A$を$f$で表すと$f\in\mathrm{Map}(\lambda, \kappa)$で$G(f\cdot\mathrm{Sym}(\kappa))=({\sim}, |\kappa\setminus A|)$である.

補題の$G$を用いる.
(1)を示す. $1<\kappa$のときのみ考えればよい. $\lambda<\aleph_0$の場合は$\forall f\in\mathrm{Map}(\lambda, \kappa):|\kappa\setminus\mathrm{ran}(f)|=\kappa$なことからしたがうので、$\lambda$は無限の場合を考える. $A\subseteq \lambda\setminus\{0\}$に対し$g_A=(A\cup\{0\})\times\{0\}\cup(\lambda\setminus A)\times\{1\}\in\mathrm{Map}(\lambda, \kappa)$とすると$\sim_{g_A}$に関する$0\in\lambda$の同値類は$A\cup\{0\}$なので、$G(g_A\cdot\mathrm{Sym}(\kappa)):A\subseteq \lambda\setminus\{0\}$は相異なる. よって$|\mathrm{ran}(G)|\ge 2^\lambda$. 一方、$\lambda$と$\kappa$の大小関係に依らず$|\{|\kappa\setminus \mathrm{ran}(f)|:f\in\mathrm{Map}(\lambda, \kappa)\}|\le|\Lambda|$なので$|\mathrm{ran}(G)|\le |\mathcal{E}|\cdot|\Lambda|\le 2^\lambda\cdot\lambda=2^\lambda$でもあり、$|\mathrm{ran}(G)|=2^\lambda$.
(2)を示す. $\kappa\neq\lambda$の場合は（補題5より）明らかなので$\kappa=\lambda$の場合のみ考える. $\forall f\in\mathrm{Inj}(\lambda, \kappa):{\sim_f}=\mathrm{id}_\lambda$なので$|G[\mathrm{Inj}(\lambda, \kappa)/\mathrm{Sym}(\kappa)]|\le |K|$. 一方各$\theta\in K$に対し、$\kappa$を濃度$\kappa$の$X\subseteq \kappa$と濃度$\theta$の$Y\subseteq \kappa$に分割して全単射$f:\lambda \to X$をとることができ、$f\in\mathrm{Inj}(\lambda, \kappa)$かつ$|\kappa\setminus\mathrm{ran}(f)|=\theta$となる. したがって$|G[\mathrm{Inj}(\lambda, \kappa)/\mathrm{Sym}(\kappa)]|=|K|=\aleph_0+|\alpha|$である.
(3)を示す. $1<\kappa\le\lambda$のときのみ考えればよい. $\forall f\in\mathrm{Surj}(\lambda, \kappa):|\kappa\setminus \mathrm{ran}(f)|=0$なので$|G[\mathrm{Surj}(\lambda, \kappa)/\mathrm{Sym}(\kappa)]|\le |\mathcal{E}|\le|\mathcal{P}(\lambda\times\lambda)|=2^\lambda$. 逆向きの不等号を示す. $\lambda\setminus\{0\}$を濃度$\lambda$の部分集合$X, Y$に分割して全射$g:Y\to\kappa$をとることができる. $A\subseteq X$に対し$f_A=(A\cup \{0\})\times\{0\}\cup(X\setminus A)\times \{1\}\cup g\in\mathrm{Surj}(\lambda, \kappa)$とすると$\sim_{f_A}$に関する$0\in\lambda$の同値類と$X$との交叉は$A$なので、$G(f_A\cdot\mathrm{Sym}(\kappa)):A\subseteq X$は相異なる. したがって$2^\lambda=|\mathcal{P}(X)|\le |G[\mathrm{Surj}(\lambda, \kappa)/\mathrm{Sym}(\kappa)]|$である.

well-definedであることは確かめられる.
$H$が単射であることを見る. $f, g\in\mathrm{Map}(\lambda, \kappa)$が$H(\mathrm{Sym}(\lambda)\cdot f\cdot \mathrm{Sym}(\kappa))=H(\mathrm{Sym}(\lambda)\cdot g\cdot \mathrm{Sym}(\kappa))$を満たすとして、$g\in\mathrm{Sym}(\lambda)\cdot f\cdot\mathrm{Sym}(\kappa)$を見ればよい. 各$\mu\in\Lambda$に対し、全単射$\psi_\mu:\{\xi<\kappa:|f^{-1}[\{\xi\}]|=\mu\}\to\{\xi<\kappa:|g^{-1}[\{\xi\}]|=\mu\}$がとれる. さらに、$|f^{-1}[\{\xi\}]|=\mu$なる各$\xi<\kappa$に対し全単射$\varphi_{\mu, \xi}:g^{-1}[\{\psi_\mu(\xi)\}]\to f^{-1}[\{\xi\}]$がとれる. このとき$\varphi=\bigcup_{\mu, \xi}\varphi_{\mu, \xi}, \psi=\bigcup_{\mu\in\Lambda}\psi_\mu$とすると$\varphi\in\mathrm{Sym}(\lambda), \psi\in\mathrm{Sym}(\kappa)$で$g=\varphi\cdot f\cdot\psi\in\mathrm{Sym}(\lambda)\cdot f\cdot \mathrm{Sym}(\kappa)$である.
$\mathrm{ran}(H)=\{(\theta_\mu)_{\mu\in\Lambda}\in K^\Lambda:\sum_{\mu\in\Lambda}(\theta_\mu\cdot\mu)=\lambda\}$を見る. 左辺が右辺に包まれてはいるので、逆の包含を見る.$(\theta_\mu)_{\mu\in\Lambda}\in K^\Lambda$が$\sum_{\mu\in\Lambda}(\theta_\mu\cdot\mu)=\lambda$を満たすとする. このとき$\forall \mu\in\Lambda:\forall \xi<\theta_\mu:|Y_{\mu, \xi}|=\mu$なる$\lambda$の分割$Y_{\mu, \xi}:\mu\in\Lambda, \xi<\theta_\mu$と$\forall \mu\in\Lambda: |X_\mu|=\theta_\mu$なる$\kappa$の分割$X_\mu:\mu\in\Lambda$がとれる. 各$\mu\in\Lambda$で全単射$k_\mu:\theta_\mu\to X_\mu$がとれるので$f=\bigcup_{\mu\in\Lambda}\bigcup_{\xi<\theta_\mu}(Y_{\mu, \xi}\times \{k_\mu(\xi)\})$とすると、$f\in\mathrm{Map}(\lambda, \kappa)$で$H(\mathrm{Sym}(\lambda)\cdot f\cdot\mathrm{Sym}(\kappa))=(\theta_\mu)_{\mu\in\Lambda}$.

補題の$H$を用いる.
(2)は、$$H[\mathrm{Sym}(\lambda)\backslash\mathrm{Inj}(\lambda, \kappa)/\mathrm{Sym}(\kappa)]=\{(\theta_\mu)_{\mu\in\Lambda}:\theta_0+\lambda=\kappa, \theta_1=\lambda, \forall\mu\in\Lambda\setminus\{0, 1\}:\theta_\mu=0\}$$
からしたがう.
(3)を示す.
$$ H[\mathrm{Sym}(\lambda)\backslash\mathrm{Surj}(\lambda, \kappa)/\mathrm{Sym}(\kappa)]=\{(\theta_\mu)_{\mu\in\Lambda}\in\mathrm{ran}(H):\theta_0=0\}$$に注意する.$\kappa\le\lambda$と仮定して$|\mathrm{ran}(H)|\le|H[\mathrm{Sym}(\lambda)\backslash\mathrm{Surj}(\lambda, \kappa)/\mathrm{Sym}(\kappa)]|$をいえばよい. これは全単射$\varphi:=\{(n+1, n):n\in\omega\}\cup\mathrm{id}_{\Lambda\setminus\omega}:\Lambda\setminus\{0\}\to\Lambda$を固定して$i:\mathrm{ran}(H)\to H[\mathrm{Sym}(\lambda)\backslash\mathrm{Surj}(\lambda, \kappa)/\mathrm{Sym}(\kappa)]$を$i((\theta_\mu)_{\mu\in\Lambda})=(\theta_{\varphi(\mu)})_{\mu\in\Lambda}$（ただし、便宜的に$\theta_{\varphi(0)}=0$とする）で定めるとwell-definedな単射となることからしたがう.
以降(1)を示す.
$\kappa=0, 1$のときと$\lambda$が有限のときは明らかである.
まず$1<\kappa\le\lambda$のときを考える. $\iota:\mathrm{Sym}(\kappa\setminus\{0\})\backslash\mathrm{Map}(\kappa\setminus\{0\}, \Lambda)\to\mathrm{ran}(H)$を$\iota(\mathrm{Sym}(\kappa\setminus\{0\})\cdot h)=(|h^{-1}[\{\mu\}]|+\delta_{\mu, \lambda})_{\mu\in\Lambda}$（ただし、$\delta$はKroneckerのデルタ）で定めるとこれはwell-definedな単射であることが補題3と同様に確かめられる. 一方、$\pi:\mathrm{Sym}(\kappa)\backslash\mathrm{Map}(\kappa, \Lambda)\to K^\Lambda$を$\pi(\mathrm{Sym}(\kappa)\cdot h)=(|h^{-1}[\{\mu\}]|)_{\mu\in\Lambda}$で定めると$\iota$と同様well-definedであり、$\mathrm{ran}(H)\subseteq \mathrm{ran}(\pi)$である. よって、$$|\mathrm{Sym}(\kappa\setminus\{0\})\backslash\mathrm{Map}(\kappa\setminus\{0\}, \Lambda)|\le|\mathrm{ran}(H)|\le|\mathrm{Sym}(\kappa)\backslash\mathrm{Map}(\kappa, \Lambda)|$$
である. あとは、この式の右辺、左辺を命題2を使って計算すると主張がしたがう.
最後に$\aleph_0\le\lambda<\kappa$のときを考える. $\iota':\mathrm{Sym}(\lambda)\backslash\mathrm{Map}(\lambda, \Lambda\setminus\{0\})\to\mathrm{ran}(H)$を$\iota'(\mathrm{Sym}(\lambda)\cdot h)=(|h^{-1}[\{\mu\}]|+\delta_{\mu, \lambda}+\kappa\cdot\delta_{\mu, 0})_{\mu\in\Lambda}$で定めるとこれはwell-definedな単射. $\pi':\mathrm{Sym}(\lambda)\backslash\mathrm{Map}(\lambda, \Lambda)\to K^\Lambda$を$\pi'(\mathrm{Sym}(\lambda) \cdot h)=(|h^{-1}[\{\mu\}]|+\kappa\cdot\delta_{\mu, 0})_{\mu\in\Lambda}$で定めるとwell-definedで$\mathrm{ran}(H)\subseteq \mathrm{ran}(\pi')$. よって、
$$ |\mathrm{Sym}(\lambda)\backslash\mathrm{Map}(\lambda, \Lambda\setminus\{0\})|\le|\mathrm{ran}(H)|\le|\mathrm{Sym}(\lambda)\backslash\mathrm{Map}(\lambda, \Lambda)|$$
である. あとはまた命題2を使ってこの式の右辺、左辺を計算すればよい.