本編

$X-(F_1\cup \ldots \cup F_n)=(X-F_1)\cap \ldots \cap (X-F_n)$であるため、位相空間の定義より命題は示される。

$X-\bigcap_{F \in \mathcal{F}}F=\bigcup_{F\in \mathcal{F}}(X-F)$ である。このとき、$X-F$ は $X$ の開集合であるため、$\bigcup_{F\in \mathcal{F}}(X-F)$ は $X$ の開集合である。よって、$\bigcap_{F \in \mathcal{F}}F$ は閉集合である。

$\mathcal{F}$ を $A$ を含む $X$ の閉集合全体の集合とする。このとき、$A\subset X$であるため、$X\in \mathcal{F}$ が成り立つ。よって $\mathcal{F}$ は空でない。従って $\bigcap_{F \in \mathcal{F}} F\subset X$ は存在する。($\mathcal{F}$ が空集合でないことを確かめる議論は必要である。) このとき、$\overline{A}=\bigcap_{F \in \mathcal{F}} F$ とおくと、任意の$F \in \mathcal{F}$ について $A\subset F$ であるため、$A \subset \overline{A}$ が成り立つ。次に、$\overline{A}$ は閉集合の交叉であるため閉集合である。

さらに、任意の $A\subset B$ を満たす閉集合 $B$ について、$B \in \mathcal{F}$ が成り立つため、$\overline{A} \subset B$ が成り立つ。よって $\overline{A}$ は $A$ の閉包である。任意の$A$ の閉包 $A'$ について、$\overline{A}$ は $A\subset \overline{A}$ を満たす閉集合であるため、$A'\subset \overline{A}$ が成り立つ。逆に、$A'$ は $A\subset A'$ を満たす閉集合であるため、$\overline{A}\subset A'$ が成り立つ。よって $A'=\overline{A}$ である。したがって $A$ の閉包は $\overline{A}$ のみである。

命題 3 により、$X-A$ の閉包 $\overline{X-A}$ は存在する。このとき、$A^\circ = X-\overline{X-A}$ とおくと、$A^\circ$ は開集合であり、また $X-A\subset \overline{X-A}$ より $A^\circ \subset A$ が成り立つ。

また、$U\subset A$ なる開集合 $U$ について、$X-A\subset X-U$ が成り立つ。$X-U$ は閉集合であるため、$\overline{X-A}\subset X-U$ が成り立つ。よって、$U \subset A^\circ$ である。以上により、$A^\circ$ は $A$ の内部である。

内部の唯一性については、命題 3 と同様の議論によって示される。

命題 4 の証明より、$A^\circ = X - \overline{X-A}$ が示される。残る式も同様に示される。

定義より $F$ は $F$ の閉包である。同様に $U$ は $U$ の内部である。

$A\subset B\subset \overline{B}$ より、$\overline{A} \subset \overline{B}$ が成り立つ。また、同様に $A^\circ \subset A \subset B$ より、$A^\circ \subset B^\circ$ が成り立つ。

1. $\Rightarrow$ 2. を示す。$x \in U$ なる開集合であって $A\cap U=\emptyset$ なるものが存在するならば、$A \subset X-U$ より、$\overline{A}\subset X-U$ が成り立つ。よって $x \notin \overline{A}$ が成り立つ。

2. $\Rightarrow$ 1. を示す。$x \notin \overline{A}$ ならば、$x \in X-\overline{A}$ が成り立つ。このとき、$X-\overline{A}$ は $X$ の開集合であり、$A \cap (X-\overline{A})=\emptyset $ である。

命題 7 より、$\overline{A_i}\subset \overline{A_1\cup\ldots \cup A_n}$ が成り立つため、$\overline{A_1}\cup \ldots \cup \overline{A_n}\subset \overline{A_1\cup\ldots \cup A_n}$ が言える。また、$A_i \subset \overline{A_i}$ より、$A_1 \cup \ldots \cup A_n \subset \overline{A_1}\cup \ldots \cup \overline{A_n}$ が成り立つ。ここで、$\overline{A_1}\cup \ldots \cup \overline{A_n}$ は閉集合の有限和であるため閉集合である。このことにより、$\overline{A_1\cup\ldots \cup A_n}\subset \overline{A_1}\cup \ldots \cup \overline{A_n}$ が成り立つ。以上により$\overline{A_1\cup\ldots \cup A_n}=\overline{A_1}\cup \ldots \cup \overline{A_n}$ が示される。

$G \subset Y$ が $Y$ の閉集合であることは $Y-G\subset Y$ が $Y$ の開集合であることと同値である。これはある $X$ の開集合 $U$ によって $Y-G=Y \cap U$ が成り立つことと同値である。これは $G=Y \cap (X-U)$ が成り立つことと同値である。これはある $X$ の閉集合 $F$ が存在して $G=Y\cap F$ が成り立つことと同値である。

$U' \subset U$ なる $X$ の開集合について、$U'\cap U=U'$ であるため、$U'$ は $U$ の開集合である。逆に、$U'$ が $U$ の開集合であるなら、ある $X$ の開集合 $V$ について $U'=U\cap V$ が成り立つが、このとき $U'$ は $X$ の開集合である。

命題 10 を用いることで、命題 11 と同様の議論に帰着できる。

$g$ の唯一性は $h$ の全射性より明らかである。$Z$ の開集合 $U$ に対して、$f^{-1}(U)$ は $f$ の連続性より開集合であることが言える。このとき $f^{-1}(U)=h^{-1}(g^{-1}(U))$ が成り立つが、$Y$ の位相の定め方より、$g^{-1}(U)$ は $Y$ の開集合である。よって $g$ は連続である。

$Z$ の任意の開集合 $W$ について、$g^{-1}(W)$ は $Y$ の開集合である。このとき $(g\circ f)^{-1}(W)=f^{-1}(g^{-1}(W))$ は$X$ の開集合である。よって $g\circ f$ は連続写像である。

集合 $U$ について、$\mathrm{id}_X^{-1}(U)=U$ が成り立つ。

まず、命題のような位相が存在すれば一意的であることを示す。位相 $\mathcal{O}_1$, $\mathcal{O}_2$ がともに $\mathcal{A}$ を開基とする位相であったとしよう。$U\in\mathcal{O}_1$ とすると、$\mathcal{A}$ が $\mathcal{O}_1$ の開基であることから、各 $x\in U$ に対して $A_x\in\mathcal{A}$ で $x\in A_x\subset U$ となるものが選べる。すると、$U=\bigcup_{x\in U} A_x$ であるが、$\mathcal{A}$ は $\mathcal{O}_2$ の開基であるので、各 $x\in U$ に対して $A_x\in\mathcal{O}_2$ であり、よって $U\in\mathcal{O}_2$ である。したがって、$\mathcal{O}_1\subset\mathcal{O}_2$ である。同様に、$\mathcal{O}_2\subset\mathcal{O}_1$ であるので、$\mathcal{O}_1=\mathcal{O}_2$ である。

次に、命題のような位相が存在することを示す。$\mathcal{A}$ のいくつかの要素の和集合で表される集合全体の族を $\mathcal{O}$ とする。このとき、$\mathcal{O}$ が $X$ 上の位相の定義を満たすことを示そう。

$\mathcal{O}$ の要素の有限個の開集合の交叉が再び開集合となることを示せばよい(それ以外の公理については簡単に示される)。そのためには、$\mathcal{O}$ の二個の要素 $U$, $V$ に対して $U\cap V\in\mathcal{O}$ を示せば十分である。$U$, $V$ は、ある集合族 $\mathcal{B},\mathcal{C}\subset \mathcal{A}$ に対して、$U=\bigcup_{B\in \mathcal{B}} B$, $V=\bigcup_{C\in \mathcal{C}}C$ と表すことができる。すると、$U\cap V=\bigcup_{B\in \mathcal{B}, C\in \mathcal{C}} B\cap C$ が成り立つ。このとき仮定より $B\cap C\in \mathcal{A}$ であるため、 $U\cap V\in\mathcal{O}$ である。

$\mathcal{A}$ は位相 $\mathcal{O}$ の開基となる。実際、任意の $V\in\mathcal{O}$ は $\mathcal{A}$ の要素の和集合であるため、各 $x\in V$ について $A\in \mathcal{A}$ で $x\in A\subset V$ となるものが存在する。また、$\mathcal{O}$ の定め方より $\mathcal{A}$ の任意の要素は $\mathcal{O}$ に属する。

位相の定め方により、明らかに $s_a$ は連続写像である。連続写像の組 $f_i$ について、集合の写像 $F:\bigoplus_{i\in \Lambda} X_i\to Y$ であって、$F \circ s_i=f_i$ が成り立つものがただひとつ存在する。以下この写像 $F$ が連続であることを確かめる。

$Y$ の開集合 $V$ について、すべての $i\in \Lambda$ について $f_i^{-1}(V)$ は $X_i$ の開集合である。$f_i^{-1}(V)=s_i^{-1}(F^{-1}(V))$ であるため、位相の定め方により、$F^{-1}(V)$ は $\bigoplus_{i\in \Lambda} X_i$ の開集合である。よって $F$ は連続である。

$a\in \Lambda$ と $X_a$ の開集合 $U_a$ について、$p_a^{-1}(U_a)=U_a\times \prod_{i\in \Lambda-\{a\}} X_i$ が成り立つ。位相の定め方より、これは $\prod_{i\in \Lambda}$ の開集合であるため、$p_a$ は連続である。連続写像の組 $f_i$ について、集合の写像 $F: Y\to \prod_{i\in \Lambda}X_i$ であって、$p_i\circ F=f_i$ が成り立つものがただひとつ存在する。以下この写像 $F$ が連続であることを確かめる。

$\prod_{i\in \Lambda} X_i$ の開集合は、基本開集合の合併である。基本開集合の $F$ による逆像が開集合であれば、$F$ は連続であることが示される。基本開集合 $V=\prod_{j\in \Lambda'}U_j\times \prod_{i\in \Lambda-\Lambda'} X_i$ について、$F^{-1}(V)=\bigcap_{j\in \Lambda'}f_j^{-1}(U_j)$ が成り立つ。よって $F^{-1}(V)$ は開集合である。

定義より、「$T_2$ $\Rightarrow$ $T_1$ $\Rightarrow$ $T_0$」 が成り立つ。

次に、「正規 $\Rightarrow$ $T_2$」を示す。そのために以下の補題を示す。

• $X$ が $T_1$ 空間であるためには、任意の $x\in X$ に対して $\{x\}$ が閉集合であることが必要十分である。

補題の証明：まず、必要性を示す。$X$ を $T_1$ 空間とし、$x\in X$ とする。各 $y\in X-\{x\}$ に対して、$y\in U_y$ かつ $x\notin U_y$ を満たすような開集合 $U_y$ が選べる。すると $\bigcup_{y\in X-\{x\}} U_y=X-\{x\}$ であるから、$X-\{x\}$ は開集合の和集合として表され、よって $X-\{x\}$ は開集合となるから $\{x\}$ は閉集合である。次に、十分性を示す。任意の $x\in X$ に対して $\{x\}$ が閉集合であるとする。$x, y\in X$ を異なる点とすると、$\{y\}$ は閉集合であるから、$U=X-\{y\}$ は開集合であり、$x\in U$ および $y\notin U$ を満たす。よって、$X$ は $T_1$ 空間である。

以下、「正則 $\Rightarrow$ $T_2$」を示す。$X$ を 正則空間とする。異なる点 $x,y\in X$ に対して、$\{y\}$ は閉集合であるため、$X$ の $T_3$ 性より、$U\cap V=\emptyset$ なる開集合であって $x\in U$ かつ $y\in V$ が成り立つものが取れる。よって $X$ は $T_2$ 空間である。

「正規 $\Rightarrow$ 正則」を示す。正則空間は $T_1$ 空間であるので、一点集合は閉集合である。したがって、正規性は正則性を導く。