マイクロ台の包合性定理と圏論的超局所化

この節ではマイクロ台の形は制限されていることを述べる包合性定理と層の導来圏の超局所化についてさっと説明します．

マイクロ台の包合性定理

ここでは前節まで説明しなかった，一般に層のマイクロ台が満たすべき条件を述べる包合性定理を説明します．これは層のマイク台は常にシンプレクティック幾何の意味で包合的となっているという主張です．これまでも見たように層のマイクロ台は$T^{\ast }X$の部分多用体とは限らないので正しく主張を述べるには一般の部分集合に対して包合性を定め何といけませんが，ここでは単に$T^{\ast }X$の部分多様体の包合性だけを述べてごまかすことにします．

余接束$T^{\ast }X$の局所斉次座標を$(x;\xi )$として，$T^{\ast }X$上の2次微分形式$\omega$を$\omega :=\sum _{i=1}^{d}d{\xi }_i\wedge d{x}_i=d⟨\xi ,dx⟩$を定めます．ここで$d=\dim X$としました．すると，この$\omega$は閉形式$d\omega =0$であって非退化となっているので$T^{\ast }X$上のシンプレクティック形式を定めています（人によっては$\omega$の符号がずれていることもあるので注意しましょう）．各点$p\in T^{\ast }X$において${\omega }_p$は$T_p(T^{\ast }X)\simeq {\mathbb{R}}^{2d}$上の非退化交代双線形形式を定めています．$T_p(T^{\ast }X)$の部分集合$W$に対して，
$$W^{\perp {\omega }_p}:=\{\zeta \in T_p(T^{\ast }X)\mid {\omega }_p(\zeta ,z)=0(\mathrm{\forall }z\in W)\}\subset T_p(T^{\ast }X)$$
と定めます．$W$が線形部分空間ならば$W^{\perp {\omega }_p}$は${\omega }_p$に関する$W$の直交補空間のことです．

$A$が$T^{\ast }X$の包合的部分多様体ならば$\dim A\ge d=\dim X=\frac{1}{2}\dim T^{\ast }X$となります．また，$A$が$T^{\ast }X$のラグランジュ部分多様体ならば$\dim A=d=\dim X=\frac{1}{2}\dim T^{\ast }X$です．これらはシンプレクティック幾何学において重要な対象です．ちなみに任意の$p\in A$に対して$(T_{p}A{)}^{\perp {\omega }_p}\supset T_{p}A$を満たすときはisotropicと呼ばれます．上では部分多様体について包合性を定義しましたが，$T^{\ast }X$の部分集合$A$に対しても法錐$C_p(A),C_p(A,A)\subset T_p(T^{\ast }X)$を使って包合性を定めることができます．すなわち，$A$が包合的であるとは任意の$p\in A$に対して$(C(A,A){)}^{\perp {\omega }_p}\subset C_p(A)$を満たすことをいいます．$A$が部分多様体ならば$C_p(A)=C_p(A,A)=T_{p}A$なので，これは上の定義の拡張になっています．詳しくはSheaves on Manifoldsなどを参照してください．

さて包合性の定義を得てしまえばマイクロ台の包合性定理の主張は次のようになります．

この定理は層のマイクロ台は$T^{\ast }X$内のどんな形にもなれるわけではなく，形がかなり制限されているということを述べています．特にマイクロ台が部分多様体ならば次元が$\dim X$以上であることも分かります．この定理はもともと微分方程式の解の特異性がどのように伝播するかに関係していましたが，最近（2021年現在）ではシンプレクティック幾何学との関わりで非常に重要な位置を占めています．

ところで，包合的なものの中に特殊なものとして次元が一番小さいラグランジュというものが入っていたのでした（上では部分多様体にしか定義していないのでごまかしています）．そこで，「マイクロ台がラグランジュになる層はどのようなものか？」という問いが考えられます．実はこれが（弱）構成可能層と呼ばれるものなのです！この話はしばらくあとで説明したいと思います．近年の層理論のシンプレクティック幾何学への応用では，与えられたラグランジュ多様体に対してマイクロ台がそれに一致する層量子化と呼ばれる層を構成することが重要になっています．

圏論的超局所化

前節 でも述べた「余接束$T^{\ast }X$内で局所的に層を調べる」ということを実行するために，圏論的超局所化という余接束内の部分集合上だけに着目して層を調べることができる圏を導入します．このためにまずは三角圏の局所化について説明します．

三角圏の局所化

$\mathcal{T}$を三角圏として$[1]:\mathcal{T}\to \mathcal{T}$を付随する自己同形函手とします（三角圏の完全でない説明は 層理論と導来圏第9節 を参照）．このとき，$\mathcal{T}$の対象$\mathrm{Ob}(\mathcal{T})$の部分族$\mathcal{N}$に関して，三角圏${\mathcal{T}}^{\prime }$と函手$Q:\mathcal{T}\to {\mathcal{T}}^{\prime }$の組$({\mathcal{T}}^{\prime },Q)$であって次の2条件を満たすものが存在すれば，この${\mathcal{T}}^{\prime }$を$\mathcal{N}$による局所化$\mathcal{T}/\mathcal{N}$と定めたくなります．

これはまさに三角圏$\mathcal{T}$を対象の部分族$\mathcal{N}$で割った三角圏とみなすことができるわけです．$\mathcal{N}$が次のゼロ系という条件を満たすときには，この割る操作が実現可能になります．

ゼロ系に対しては次のように積閉系を対応させることができます．

上でも述べたように$\mathcal{A}$をアーベル圏として$\mathcal{T}=\mathsf{K}(\mathcal{A})$，$\mathcal{N}$を例1のようにすれば，$\mathcal{T}/\mathcal{N}$は導来圏$\mathsf{D}(\mathcal{A})$となります．この意味でゼロ系による三角圏の局所化は導来圏の構成の一般化になっているのです．次の小節ではマイクロ台から定まるゼロ系で層の導来圏を局所化することを考えます．

層の導来圏の超局所化

さて，層の話に戻って多様体$X$上の有界導来圏${\mathsf{D}}^{\mathrm{b}}({\mathbb{k}}_X)$を考えます．$\mathrm{\Omega }$を$T^{\ast }X$の（開とは限らない）部分集合とします．このとき，$\mathrm{\Omega }$だけでマイクロ台を考えてそれ以外の部分では無視した圏を考えたかったのでした．これを可能にする圏はゼロ系による局所化で構成することができます．

$A$を$T^{\ast }X$の部分集合としたとき
$${\mathsf{D}}_A^{\mathrm{b}}({\mathbb{k}}_X):=\{F\in {\mathsf{D}}^{\mathrm{b}}({\mathbb{k}}_X)\mid \mathrm{SS}(F)\subset A\}$$
と定めます．すると，$\mathrm{Ob}({\mathsf{D}}_A^{\mathrm{b}}({\mathbb{k}}_X))$はゼロ系になります．実際，$0\in {\mathsf{D}}^{\mathrm{b}}({\mathbb{k}}_X)$のマイクロ台は空集合なので条件(1)はよく，マイクロ台は相対コホモロジーの茎のすべてのコホモロジーの消滅を使って定義されたの$\mathrm{SS}(F)=\mathrm{SS}(F[1])$でありシフトの条件(2)もOKです．(3)の条件は三角不等式，すなわち完全三角$F\to G\to H\to F[1]$に対して$\mathrm{SS}(H)\subset \mathrm{SS}(F)\cup \mathrm{SS}(G)$であることから従います．よって，前小節で見た局所化を適用することができます．$\mathrm{\Omega }$だけを見たければマイクロ台が$T^{\ast }X\setminus \mathrm{\Omega }$に入っているものは無視してやって全部ゼロだとみなしてやればよいのです．

定義から${\mathsf{D}}^{\mathrm{b}}({\mathbb{k}}_X)$における完全三角$F\to G\to H\to F[1]$であって$\mathrm{SS}(H)\cap \mathrm{\Omega }=\mathrm{\varnothing }$となるものに対して，$F$と$G$は$\mathrm{\Omega }$上同形になります．ゆえに超局所切り落とし（ 第2節 の定理6）の(ii)は$P_{\gamma }(F)$と$F$は$T^{\ast }X\times E\times \mathrm{Int}({\gamma }^{\circ })$上同形であると言い換えることができます．$F\in {\mathsf{D}}^{\mathrm{b}}({\mathbb{k}}_X;\mathrm{\Omega })$に対して$\mathrm{SS}(F)\cap \mathrm{\Omega }$はwell-definedであることにも注意しましょう．このようにして${\mathsf{D}}^{\mathrm{b}}({\mathbb{k}}_X;\mathrm{\Omega })$を用いることで$\mathrm{\Omega }$上だけで層を調べることができて超局所的な見かたが可能になるのです．

${\mathsf{D}}^{\mathrm{b}}({\mathbb{k}}_X,p)$の重要な点は，この上でマイクロ台を定義するときに現れた障害（超局所的茎）がwell-definedになることです．実際，$F\to G\to H\to F[1]$を${\mathsf{D}}^{\mathrm{b}}({\mathbb{k}}_X)$における完全三角として$p\notin \mathrm{SS}(H)$であるとして$F$と$G$が同じ障害を持っていることを示せば良いわけです．$\phi :X\to \mathbb{R}$を$C^{\mathrm{\infty }}$級函数で$d\phi (x_0)=p$を満たすものとすると，完全三角
$$R{\mathrm{\Gamma }}_{\{\phi \ge \phi (x_0)\}}(F{)}_{x_0}\to R{\mathrm{\Gamma }}_{\{\phi \ge \phi (x_0)\}}(G{)}_{x_0}\to R{\mathrm{\Gamma }}_{\{\phi \ge \phi (x_0)\}}(H{)}_{x_0}\to R{\mathrm{\Gamma }}_{\{\phi \ge \phi (x_0)\}}(F{)}_{x_0}[1]$$
が得られますが，仮定から$R{\mathrm{\Gamma }}_{\{\phi \ge \phi (x_0)\}}(H{)}_{x_0}\simeq 0$なので$R{\mathrm{\Gamma }}_{\{\phi \ge \phi (x_0)\}}(F{)}_{x_0}\stackrel{\sim }{\to }R{\mathrm{\Gamma }}_{\{\phi \ge \phi (x_0)\}}(G{)}_{x_0}$となります．よって，$F$に対してこの超局所的な障害$R{\mathrm{\Gamma }}_{\{\phi \ge \phi (x_0)\}}(F{)}_{x_0}$を計算しようと思ったら，超局所化された圏${\mathsf{D}}^{\mathrm{b}}({\mathbb{k}}_X;p)$で同形になるものをうまく取って取り替えて計算してやれば良いわけです．例えば$M$を$X$の閉部分多様体，$V\in {\mathsf{D}}^{\mathrm{b}}(\mathbb{k})$を$\mathbb{k}$加群の複体として$V_M\in {\mathsf{D}}^{\mathrm{b}}({\mathbb{k}}_X)$という層を考えます．$V_M$の$p\in T_M^{\ast }X$（余法束）での超局所的な障害を計算してみると，$\phi$が$M$上$x_0=\pi (p)$の近傍でモース的であるならば$x_0$での$\phi {|}_M$のモース指数を$\mathrm{ind}(x_0;\phi {|}_M)$と書くと
$$R{\mathrm{\Gamma }}_{\{\phi \ge \phi (x_0)\}}(V_M{)}_{x_0}\simeq V[-\mathrm{ind}(x_0;\phi {|}_M)]$$
となることがチェックできます．さて，それではいつこのような${\mathsf{D}}^{\mathrm{b}}({\mathbb{k}}_X;p)$における同形が期待できるでしょうか？実は$p$の近傍でマイクロ台$\mathrm{SS}(F)$が余法束や包合的部分多様体に含まれている場合には，これが成り立つというのが次の小節で説明したいことです．

超局所圏における同形定理

第1節 の例2で，$X$の閉部分多様体$M$と$0\ne V\in {\mathsf{D}}^{\mathrm{b}}(\mathbb{k})$に対して$V_M\in {\mathsf{D}}^{\mathrm{b}}({\mathbb{k}}_X)$のマイクロ台は$\mathrm{SS}(V_M)=T_M^{\ast }X$と余法束になることを見ました．逆に$F\in {\mathsf{D}}^{\mathrm{b}}({\mathbb{k}}_X)$が$\mathrm{SS}(F)\subset T_M^{\ast }X$を満たしていれば$F\simeq V_M$かは一般には分からないですが，超局所的には正しいというのが次の命題です．

こうしてマイクロ台が層の形を統制するというストーリーを超局所圏を導入することでさらに一歩進めることができたのでした．上記のように${\mathsf{D}}^{\mathrm{b}}({\mathbb{k}}_X;p)$における$F\simeq V_M$が得られるならば，前小節の最後に計算してみせたことから逆に$V$を$F$の$p$における超局所的障害で計算することができます．

$f:X\to Y$が沈め込みのときは 前節 の命題2より，$G\in {\mathsf{D}}^{\mathrm{b}}({\mathbb{k}}_Y)$に対して$\mathrm{SS}(f^{-1}G)\subset f_d{f}_{\pi }^{-1}(\mathrm{SS}(G))\subset f_d(X{\times }_Y{T}^{\ast }Y)$が成り立っており，逆に$F\in {\mathsf{D}}^{\mathrm{b}}({\mathbb{k}}_X)$に対して大域的に$\mathrm{SS}(F)\subset f_d(X{\times }_Y{T}^{\ast }Y)$が成り立っていたら$X$上局所的に$G\in {\mathsf{D}}^{\mathrm{b}}({\mathbb{k}}_Y)$が存在して$F\simeq f^{-1}G$が成り立ちます．上の命題よりさらに精密に議論を行うことで，この超局所版の次の命題も証明することができます．

余接束上に層を持ち上げる？超局所圏のHomを並べた層？

さて，ここまでは多様体$X$上の層のマイクロ台を考えることで余接束$T^{\ast }X$の部分集合を構成して，それを使って層の導来圏を超局所化したりしてきました．それでは$X$上の層から余接束$T^{\ast }X$上の層を作って，そこからマイクロ台など様々な情報を引き出すことはできないでしょうか？もっと具体的には次のような期待があります．
(1) 台が$\mathrm{SS}(F)$になる$T^{\ast }X$上の層がほしい．
(2) （若干天下りだが）$F,G\in {\mathsf{D}}^{\mathrm{b}}({\mathbb{k}}_X)$に対して$p\in T^{\ast }X$における茎が${\mathrm{Hom}}_{{\mathsf{D}}^{\mathrm{b}}({\mathbb{k}}_X;p)}(F,G)$になる$T^{\ast }X$上の層がほしい．この層は$R\mathcal{H}o{m}_{{\mathsf{D}}^{\mathrm{b}}({\mathbb{k}}_X)}(F,G)$の情報も持っていてほしい．

実はこの二つは$\mu hom$という道具を使うことで達成できるのです．すなわち，$\mu hom:{\mathsf{D}}^{\mathrm{b}}({\mathbb{k}}_X{)}^{\mathrm{op}}\times {\mathsf{D}}^{\mathrm{b}}({\mathbb{k}}_X)\to {\mathsf{D}}^{\mathrm{b}}({\mathbb{k}}_{T^{\ast }X})$という函手が存在して，次を満たします：
(1) $\mathrm{Supp}(\mu hom(F,F))=\mathrm{SS}(F)$,
(2) $p\in T^{\ast }X$に対して$H^0(\mu hom(F,G{)}_p)\simeq {\mathrm{Hom}}_{{\mathsf{D}}^{\mathrm{b}}({\mathbb{k}}_X;p)}(F,G)$,$R{\pi }_{\ast }\mu hom(F,G)\simeq R\mathcal{H}om(F,G)$.

こうして，マイクロ台だけでなく$T^{\ast }X$上の層を作って，そこから様々な情報を引き出すことができるのです！次節からはこの$\mu hom$に向かってどのような構成をしていけば良いかを説明していきたいと思います．

まとめ

この節では

• マイクロ台の包合性定理
• ゼロ系による三角圏の局所化
• 層の導来圏の超局所化
• 近傍におけるマイクロ台の包含条件が超局所圏における同形を導くこと

について説明しました．