μhom函手

この節では$\mu hom$函手を定義して，その性質を見ていきます．

ここでもずっと$\pi$で余接束$T^{\ast }X\to X$をあらわして$0_X$または単に$X$でそのゼロ切断をあらわします．さらに${\mathring{T}}^{\ast }X:=T^{\ast }X\setminus 0_X$と定めて$\mathring{\pi }:=\pi {|}_{{\mathring{T}}^{\ast }X}:{\mathring{T}}^{\ast }X\to X$を制限とします．

$\mu hom$函手

ここでは超局所化函手の拡張となる$\mu hom$函手を導入して，その性質を調べます．$\mu hom$は$X$上の層ふたつから余接束$T^{\ast }X$上の層を作る操作で，その台は二つの層のマイクロ台と関係しています．このことより$\mu hom$は超局所圏からの函手を誘導することが分かり，さらに強く$\mu hom$の$p\in T^{\ast }X$での茎が超局所圏${\mathsf{D}}^{\mathrm{b}}({\mathbb{k}}_X;p)$のHomを回復することが示せます．超局所圏のHomは定義からは計算が難しいですが，$\mu hom$は具体的に構成されているので多くの場合に計算が可能であることが良い点のひとつです．

$\mu hom$函手の定義

ともかく$\mu hom$函手の定義を与えて，それから基本的な性質を見てみることにしましょう．$\delta :X\to X\times X,x\mapsto (x,x)$を対角写像として$\mathrm{\Delta }:=\delta (X)=\{(x,x)\in X\times X\}$を$X\times X$の対角集合とします．局所的には$T_{\mathrm{\Delta }}^{\ast }(X\times X)=\{(x,x;\xi ,-\xi )\in T^{\ast }(X\times X)\mid (x;\xi )\in T^{\ast }X\}$となるので，第1射影$T_{\mathrm{\Delta }}^{\ast }(X\times X)\to T^{\ast }X$によって$T_{\mathrm{\Delta }}^{\ast }(X\times X)$と$T^{\ast }X$を同一視します．さらに$q_1,q_2:X\times X\to X$をそれぞれ第1・第2射影とします．

超局所化の性質から次の$\mu hom$に関する重要な性質が得られます．

さらに$\mu hom$は次のように超局所化函手の一般化にもなっています．この証明は超局所化の函手的性質から示せますが，前節ではそれをすっ飛ばしたので証明は述べません．

$\mu hom$の台とマイクロ台の関係は期待していた通り次のようになります．

上の証明を見ると，第1射影$T_{\mathrm{\Delta }}^{\ast }(X\times X)\stackrel{\sim }{\to }{T}^{\ast }X$による同一視で命題の主張が成り立つように$\mu hom$の定義で一見不自然な$R\mathcal{H}om(q_2^{-1}F,q_2^{!}G))$という射影の現れ方が理解できると思います．

次のように$\mu hom$の茎も計算することができますが，結構面倒なので飛ばしても構いません．証明には超局所化の茎の計算公式（ 第4節 の定理5の(ii)）を使って頑張ります． 第2節 で有限次元ベクトル空間$E$内の閉凸錐$\gamma$に対して，超局所切り落とし函手$P_{\gamma }:{\mathsf{D}}^{\mathrm{b}}({\mathbb{k}}_E)\to {\mathsf{D}}_{E\times {\gamma }^{\circ }}^{\mathrm{b}}({\mathbb{k}}_E)$を定義したことを思い出しましょう．ここで${\gamma }^{\circ }$は$\gamma$の双対錐で，$T^{\ast }X$の部分集合$A$に対して${\mathsf{D}}_A^{\mathrm{b}}({\mathbb{k}}_X)$は$\mathrm{SS}(F)\subset A$を満たす対象$F$からなる${\mathsf{D}}^{\mathrm{b}}({\mathbb{k}}_X)$の充満部分圏でした．

超局所圏との関係

次に$\mu hom$と 第3節 で導入した超局所圏${\mathsf{D}}^{\mathrm{b}}({\mathbb{k}}_X;\mathrm{\Omega })$の関係について調べていきましょう．

まず，$\mu hom$が超局所圏からの函手を誘導することを見ましょう．$\mathrm{\Omega }$を$T^{\ast }X$の部分集合とします．もし$F,G\in {\mathsf{D}}^{\mathrm{b}}({\mathbb{k}}_X)$が$\mathrm{SS}(F)\cap \mathrm{\Omega }=\mathrm{\varnothing }$または$\mathrm{SS}(G)\cap \mathrm{\Omega }=\mathrm{\varnothing }$を満たしたとすると，上の命題3から$\mu hom(F,G){|}_{\mathrm{\Omega }}\simeq 0$となることが分かります．特に$\mu hom$は${\mathsf{D}}^{\mathrm{b}}({\mathbb{k}}_X;\mathrm{\Omega }{)}^{\mathrm{op}}\times {\mathsf{D}}^{\mathrm{b}}({\mathbb{k}}_X;\mathrm{\Omega })$から${\mathsf{D}}^{\mathrm{b}}(\mathrm{\Omega })$への函手を引き起こします．これも
$$\mu hom:{\mathsf{D}}^{\mathrm{b}}({\mathbb{k}}_X;\mathrm{\Omega }{)}^{\mathrm{op}}\times {\mathsf{D}}^{\mathrm{b}}({\mathbb{k}}_X;\mathrm{\Omega })\to {\mathsf{D}}^{\mathrm{b}}(\mathrm{\Omega })$$
と書いてしまいます．

さて上の命題1から
$$\begin{array}{rl}{\mathrm{Hom}}_{{\mathsf{D}}^{\mathrm{b}}({\mathbb{k}}_X)}(F,G)& \simeq H^{0}R\mathrm{\Gamma }(X;R\mathcal{H}om(F,G))\\ & \simeq H^{0}R\mathrm{\Gamma }(X;R{\pi }_{\ast }\mu hom(F,G))\\ & \simeq H^0(T^{\ast }X;\mu hom(F,G))\end{array}$$
が得られますが，これは$T^{\ast }X$の部分集合$\mathrm{\Omega }$に対して射
$${\mathrm{Hom}}_{{\mathsf{D}}^{\mathrm{b}}({\mathbb{k}}_X;\mathrm{\Omega })}(F,G)\to H^0(\mathrm{\Omega };\mu hom(F,G))$$
を引き起こします．実際，${\mathsf{D}}^{\mathrm{b}}({\mathbb{k}}_X)$の射$\psi :G\to G^{\prime }$が$\mathrm{\Omega }$上同形，すなわち$\psi$の写像錐のマイクロ台が$\mathrm{\Omega }$と交わらなければ完全三角を考えることによって$\mu hom(F,G){|}_{\mathrm{\Omega }}\stackrel{\sim }{\to }\mu hom(F,G^{\prime }){|}_{\mathrm{\Omega }}$が成り立つからです．この射は一般には同形ではないのですが，$\mathrm{\Omega }$が一点$p$の場合は次のように同形が成り立ちます．証明は超局所切り落としの考え方が活躍します．

この定理で大事なことは，右辺の$\mu hom$は具体的な層による操作で構成されたのでしばしば計算可能になるということです．左辺は圏論的超局所化で構成されたHom集合なので一般には難しいものですが，これを具体的に構成された$\mu hom$の茎で計算できるというのがうれしいことなのです！

この定理を用いると$\mu hom$の台とマイクロ台との関係について命題3よりもさらに強いことが言えます．$F\in {\mathsf{D}}^{\mathrm{b}}({\mathbb{k}}_X)$に対して，${\mathrm{Hom}}_{{\mathsf{D}}^{\mathrm{b}}({\mathbb{k}}_X)}(F,F)\simeq H^{0}R\mathrm{\Gamma }(T^{\ast }X;\mu hom(F,F))$であったことを思い出しましょう．これによって射
$${\mathrm{Hom}}_{{\mathsf{D}}^{\mathrm{b}}({\mathbb{k}}_X)}(F,F)\to \mathrm{\Gamma }(T^{\ast }X;H^0(\mu hom(F,F)))$$
が得られます．この射による${\mathrm{id}}_F\in {\mathrm{Hom}}_{{\mathsf{D}}^{\mathrm{b}}({\mathbb{k}}_X)}(F,F)$の像を$s\in \mathrm{\Gamma }(T^{\ast }X;H^0(\mu hom(F,F)))$と書きます．

上の命題6はマイクロ台の包合性定理（ 第3節 の定理1）を示す際にも用いられます．すなわち，$\mathrm{SS}(F)$が包合的であることを示すのに$\mu hom(F,F)$の台を調べるのです．部分集合を台として持つ層を構成しておいて．その層について調べるというアイデアなのです．

まとめ

この節では

• $\mu hom$函手の定義とその性質
• $\mu hom$と超局所圏との関係

について説明しました．