量子化接触変換と単純層，偏屈層の超局所的特徴づけ

この節ではやり残していて説明がしづらい量子化接触変換・単純層・偏屈層の超局所的特徴づけについて説明したいと思います．

以下$\mathbb{k}$を体，$X$を$d$次元実多様体とします（あとから複素多様体に話を限ります）．

量子化接触変換と純層・単純層

ここではマイクロ台を定義する際に現れた超局所的な障害$R{\mathrm{\Gamma }}_{\{\phi \ge \phi (x_0)\}}(F{)}_{x_0}$がある次数に集中している層について調べます．これが純層と呼ばれるもので，さらに次元が$1$の場合は単純層と呼ばれます．ところで$p\in T^{\ast }X$の近傍で，ある部分多様体$M$に対して$\mathrm{SS}(F)\subset T_M^{\ast }X$となっていれば，$V\in {\mathsf{D}}^{\mathrm{b}}(\mathbb{k})$が存在して超局所圏${\mathsf{D}}^{\mathrm{b}}({\mathbb{k}}_X;p)$で$F\simeq V_M$となるのでした（ 第3節 の命題3）．この状況だと超局所的な障害$R{\mathrm{\Gamma }}_{\{\phi \ge \phi (x_0)\}}(F{)}_{x_0}$は簡単に計算できてうれしいわけです．一般の場合もこの状況に帰着できればありがたいのですが，それはできるでしょうか？実は$T^{\ast }X$の変換$\chi$で$\mathrm{SS}(F)$をうつして，$\chi (\mathrm{SS}(F))$が点$\chi (p)$の近傍で$T_M^{\ast }X$に含まれるようにできます．このとき，変換$\chi$を層の圏の間の圏同値に持ち上げた$\mathrm{\Phi }:{\mathsf{D}}^{\mathrm{b}}({\mathbb{k}}_X;p)\stackrel{\sim }{\to }{\mathsf{D}}^{\mathrm{b}}({\mathbb{k}}_X;\chi (p))$であって$p$の近傍で$\mathrm{SS}(\mathrm{\Phi }(F))=\chi (\mathrm{SS}(F))$となるものが作れれば，上で見た状況に帰着ができます．この$\chi$の層の圏への持ち上げは量子化接触変換と呼ばれ非常に有用なので，それから説明していきましょう．

量子化接触変換

$X,Y$を二つの多様体として，それぞれの余接束$T^{\ast }X,T^{\ast }Y$を考えます．$(x;\xi )$で$T^{\ast }X$の局所斉次座標，$(y;\eta )$で$T^{\ast }Y$の局所斉次座標をあらわすと，それぞれの上には局所的に
$${\alpha }_{T^{\ast }X}=⟨\xi ,dx⟩,{\alpha }_{T^{\ast }Y}=⟨\eta ,dy⟩$$
で定義される標準的な$1$-形式（Liouville形式）が定まります．シンプレクティック形式とは${\omega }_{T^{\ast }X}=d{\alpha }_{T^{\ast }X}$の関係にあることにも注意しましょう．${\mathrm{\Omega }}_X\subset T^{\ast }X,{\mathrm{\Omega }}_Y\subset T^{\ast }Y$をそれぞれ開部分集合とします．このとき，${\mathbb{R}}_{>0}$の作用と可換な微分同相写像$\chi :{\mathrm{\Omega }}_X\to {\mathrm{\Omega }}_Y$が接触変換 (contact transform) または斉次シンプレクティック同相写像 (homogeneous symplectomorphism) であるとは，${\chi }^{\ast }{\alpha }_{T^{\ast }Y}={\alpha }_{T^{\ast }X}$を満たすことをいいます．このとき，$a_X:T^{\ast }X\to T^{\ast }X,(x;\xi )\mapsto (x;-\xi )$を対蹠写像すると，$\chi$のグラフ${\mathrm{\Gamma }}_{\chi }\subset {\mathrm{\Omega }}_X\times {\mathrm{\Omega }}_Y$の像
$${\mathrm{\Lambda }}_{\chi }:=(a_X\times \mathrm{id})({\mathrm{\Gamma }}_{\chi })\subset (-{\mathrm{\Omega }}_X)\times {\mathrm{\Omega }}_Y$$
は錐状ラグランジュ部分多様体となります．ここで$p_X:T^{\ast }X\times T^{\ast }Y\to T^{\ast }X,p_Y:T^{\ast }X\times T^{\ast }Y\to T^{\ast }Y$をそれぞれ射影として，$a_X(T^{\ast }X)\times T^{\ast }Y$上のシンプレクティック形式は$-p_X^{\ast }{\omega }_{T^{\ast }X}+p_Y^{\ast }{\omega }_{T^{\ast }Y}$と考えます．

さて，接触変換$\chi :{\mathrm{\Omega }}_X\to {\mathrm{\Omega }}_Y$が与えられたときに，それを層の超局所圏の間の圏同値${\mathsf{D}}^{\mathrm{b}}({\mathbb{k}}_X;{\mathrm{\Omega }}_X)\to {\mathsf{D}}^{\mathrm{b}}({\mathbb{k}}_Y;{\mathrm{\Omega }}_Y)$に持ち上げることができるかに我々は興味があるのでした．これはどのように実現できるでしょうか？実は良い層を核とした積分変換（層の合成）を使うとこれが可能です． 層理論と導来圏第10節 の定義5で，$K\in {\mathsf{D}}^{\mathrm{b}}({\mathbb{k}}_{Y\times X})$と$F\in {\mathsf{D}}^{\mathrm{b}}({\mathbb{k}}_X)$に対して
$$K\circ F:=R{q_Y}_{!}(K\otimes q_X^{-1}F)$$
と定めたのでした．ここで$q_X:X\times Y\to X,q_Y:X\times Y\to Y$はそれぞれ射影です（前の記事と$X$と$Y$の役割が若干異なっています）．記号を簡単にして変換の気持ちを出すために，${\mathrm{\Phi }}_K(F):=K\circ F$と書くことにします． 第2節 の層の演算に対するマイクロ台のふるまいでは詳しく説明しませんでしたが，合成操作は引き戻し・テンソル積・固有順像の組合せで出来ているので$K$と$F$のマイクロ台から${\mathrm{\Phi }}_K(F)$のマイクロ台を評価できます．特に，$\mathrm{SS}(K)\subset {\mathrm{\Lambda }}_{\chi }$ならば$\mathrm{SS}({\mathrm{\Phi }}_K(F))\subset \chi (\mathrm{SS}(F))$となることがチェックできます．したがって，あとは接触変換に対して良い核の層$K$が存在するかという問題になるのですが，一般には大域的に良い$K$は作れません．しかし，各点の近傍で開集合を縮めるとそれが可能になるというのが次の定理です．

上の定理の条件を満たす$K$またはそれに付随する変換${\mathrm{\Phi }}_K$を量子化接触変換 (quantized contact transform) と呼びます．定理は超局所的に見ると接触変換を持ち上げる良い変換が存在するということを述べていて，超局所圏が有効に活用されていることが分かります．上でごまかした$K$に関する「良い条件」は，マイクロ台の条件(1)の他に局所的に次元$1$の定数層のゼロ拡張${\mathbb{k}}_S$になっていることです．量子化接触変換を使うと，層に関する主張を証明したい場合も接触変換を使ってマイクロ台が簡単な状況に帰着して調べることができます．例えば$\mathrm{\Lambda }$を$T^{\ast }X$のラグランジュ部分多様体として$p\in \mathrm{\Lambda }\setminus 0_X$とすると，$p$の近傍で定義された接触変換$\chi$と$X$の部分多様体$M$が存在して$\chi (p)$の近傍で$\chi (\mathrm{\Lambda })$が$T_M^{\ast }X$に一致します．こうしてこれまで見てきた超局所層理論の手法が使える状況に持っていけるわけです．

純層・単純層

ここでは，マイクロ台の定義にも 第7節 ・ 第8節 にも頻繁に現れた超局所的な障害$R{\mathrm{\Gamma }}_{\{\phi \ge \phi (x_0)\}}(F{)}_{x_0}$がどこかの次数に集中している場合を考えます．このとき，次数と函数$\phi$の関係は何でしょうか？もし部分多様体$M$と$V\in \mathrm{Mod}(\mathbb{k})$に対して${\mathsf{D}}^{\mathrm{b}}({\mathbb{k}}_X;p)$において同形$F\simeq V_M$が成り立つならば，$d\phi (x_0)=p$かつ$M$上$x_0$の近傍でモース的な函数に対しては
$$R{\mathrm{\Gamma }}_{\{\phi \ge \phi (x_0)\}}(V_M{)}_{x_0}\simeq V[-\mathrm{ind}(x_0;\phi {|}_M)]$$
となっていました（ 第3節 の定義4の直後）．一般の場合にはシフト部分のモース指数がどうなるかを調べてみたいと思います．

まず，モース的であるという条件を超局所的に書き直して一般化することを考えましょう．$\phi :M\to \mathbb{R}$を$C^{\mathrm{\infty }}$級函数，$M$を$X$の閉部分多様体としたとき，$\phi {|}_M$がモース函数であるとは$d\phi$のグラフ${\mathrm{\Gamma }}_{d\phi }:=\{(x;d\phi (x))\mid x\in X\}$と$T_M^{\ast }X$が横断的に交わることと同値です．これをもとに$T^{\ast }X$の錐状ラグランジュ部分多様体に対しても横断的な条件を考えます．用語を準備した方が便利なので，ここで用意します．

(1)の条件は本質的ではなくて，$\{\phi \ge \phi (x_0)\}$を単に$\{\phi \ge 0\}$と書きたいためだけのものです．上でも言ったように$X$閉部分多様体$M$について$\mathrm{\Lambda }=T_M^{\ast }X$のときは，(2)の条件は$\pi (p)$が$\phi {|}_M$の非退化な臨界点であることと同値です．

さて，$\mathrm{\Lambda }$を$T^{\ast }X$の錐状ラグランジュ部分多様体，$p\in \mathrm{\Lambda }$，$F\in {\mathsf{D}}^{\mathrm{b}}({\mathbb{k}}_X)$として，$p$の近傍で$\mathrm{SS}(F)\subset \mathrm{\Lambda }$であると仮定します．$\phi :X\to \mathbb{R}$が$p$において$\mathrm{\Lambda }$に横断的な場合に$R{\mathrm{\Gamma }}_{\{\phi \ge 0\}}(F{)}_{\pi (p)}$に我々は興味があります．この超局所的な障害の$\phi$の依存性について述べるためにシンプレクティックベクトル空間の三つのラグランジュ部分空間に関する慣性指数というものを導入します．$(E,\sigma )$を（有限次元）シンプレクティックベクトル空間として${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$を三つのラグランジュ線形部分空間とします．このとき，線形空間の抽象的な直和${\lambda }_1\oplus {\lambda }_2\oplus {\lambda }_3$上の二次形式$q$を
$$q(x_1,x_2,x_3):=\sigma (x_1,x_2)+\sigma (x_2,x_3)+\sigma (x_3,x_1)$$
と定めて，その正の固有値の個数から負の固有値の個数を引いた符号$\mathrm{sgn}(q)$を${\tau }_E({\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3)$と定義して慣性指数 (inertia index) と呼びます．これはシンプレクティック幾何におけるMaslov指数と関係があり，Hörmanderがフーリエ積分作用素を調べる際に導入した指数と本質的に同じであることが知られています．さて，$\phi :X\to \mathbb{R}$を$p$において$\mathrm{\Lambda }$に横断的な$C^{\mathrm{\infty }}$級函数とするとき，シンプレクティックベクトル空間$T_p(T^{\ast }X)$の三つのラグランジュ線形部分空間が次のように得られます：
$${\lambda }_0(p):=T_p(T_{\pi }^{\ast }(p)X),{\lambda }_{\mathrm{\Lambda }}:=T_p\mathrm{\Lambda },{\lambda }_{\phi }:=T_p{\mathrm{\Gamma }}_{d\phi }.$$
これらを使って
$${\tau }_{\phi }(p):={\tau }_{T_p(T^{\ast }X)}({\lambda }_0(p),{\lambda }_{\mathrm{\Lambda }},{\lambda }_{\phi })$$
と定めます．この慣性指数はモース指数と次のように関係しています．$X$の閉部分多様体$M$に対して$\mathrm{\Lambda }=T_M^{\ast }X$のとき，モースの補題により$M$上の局所座標$(x_1,\dots ,x_l)$を取って$\phi {|}_M=\sum _{j=1}^l{a}_j{x}_j^2(a_j\in \mathbb{R}\setminus \{0\})$と書くと
$${\tau }_{\phi }(p)=\mathrm{\#}\{j\mid a_j<0\}-\mathrm{\#}\{j\mid a_j>0\}$$
となることがチェックできます．すなわち，
$${\tau }_{\phi }(p)=\mathrm{ind}(\pi (p);\phi {|}_M)-(\dim M-\mathrm{ind}(\pi (p);\phi {|}_M))=2\cdot \mathrm{ind}(\pi (p);\phi {|}_M)-\dim M$$
となります．この慣性指数の分だけ超局所的な障害をシフトしておくと$\phi$の取り方によらないというのが次の命題です．

$\mathrm{\Lambda }$が連結な場合は$p_0\in \mathrm{\Lambda }$における超局所的タイプが$V$ならば，任意の$p\in \mathrm{\Lambda }$における超局所的タイプは$V$であることがチェックできます．これが 第8節 で重複度を計算する際に$p$の取り方によらないことを保証します．$\mathbb{k}$は体なので，$F$が$\mathrm{\Lambda }$に沿って単純であることと，同形
$${\mathbb{k}}_{\mathrm{\Lambda }}\stackrel{\sim }{\to }\mu hom(F,F){|}_{\mathrm{\Lambda }}$$
が成り立つことは同値であることもチェックできます．様々な層の演算で純層のシフトがどのように変化するかも調べることができますが，大変なのでここでは述べません．実際，既に上の命題2の証明の概略中では量子化接触変換に関するシフト変化の結果が使われていました．

偏屈層

最後に複素多様体上の偏屈層の超局所的取り扱いについて少しだけ述べます．偏屈層に関してはリーマン・ヒルベルト対応とのつながり，交叉コホモロジー，特異点論への応用など様々なことが説明できますが，ここでは超局所的な側面だけに着目してそれ以外は注意で少し触れるだけにします．

以降は$X$は複素多様体とします．また${\dim }_{\mathbb{C}}$で複素次元をあらわすことにします．

偏屈層の定義と使われ方

まずは天下り的に偏屈層の定義を与えます．$D_X=R\mathcal{H}om(\ast ,{\omega }_X):{\mathsf{D}}_{\mathbb{C}\text{-c}}^{\mathrm{b}}({\mathbb{k}}_X)\to {\mathsf{D}}_{\mathbb{C}\text{-c}}^{\mathrm{b}}({\mathbb{k}}_X)$でVerdier双対函手をあらわしたことを思い出しましょう．

${\mathsf{D}}_{\mathbb{C}\text{-c}}^{\mathrm{b}}({\mathbb{k}}_X)$において$D_X\circ D_X\simeq \mathrm{id}$であることと定義から，$D_X$は${}^p{\mathsf{D}}_{\mathbb{C}\text{-c}}^{\le 0}({\mathbb{k}}_X)$と${}^p{\mathsf{D}}_{\mathbb{C}\text{-c}}^{\ge 0}({\mathbb{k}}_X)$を入れ替えていることが分かります．特に$\mathrm{Perv}({\mathbb{k}}_X)$は変換$D_X$で閉じています．$\mathrm{Perv}({\mathbb{k}}_X)$の対象は層の複体であって普通の意味の層ではないですが，$U\mapsto \mathrm{Perv}({\mathbb{k}}_U)$の対応が貼り合わせ条件を満たす（スタックになる）ので「層」と呼ばれています．

上の議論をさらに精密に見ることによってstratificationを取ったときに$F\in {\mathsf{D}}_{\mathbb{C}\text{-c}}^{\mathrm{b}}({\mathbb{k}}_X)$が${}^p{\mathsf{D}}_{\mathbb{C}\text{-c}}^{\le 0}({\mathbb{k}}_X)$または${}^p{\mathsf{D}}_{\mathbb{C}\text{-c}}^{\ge 0}({\mathbb{k}}_X)$に入ることを次のように言うこともできます．$X=\underset{\alpha \in A}{⨆}{X}_{\alpha }$を複素$\mu$-stratificationであって各$\alpha$に対して$F{|}_{X_{\alpha }}$のコホモロジー層が全て局所定数層になるものを取ります．$i_{X_{\alpha }}:X_{\alpha }\hookrightarrow X$で埋め込みをあらわすと，
$$\begin{array}{rlr}& F\in {}^p{\mathsf{D}}_{\mathbb{C}\text{-c}}^{\le 0}({\mathbb{k}}_X)\iff H^n(i_{X_{\alpha }}^{-1}F)\simeq 0(n>-{\dim }_{\mathbb{C}}{X}_{\alpha })& F\in {}^p{\mathsf{D}}_{\mathbb{C}\text{-c}}^{\ge 0}({\mathbb{k}}_X)\iff H^n(i_{X_{\alpha }}^{!}F)\simeq 0(n<-{\dim }_{\mathbb{C}}{X}_{\alpha })\end{array}$$
となります．

実は充満部分圏の組$({}^p{\mathsf{D}}_{\mathbb{C}\text{-c}}^{\le 0}({\mathbb{k}}_X),{}^p{\mathsf{D}}_{\mathbb{C}\text{-c}}^{\ge 0}({\mathbb{k}}_X))$は$t$-構造 ($t$-structure) というものをなして，$\mathrm{Perv}({\mathbb{k}}_X)$はその心臓 (heart) としてアーベル圏になることが一般論から従います．この${\mathrm{Mod}}_{\mathbb{C}\text{-c}}({\mathbb{k}}_X)\subset {\mathsf{D}}_{\mathbb{C}\text{-c}}^{\mathrm{b}}({\mathbb{k}}_X)$とは異なる部分アーベル圏を使うことによって色々なことができるというのが偏屈層の理論です．

偏屈層の超局所的特徴づけ

ここでは上で定義した偏屈層の超局所的特徴づけについて説明します．そのために上で導入した超局所的タイプを用いて${\mathsf{D}}_{\mathbb{C}\text{-c}}^{\mathrm{b}}({\mathbb{k}}_X)$の二つの充満部分圏二つの充満部分圏${}^{\mu }{\mathsf{D}}_{\mathbb{C}\text{-c}}^{\le 0}({\mathbb{k}}_X),{}^{\mu }{\mathsf{D}}_{\mathbb{C}\text{-c}}^{\ge 0}({\mathbb{k}}_X)$を次のように定めます：$F\in {\mathsf{D}}_{\mathbb{C}\text{-c}}^{\mathrm{b}}({\mathbb{k}}_X)$が$F\in {}^{\mu }{\mathsf{D}}_{\mathbb{C}\text{-c}}^{\le 0}({\mathbb{k}}_X)$であるとは，$\mathrm{SS}(F)$の非特異点$p$におけるシフト$-{\dim }_{\mathbb{C}}X$の超局所的タイプ$V$が$H^n(V)\simeq 0(n>0)$を満たすことをいう．同様に$F\in {}^{\mu }{\mathsf{D}}_{\mathbb{C}\text{-c}}^{\ge 0}({\mathbb{k}}_X)$であるとは$H^n(V)\simeq 0(n<0)$であることをいう．特に，${}^{\mu }{\mathsf{D}}_{\mathbb{C}\text{-c}}^{\le 0}({\mathbb{k}}_X)\cap {}^{\mu }{\mathsf{D}}_{\mathbb{C}\text{-c}}^{\ge 0}({\mathbb{k}}_X)$の対象はマイクロ台の非特異点でシフト$-{\dim }_{\mathbb{C}}X$の純層のことです．この準備の下で偏屈層の超局所的特徴づけは次のように述べられます．

この証明は大変なので全部は述べませんが，少しだけ説明を加えておきます．${}^p{\mathsf{D}}_{\mathbb{C}\text{-c}}^{\le 0}({\mathbb{k}}_X)\subset {}^{\mu }{\mathsf{D}}_{\mathbb{C}\text{-c}}^{\ge 0}({\mathbb{k}}_X)$の方が十分層の形が分かっている場合に超局所的な条件を導くという方向で比較的簡単です．逆に超局所的な条件から大域的な条件を得る${}^{\mu }{\mathsf{D}}_{\mathbb{C}\text{-c}}^{\le 0}({\mathbb{k}}_X)\subset {}^p{\mathsf{D}}_{\mathbb{C}\text{-c}}^{\ge 0}({\mathbb{k}}_X)$の方が面白いパートです．そこでは局所的な消滅条件から大域的な消滅を導く必要があり，キーとなるのは次のStein多様体上の消滅定理です．証明は正に層のモース理論という感じなので概略も述べます．Stein多様体はある$N$に関して${\mathbb{C}}^N$の閉部分多様体となることを思い出しておきましょう．

まとめ

この節では

• 量子化接触変換
• 純層・単純層と慣性指数に付随するシフト
• 偏屈層の定義と超局所的特徴づけ

について説明しました．これでSheaves on Manifoldsに従って超局所層理論の外観を説明するのは終わりです！ここまで見てみると超局所層理論はモース理論を非常に精密に層係数に一般化していることが少しは分かったのではないでしょうか？この記事が少しでも超局所層理論の理解の助けになることを願ってやみません．