多重ゼータ値とその類似　Part２

　
${\rm\mathbf{Lemma~2.1.}}$　　$n\in\mathbb{Z}_{\ge 0}$，$\alpha>0$，$\beta\ge 0$，$0\le x<1$に対して

$ \D[2.1.1]　　　\int_0^x t^{n-1+\alpha}(1-t)^{-1+\beta}dt =\frac{(\alpha)_n(1-x)^{\beta}}{(\alpha+\beta)_n}\sum_{n\le m}\frac{(\alpha+\beta)_mx^{m+\alpha}}{(\alpha)_m(m+\alpha)} $

$ \D[2.1.2]　　　\int_0^x t^{n+\alpha}(1-t)^{-1+\beta}dt=\frac{\alpha+n}{\alpha+\beta+n}\frac{(\alpha)_n(1-x)^\beta}{(\alpha+\beta)_n}\sum_{n< m}\frac{(\alpha+\beta)_mx^{m+\alpha}}{(\alpha)_m(m+\alpha)} $
　
${\rm\mathbf{Proof.}}$

$ \D　　　 I_n=\int_0^x t^{n-1+\alpha}(1-t)^{-1+\beta}dt $
　
とおく。

$\BA \D　　　 I_{n-1}-I_n &=\int_0^x t^{n-2+\alpha}(1-t)^{\beta}dt\\ &=\L[\frac{t^{n-1+\alpha}(1-t)^{\beta}}{n-1+\alpha}\R]_0^x+\frac{\beta}{n-1+\alpha}\int_0^xt^{n-1+\alpha}(1-t)^{-1+\beta}dt\\ &=\frac{x^{n-1+\alpha}(1-x)^{\beta}}{n-1+\alpha}+\frac{\beta}{n-1+\alpha}I_n \EA$
　
整理して，

$ \D　　　 \frac{n-1+\alpha+\beta}{n-1+\alpha}I_n=-\frac{x^{n-1+\alpha}(1-x)^{\beta}}{n-1+\alpha}+I_{n-1} $
　
これより

$\BA \D　　　\frac{(\alpha+\beta)_n}{(\alpha)_n}I_n &=I_0-(1-x)^{\beta}\sum_{m=0}^{n-1}\frac{(\alpha+\beta)_mx^{m+\alpha}}{(\alpha)_m(m+\alpha)}\\ &=\frac{x^{\alpha}}{\alpha}{_2}F_1\L[\begin{matrix}\alpha,1-\beta\\1+\alpha \end{matrix};x\R] -(1-x)^{\beta}\sum_{m=0}^{n-1}\frac{(\alpha+\beta)_mx^{m+\alpha}}{(\alpha)_m(m+\alpha)}\\ &=(1-x)^{\beta}\sum_{n\le m}\frac{(\alpha+\beta)_mx^{m+\alpha}}{(\alpha)_m(m+\alpha)} \EA$
$\qed$

　
${\rm\mathbf{Corollary~2.1.}}$

$ \D[2.2]　　　\int_0^x \frac{t^{n-1+\alpha}}{1-t}\ln^j\frac{1}{t}\,dt=\sum_{k=0}^j \frac{j!}{k!}\ln^k\frac{1}{x}\sum_{n\le m}\frac{x^{m+\alpha}}{({m+\alpha})^{j-k+1}} $

　
$\Pr$
　$[2.1.1]$において，$\beta=0$とし，$\alpha$について$j$回微分すればよい。
$\qed$

　
${\rm\mathbf{Definition.}}$

$\BA \D　　　\int_a^b {f_1}'(t)\circ f_2(t)\circ\cdots\circ f_n(t) &=\int_a^b (f_1(t)-f_1(a))f_2(t)\circ\cdots\circ f_n(t)\\ &=\int_{a< t_1<\cdots< t_n< b}{f_1}'(t_1)f_2(t_2)\cdots f_n(t_n)\,dt_1\cdots dt_n \EA$

$\BA \D　　　\int_a^b f(t)\circ\underbrace{g(t)\circ\cdots\circ g(t)}_{r}\circ h(t)=\int_a^b f(t)\L(\circ g(t)\R)^r\circ h(t) \EA$

$ \D　　　\int_a^b f(t)\L(\int_a^t g_1(u)\circ\cdots\circ g_n(u) \R)dt=\int_a^b g_1(t)\circ\cdots\circ g_n(t)\circ f(t) $

　
${\rm\mathbf{Corollary~2.1.}}$

$ \D[2.3.1]　　　\int_0^x t^{n-1+\alpha}(1-t)^{-1+\beta}\L(\circ\frac{1}{t(1-t)}\R)^{a-1} =\frac{(\alpha)_n}{(\alpha+\beta)_n}\sum_{n\le n_1\le\cdots\le n_a}\frac{x^{n_a+\alpha}(1-x)^{\beta}}{(n_1+\alpha)\cdots(n_a+\alpha)}\frac{(\alpha+\beta)_{n_a}}{(\alpha)_{n_a}} $

$ \D[2.3.2]　　　\int_0^x t^{n-1+\alpha}(1-t)^{-1+\beta}\L(\circ\frac{1}{1-t}\R)^{a-1} =\frac{(\alpha)_{n}}{(\alpha+\beta)_{n}}\sum_{n\le n_1<\cdots< n_a}\frac{x^{n_a+\alpha}(1-x)^{\beta}}{(n_1+\alpha+\beta)\cdots(n_{a-1}+\alpha+\beta)(n_a+\alpha)}\frac{(\alpha+\beta)_{n_a}}{(\alpha)_{n_a}} $

　
${\rm\mathbf{Proof.}}$
　$a$に関する数学的帰納法により容易にわかる。
$\qed$

　
${\rm\mathbf{Corollary~2.2.}}$　　$0\le x<1$に対して

$ \D[2.4.1]　　　\int_0^x \frac{t^{n-1}}{1-t}\,dt=\sum_{n< m}\frac{x^{m}}{m} $

$ \D[2.4.2]　　　\int_0^x \frac{t^n}{1-t}\,dt=\sum_{n\le m}\frac{x^m}{m} $

$ \D[2.4.3]　　　\int_0^x \frac{t^{n-\frac{1}{2}}}{1-t}\,dt =\sum_{n< m}\frac{x^{m-\frac{1}{2}}}{m-\frac{1}{2}}=\sum_{n\le m}\frac{x^{m+\frac{1}{2}}}{m+\frac{1}{2}} $

$ \D[2.4.4]　　　\int_0^x \frac{t^{n+\frac{1}{2}}}{1-t}\,dt =\sum_{n< m}\frac{x^{m+\frac{1}{2}}}{m+\frac{1}{2}} $

$ \D[2.4.5]　　　\int_0^x \frac{t^{n-1}}{\sqrt{1-t}}\,dt=\frac{1}{nC_n}\sum_{n\le m}C_mx^m\sqrt{1-x} $

$ \D[2.4.6]　　　\int_0^x \frac{t^{n}}{\sqrt{1-t}}\,dt=\frac{1}{\L(n+\frac{1}{2}\R)C_n}\sum_{n< m}C_mx^m\sqrt{1-x} $

$ \D[2.4.7]　　　\int_0^x \frac{t^{n-\frac{1}{2}}}{\sqrt{1-t}}\,dt =C_n\sum_{n< m}\frac{x^{m-\frac{1}{2}}\sqrt{1-x}}{mC_m} =C_n\sum_{n\le m}\frac{x^{m+\frac{1}{2}}\sqrt{1-x}}{\L(m+\frac{1}{2}\R)C_m} $

$ \D[2.4.8]　　　\int_0^x \frac{t^{n+\frac{1}{2}}}{\sqrt{1-t}}\,dt=C_{n+1}\sum_{n< m}\frac{x^{m+\frac{1}{2}}\sqrt{1-x}}{\L(m+\frac{1}{2}\R)C_m} $

　
${\rm\mathbf{Proof.}}$
　いずれも${\rm\mathbf{Lemma~2.1}}$の特殊な場合である。適当な$\alpha,~\beta$を代入すればよい。
$\qed$

　
${\rm\mathbf{Theorem~2.1.}}$　　$n\in\mathbb{Z}_{\ge0}$，$a\in\mathbb{Z}_{>0} $に対して

$ \D[2.5.1]　　　\int_0^x \frac{t^{2n}(\sin^{-1}x-\sin^{-1}t)^{2a-1}}{\sqrt{1-t^2}}\,dt =(2a-1)!C_n\sum_{n< n_1<\cdots< n_a}\frac{x^{2n_a}}{(2n_1)^2\cdots(2n_a)^2C_{n_a}} $

$ \D[2.5.2]　　　\int_0^x \frac{t^{2n}(\sin^{-1}x-\sin^{-1}t)^{2a-2}}{\sqrt{1-t^2}}\,dt =(2a-2)!C_n\sum_{n< n_1<\cdots< n_a}\frac{x^{2n_a-1}\sqrt{1-x^2}}{(2n_1)^2\cdots(2n_{a-1})^2(2n_a)C_{n_a}} $

$ \D[2.5.3]　　　\int_0^x \frac{t^{2n+1}(\sin^{-1}x-\sin^{-1}t)^{2a-1}}{\sqrt{1-t^2}}\,dt =\frac{(2a-1)!}{(2n+1)C_n}\sum_{n< n_1<\cdots< n_a}\frac{C_{n_a}x^{2n_a+1}}{(2n_1+1)^2\cdots(2n_{a-1}+1)^2(2n_a+1)} $

$ \D[2.5.4]　　　\int_0^x \frac{t^{2n+1}(\sin^{-1}x-\sin^{-1}t)^{2a-2}}{\sqrt{1-t^2}}\,dt =\frac{(2a-2)!}{(2n+1)C_n}\sum_{n< n_1<\cdots< n_a}\frac{C_{n_a}x^{2n_a}\sqrt{1-x^2}}{(2n_1+1)^2\cdots(2n_{a-1}+1)^2} $

　
$\Pr$
　いずれも計算の原理は同じなので，ここでは$[2.5.1]$のみ証明する。

$\BA \D　　　 \int_0^x \frac{t^{2n}}{\sqrt{1-t^2}}\L(\circ\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\R)^{2a-1} &=C_n\sum_{n< n_1}\frac{1}{2n_1C_{n_1}}\int_0^x \frac{t^{2n_1-1}\sqrt{1-t^2}}{\sqrt{1-t^2}}\L(\circ\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\R)^{2a-2}\\ &=C_n\sum_{n< n_1}\frac{1}{(2n_1)^2C_{n_1}}\int_0^x \frac{t^{2n_1}}{\sqrt{1-t^2}}\L(\circ\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\R)^{2a-3}\\ &=C_n\sum_{n< n_1< n_2}\frac{C_{n_1}}{(2n_1)^2C_{n_1}(2n_2)}\int_0^x \frac{t^{2n_2-1}\sqrt{1-t^2}}{\sqrt{1-t^2}}\L(\circ\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\R)^{2a-4}\\ &=C_n\sum_{n< n_1< n_2}\frac{1}{(2n_1)^2(2n_2)^2}\int_0^x \frac{t^{2n_2}}{\sqrt{1-t^2}}\L(\circ\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\R)^{2a-5}\\ &=\cdots\\ &=C_n\sum_{n< n_1<\cdots< n_a}\frac{x^{2n_a}}{(2n_1)^2\cdots(2n_a)^2C_{n_a}} \EA$

$\BA \D　　　 \int_0^x \frac{t^{2n}}{\sqrt{1-t^2}}\L(\circ\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\R)^{2a-1} &=\frac{1}{1!}\int_0^x \frac{t^{2n}(\sin^{-1}x-\sin^{-1}t)}{\sqrt{1-t^2}}\L(\circ\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\R)^{2a-2}\\ &=\frac{1}{2!}\int_0^x \frac{t^{2n}(\sin^{-1}x-\sin^{-1}t)^2}{\sqrt{1-t^2}}\L(\circ\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\R)^{2a-3}\\ &=\cdots\\ &=\frac{1}{(2a-1)!}\int_0^x \frac{t^{2n}(\sin^{-1}x-\sin^{-1}t)^{2a-1}}{\sqrt{1-t^2}}\,dt \EA$
$\qed$

　
${\rm\mathbf{Theorem~2.2.}}$

$ \D[2.6]　　　\frac{1}{(2a-1)!(2b)!}\int_0^{x}\frac{(x-t)^{2b}}{\tan t}\int_0^t (t-u)^{2a-1}(\sin^{-1}u)^{2n}du\,dt =C_n\sum_{n< m_1<\cdots< m_a< n_1<\cdots< n_b}\frac{\sin^{2n_b}x}{(2m_1)^2\cdots(2m_{a-1})^2(2n_a)^3(2n_1)^2\cdots(2n_b)^2C_{n_b}}　　　　　　　　\\ $
　
$\Pr$

$\BA \D　　　 \int_0^x \frac{t^{2n}}{\sqrt{1-t^2}}\L(\circ\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\R)^{2a-1}\circ\frac{1}{t}\L(\circ\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\R)^{2b} &=C_n\sum_{n< m_1<\cdots< m_a}\frac{1}{(2m_1)^2\cdots(2m_a)^2C_{m_a}}\int_0^x\frac{t^{2m_a}}{t}\L(\circ\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\R)^{2b}\\ &=C_n\sum_{n< m_1<\cdots< m_a}\frac{1}{(2m_1)^2\cdots(2m_{a-1})^2(2m_a)^3C_{m_a}}\int_0^x\frac{t^{2m_a}}{\sqrt{1-t^2}}\L(\circ\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\R)^{2b-1}　　　　　\\ &=C_n\sum_{n< m_1<\cdots< m_a< n_1<\cdots< n_b}\frac{x^{2n_b}}{(2m_1)^2\cdots(2m_{a-1})^2(2n_a)^3(2n_1)^2\cdots(2n_b)^2C_{n_b}} \EA$

$\BA \D　　　 \int_0^x \frac{t^{2n}}{\sqrt{1-t^2}}\L(\circ\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\R)^{2a-1}\circ\frac{1}{t}\L(\circ\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\R)^{2b} &=\int_0^x \frac{1}{\sqrt{1-s^2}}\L(\circ \frac{1}{\sqrt{1-s^2}}\R)^{2b-1}\int_0^s \frac{1}{t}\int_0^t\frac{u^{2n}}{\sqrt{1-u^2}}\L(\circ\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\R)^{2a-1}\\ &=\frac{1}{(2b-1)!(2a-1)!}\int_0^x \frac{(\sin^{-1}x-\sin^{-1}s)^{2b-1}}{\sqrt{1-s^2}}\int_0^s\frac{1}{t}\int_0^t\frac{u^{2n}(\sin^{-1}t-\sin^{-1}u)^{2a-1}}{\sqrt{1-u^2}}\,du\,dt\,ds　　　　　　　　\\ &=\frac{1}{(2a-1)!(2b)!}\int_0^x\frac{(\sin^{-1}x-\sin^{-1}t)^{2b}}{t}\int_0^t\frac{u^{2n}(\sin^{-1}t-\sin^{-1}u)^{2a-1}}{\sqrt{1-u^2}}\,du\,dt \EA$

あとは$x$を$\sin x$に置き換えればよい。
$\qed$

　
$\Df$

$ \D　　　{S}^{C}_n(\k)=\sum_{0< n_1<\cdots< n_r\le n}(2\n)^{-\k}C_{n_r}^{-1} $

$ \D　　　{S}^{D}_n(\k)=\sum_{0\le n_1<\cdots< n_r\le n}(2\n+1)^{-\k}C_{n_r} $

$ \D　　　{S}^{C}_n(\k;x)=\sum_{0< n_1<\cdots< n_r\le n}(2\n)^{-\k}C_{n_r}^{-1}\sin^{2n_r}x $

$ \D　　　{S}^{D}_n(\k;x)=\sum_{0\le n_1<\cdots< n_r\le n}(2\n+1)^{-\k}C_{n_r}\sin^{2n_r+1}x $

　
${\rm\mathbf{Theorem~2.3.}}$

$ \D[2.7]　　　{S}^{C}_{\infty}(\{2\}_{a-1},3,\{2\}_{b};x)=\frac{1}{(2a)!(2b)!}\int_0^x\frac{t^{2a}(x-t)^{2b}}{\tan t}\,dt $

　
$\Pr$
　$[2.6]$において，$n=0$とすればよい。
$\qed$

　
${\rm\mathbf{Corollary~2.3.}}$

$ \D[2.8]　　　{S}^{C}_{\infty}(\{2\}_{a-1},3,\{2\}_{b})=\frac{1}{(2a)!(2b)!}\int_0^\frac{\pi}{2} \frac{t^{2a}\L(\frac{\pi}{2}-t\R)^{2b}}{\tan t}\,dt $

　
$\Pr$
　$[2.7]$において，$x=\cfrac{\pi}{2}$とすればよい。
$\qed$

　
${\rm\mathbf{Theorem~2.4.}}$

$ \D[2.9]　　　{S}^{D}_{\infty}(\{2\}_{a-1},3,\{2\}_{b-1},1;x)=\frac{1}{(2a-1)!(2b)!}\int_0^x \frac{t^{2a-1}(x-t)^{2b}}{\tan t}\,dt $

　
$\Pr$
　$[2.5.3]$について，${\rm\mathbf{Theorem~2.2}},{\rm\mathbf{2.3}}$と同様にすればよい。
$\qed$