多重ゼータ値とその類似　Part３

　
$\Df$

$ \D　　　R_F(\k)=\sum_{0< n_1<\cdots< n_r}C_{n_1}^{-1}{\n}^{-\k} $

$ \D　　　R_L(\k)=\sum_{0< n_1<\cdots< n_r}{\n}^{-\k}C_{n_r}^{-1} $

$ \D　　　\zeta(k_1,\cdots,[k_s],\cdots,k_r)=\sum_{\substack{0< n_1<\cdots< n_r\\n_s\in\mathbb{Z-\frac{1}{2}}}}{\n}^{-\k} $

$ \D　　　{\cal T}(\k)=\sum_{0\le n_1<\cdots< n_r}\L(\n+\frac{1}{2}\R)^{-\k} $

$ \D　　　{\cal R}_L(\k)=\sum_{0\le n_1<\cdots< n_r}\L(\n+\frac{1}{2}\R)^{-\k}C_{n_r}^{-1} $

$ \D　　　{\cal R}^{FL}(\k)=\sum_{0\le n_1<\cdots< n_r}C_{n_1}\L(\n+\frac{1}2{}\R)^{-\k}C_{n_r} $

$ \D　　　[\underbrace{k,\cdots,k}_{r}]=[k]_r,　　([k_1],\cdots,[k_r])=([k_1,\cdots,k_r]) $

　
${\rm\bf{Theorem~3.1.}}$

$ \D[3.1]　　　{R}^{\star}_F(\k)=\zeta([1]_{k_r-1},1,\cdots,[1]_{k_{2}-1},1,[1]_{k_1-2},2) $

　
$\Pr$

$\BA \D　　　&\int_0^1 \frac{1}{1-t}\L(\circ\frac{1}{t}\R)^{k_1-2}\L(\circ\frac{1}{t\sqrt{1-t}}\R)^2\cdots\L(\circ\frac{1}{t}\R)^{k_{r-1}-2}\L(\circ\frac{1}{t\sqrt{1-t}}\R)^2\L(\circ\frac{1}{t}\R)^{k_{r}-2}\circ\frac{1}{t\sqrt{1-t}}\\ &　　=\sum_{0< n_1}\int_0^1 t^{n_1-1}\L(\circ\frac{1}{t}\R)^{k_1-2}\L(\circ\frac{1}{t\sqrt{1-t}}\R)^2\cdots\L(\circ\frac{1}{t}\R)^{k_{r-1}-2}\L(\circ\frac{1}{t\sqrt{1-t}}\R)^2\L(\circ\frac{1}{t}\R)^{k_{r}-2}\circ\frac{1}{t\sqrt{1-t}}　　\\ &　　=\sum_{0< n_1}\frac{1}{n_1}\int_0^1 t^{n_1-1}\L(\circ\frac{1}{t}\R)^{k_1-3}\L(\circ\frac{1}{t\sqrt{1-t}}\R)^2\cdots\L(\circ\frac{1}{t}\R)^{k_{r-1}-2}\L(\circ\frac{1}{t\sqrt{1-t}}\R)^2\L(\circ\frac{1}{t}\R)^{k_{r}-2}\circ\frac{1}{t\sqrt{1-t}}　　\\ &　　=\cdots\\ &　　={R}^{\star}_F(k_1,\cdots,k_r)\\ \\ &\int_0^1 \frac{1}{1-t}\L(\circ\frac{1}{t}\R)^{k_1-2}\L(\circ\frac{1}{t\sqrt{1-t}}\R)^2\cdots\L(\circ\frac{1}{t}\R)^{k_{r-1}-2}\L(\circ\frac{1}{t\sqrt{1-t}}\R)^2\L(\circ\frac{1}{t}\R)^{k_{r}-2}\circ\frac{1}{t\sqrt{1-t}}\\ &　　=\int_0^1 \frac{1}{(1-t)\sqrt{t}}\L(\circ\frac{1}{1-t}\R)^{k_r-2}\L(\circ\frac{1}{(1-t)\sqrt{t}}\R)^2\cdots\L(\circ\frac{1}{1-t}\R)^{k_2-2}\L(\circ\frac{1}{(1-t)\sqrt{t}}\R)^2\L(\circ\frac{1}{1-t}\R)^{k_1-2}\circ\frac{1}{t}\\ &　　=\sum_{0< n_1}\int_0^1\frac{t^{n_1-1}}{\sqrt{t}}\L(\circ\frac{1}{1-t}\R)^{k_r-2}\L(\circ\frac{1}{(1-t)\sqrt{t}}\R)^2\cdots\L(\circ\frac{1}{1-t}\R)^{k_2-2}\L(\circ\frac{1}{(1-t)\sqrt{t}}\R)^2\L(\circ\frac{1}{1-t}\R)^{k_1-2}\circ\frac{1}{t}\\ &　　=\sum_{0< n_1}\frac{1}{n_1-\frac{1}{2}}\int_0^1\frac{t^{n_1-\frac{1}{2}}}{1-t}\L(\circ\frac{1}{1-t}\R)^{k_r-3}\L(\circ\frac{1}{(1-t)\sqrt{t}}\R)^2\cdots\L(\circ\frac{1}{1-t}\R)^{k_2-2}\L(\circ\frac{1}{(1-t)\sqrt{t}}\R)^2\L(\circ\frac{1}{1-t}\R)^{k_1-2}\circ\frac{1}{t}　　\\ &　　=\cdots\\ &　　=\zeta([1]_{k_r-1},1,\cdots,[1]_{k_{2}-1},1,[1]_{k_1-2},2) \EA$
$\qed$

　
${\rm\bf{Theorem~3.2.}}$

$ \D[3.2]　　　\zeta^{\star}(\{1\}_a,b+1)=\sum_{0< n_1<\cdots< n_b\le m_1\le\cdots\le m_a}\frac{1}{n_1\cdots m_{a-1}m_a^2} $

　
$\Pr$

$ \D　　　\int_0^1 \frac{1}{1-t}\L(\circ\frac{1}{t(1-t)}\R)^{a}\L(\circ\frac{1}{t}\R)^b $

と，$t\to1-t$と置換したものをそれぞれ計算する。
$\qed$

　
${\rm\bf{Theorem~3.3.}}$

$ \D[3.3]　　　{\cal T}^{\star}(\k)=\sum_{j=0}^{r-1}\sum_{i=0}^j R_L(\{1\}_{k_r-2},2,\cdots,\{1\}_{d_{i,j}-2},2,\cdots,\{1\}_{k_1-2},2)　　　 \L(d_{i,j}=\sum_{h=j-i+1}^{r-i}k_h\R) $

　
$\Pr$

$ \D　　　\int_0^1\frac{1}{(1-t)\sqrt{t}}\L(\circ\frac{1}{t}\R)^{k_1-1}\circ\frac{1}{t(1-t)}\cdots\L(\circ\frac{1}{t}\R)^{k_{r-1}-1}\circ\frac{1}{t(1-t)}\L(\circ\frac{1}{t}\R)^{k_r-1} $

と，$t\to1-t$と置換したものをそれぞれ計算する。シグマの等号部分をすべて分離することで右辺のようになる。
$\qed$

　
${\rm\bf{Theorem~3.4.}}$

$ \D[3.4]　　　R_L(\k)={\cal T}(\k^{\dagger}) $

　
$\Pr$

$ \D　　　\int_0^1 \frac{1}{1-t}\L(\circ\frac{1}{1-t}\R)^{a_1-1}\L(\circ\frac{1}{t}\R)^{b_1}\L(\circ\frac{1}{1-t}\R)^{a_2}\L(\circ\frac{1}{t}\R)^{b_2}\cdots\L(\circ\frac{1}{1-t}\R)^{a_r}\L(\circ\frac{1}{t}\R)^{b_r-1}\circ\frac{1}{t\sqrt{1-t}} $

と，$t\to1-t$と置換したものをそれぞれ計算する。
$\qed$

　
${\rm\bf{Theorem~3.5.}}$

$ \D[3.5]　　　{\cal R}_L(\{1\}_{a-1},2)=\pi\sum_{0\le n}\L(n+\frac{1}{2}\R)^{-a}C_n^2 $

　
$\Pr$

$ \D　　　\int_0^1 \frac{1}{(1-t)\sqrt{t}}\L(\circ\frac{1}{1-t}\R)^{a-1}\circ\frac{1}{\sqrt{t(1-t)}} $

と，$t\to1-t$と置換したものをそれぞれ計算する。
$\qed$

　
${\rm\bf{Theorem~3.6.}}$

$ \D[3.6]　　　{\cal R}_L({\rm inv}(\k),2)=\pi\,{\cal R}^{FL}({\rm inv}(\k^{\dagger}),1) $

　
$\Pr$

$ \D　　　\int_0^1 \frac{1}{(1-t)\sqrt{t}}\L(\circ\frac{1}{t}\R)^{a_1}\L(\circ\frac{1}{1-t}\R)^{b_1}\cdots\L(\circ\frac{1}{t}\R)^{a_r}\L(\circ\frac{1}{1-t}\R)^{b_r}\circ\frac{1}{\sqrt{t(1-t)}} $

と，$t\to1-t$と置換したものをそれぞれ計算する。
$\qed$

　
$\Df$

$ \D　　　Z[\alpha,\beta,\gamma,\delta](\k) =\frac{\Gamma(\alpha+\gamma)\Gamma(\delta)}{\Gamma(\alpha+\gamma+\delta)}\sum_{0\le n_1<\cdots< n_r}\frac{(1-\beta)_{n_1}}{n_1!}(\n+\alpha)^{-\k}\frac{(\alpha+\gamma)_{n_r}}{(\alpha+\gamma+\delta)_{n_r}} $

　
${\rm\bf{Theorem~3.7.}}$

$ \D[3.7]　　　Z[\alpha,\beta,\gamma,\delta]({\rm inv}(\k),1)=Z[\delta,\gamma,\beta,\alpha]({\rm inv}(\k^{\dagger}),1) $

　
$\Pr$

$ \D　　　\int_0^1 t^{-1+\alpha}(1-t)^{-1+\beta}\L(\circ\frac{1}{t}\R)^{a_1}\L(\circ\frac{1}{1-t}\R)^{b_1}\cdots\L(\circ\frac{1}{t}\R)^{a_r}\L(\circ\frac{1}{1-t}\R)^{b_r}\circ t^{-1+\gamma}(1-t)^{-1+\delta} $

と，$t\to1-t$と置換したものをそれぞれ計算する。
$\qed$