Proposition 7.1.
[7.1] ∑0≤m<nCmC2m2nCn(xtanx−12n)sin2n−2mx−∑0≤m<nC2m+1Cn(2m+1)Cm(12n+1−xtanx)sin2n−2mx=∑0<nsin2nx(2n)2CnC2n
Proof. ∑0<nx2nn2Cn=2(sin−1x)2の両辺をxで半階微分すると, 左辺 (左辺)=∑0<n1n2Cnx2n−12πC2n 右辺 (右辺)=2π∫0x1x−t2sin−1t1−t2dt=4π∫0sinxtx−sintdtすなわち ∑0<nsin2nx(2n)2CnC2n=∫0xt1−sintsinxdtとなる。あとは11−sintsinx=∑0≤mCmsinmxsinmtとして,mの偶奇でシグマを分解し,計算するだけである。◻
Proposition 7.2.
[7.2] ∑0≤m≤nCmC2m(2n+1)Cnsin2n−2m+1xcosx+∑0≤m<nC2m+1Cn(2m+1)Cmsin2n−2m−1xcosx=∑0≤nCn(2n+1)C2n+1sin2n+1x
Proof. sin−1xに対してProposition 7.1と同じことをする。◻
Proposition 7.3.
[7.3] ∑0<m<nCmC2m2mnCn(xtanx−12n)sin2n−2mx−∑0<m≤nC2m−1Cnm(2n−1)Cm(12n+1−xtanx)sin2n−2m+2x=2x2ln2+14∑0<nsin2nxn3Cn−14∑0<nsin2nxn3CnC2n
Proof. ∫0x(sin−1t)2tdtに対してProposition 7.1と同じことをする。◻
Proposition 7.4.
[7.4] ∑0<nsin2nx(2n)2Cn2=∑0≤m<nCm22nCn(xtanx−12n)sin2n−2mx
Proof. (sin−1x)2に対してProposition 7.1と同じことをする。◻
バッチを贈ると投稿者に現金やAmazonのギフトカードが還元されます。
現在のページ