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導入

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定義

$\mathbb{Z}_{>0}$を正整数全体の集合とする。このとき、直積$\underbrace{\mathbb{Z}_{>0}\times\cdots\times\mathbb{Z}_{>0}}_{n}$を$I_n$とおく($I_0:=\{\varnothing\}$)。それの直和$\ds\bigsqcup_{n\geq0}I_n$を${\cal{I}}$と表す。
この時の${\cal I}$の元をインデックスという。$I_0$の唯一の元を空インデックスといい、$\varnothing$で表す。
また、インデックス${\bm k}=(k_1,\cdots,k_r)\in {\cal I}$に対して$\ds\dep(\bm k)=r,|{\bm k}|=\sum_{i=1}^r k_i$とおきそれぞれ${\bm k}$の重さと深さいう。インデックス${\bm k}=(k_1,\cdots,k_r)$の$k_r$が$2$以上のとき、$\bm k$を許容インデックスという。簡単のため許容インデックス全体の集合を${\cal I}'$とする。

インデックス$\bm k=(k_1,\cdots,k_r)$と正の整数$n>r$に対して
$$ \zeta_{< n}(\bm k):=\sum_{0< n_1<\cdots< n_r< n}\frac{1}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}} $$
とする。

MZV

許容インデックス${\bm k}=(k_1,\cdots,k_r)$に対して
$$ \zeta({\bm k}):=\lim_{n\to\infty}\zeta_{< n}(\bm k) $$
で定義される実数をインデックス${\bm k}$の多重ゼータ値(multiple zeta value,MZV)という。
また、
$$ \Li_{\bm k}(x):=\sum_{0< n_1<\cdots< n_r} \frac{x^{n_r}}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}} $$
をインデックス$\bm k$の多重ポリログという。

インデックスの変形と性質

矢印記法

$\bm k=(k_1,\cdots,k_r)$(許容インデックスとは限らない)に対して、
\begin{align} \bm k_\uparrow&:=(k_1,\cdots,k_{r-1},k_r+1) \\ \bm k_\to&:=(k_1,\cdots,k_r,1) \\ \n_\to&:=(1) \\ \bm k_{\uparrow^n}&:=(\bm k_{\uparrow^{n-1}})_\uparrow \\ \bm k_{\to^n}&:=(\bm k_{\to^{n-1}})_\to \end{align}
と定める。

双対インデックス

任意の許容インデックス${\bm k}$は正整数$s,a_1,\cdots,a_s,b_1,\cdots,b_s$を用いた一意な表示
$${\bm k}=\n_{\to^{a_1}\uparrow^{b_1}\cdots\to^{a_s}\uparrow^{b_s}}$$
を持つ。このときの
$${\bm k}^{\dagger}=\n_{\to^{b_s}\uparrow^{a_s}\cdots\to^{b_1}\uparrow^{a_1}}$$
を${\bm k}$の双対インデックスという。
このとき、明らかに$|{\bm k}|=|{\bm k}^\dagger|$が成り立つ。

縮約インデックス

インデックス${\bm k}=(k_1,\cdots,k_r),{\bm l}=(l_1,\cdots,l_s)(r,s\geq1)$に対し、$r+1$個の整数$(i_0,\cdots,i_r)$であって、条件
\begin{array}{cl} ({\rm i}) & \ \ 0=i_0< i_1<\cdots< i_r\\ ({\rm ii}) & \ \ i_0=0,i_r=s\\ ({\rm iii}) & \ \ds {}^{\forall}j\in\{1,\cdots,r\},k_j=\sum_{n=1+i_{j-1}}^{i_j}l_n\\ \end{array}
を満たすものがあるとき、$\bm k$を$\bm l$の縮約インデックスであるといい、$\bm k\preceq\bm l$と書く。
要するに縮約インデックスとは隣り合う要素をいくつか足し合わせたものである。
例えば、$(3)\preceq(1,2)\preceq(1,1,1)$というふうに書く。

指数

$\bm k=(k_1,\cdots,k_r),\bm l=(l_1,\cdots,l_r)$について、
$$\bm k^{\bm l}=\prod_{i=1}^rk_i^{l_i}$$
と定義する。以降、$\ds\sum$のダミー変数を並べたインデックスを$\bm n$などと略記することにする。

インデックスの結合

$\bm k=(k_1,\cdots,k_r)$と$\bm l=(l_1,\cdots,l_s)$について$(\bm k,\bm l)=(k_1,\cdots,k_r,l_1,\cdots,l_s)$とする。

インデックスの和

インデックスを引数に取る関数$f:\mathcal{I}\to\mathbb{R}$に対して、$f(\bm k+\bm l)=f(\bm k)+f(\bm l)$と定義する。

主予想

D.Zagier

整数$k\geq2$について$|\bm k|=k$を満たすインデックス$\bm k$のMZV$\zeta(\bm k)$全体が$\mathbb{Q}$上張る空間を$\cal{Z}_k$とおくと、$\ds\dim_\mathbb{Q}\cal{Z}_k=d_k$であろう。ただし$\{d_k\}_{k=0}^\infty$は$\ds\sum_{k=0}^\infty d_kt^k=\frac{1}{1-t^2-t^3}$を満たす数列とする。