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高校数学
文献あり

積分表示

$$\newcommand{bm}[0]{\boldsymbol} \newcommand{dep}[0]{{\rm dep}} \newcommand{ds}[0]{\displaystyle} \newcommand{H}[0]{{\cal H}} \newcommand{Li}[0]{{\rm{Li}}} \newcommand{mi}[2]{\begin{array}{c} #1 \\ #2 \end{array}} \newcommand{MLV}[0]{{\sf MLV}} \newcommand{n}[0]{\varnothing} \newcommand{ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{R}[0]{{\cal R}} \newcommand{sh}[0]{ш} $$

ここでは、多重ゼータ値の積分表示を導出する。ただ、積分表示といっても単積分ではなく反復積分なので扱いには注意が必要である。

記法

$$\int_0^1f_1(t)dt\circ\cdots\circ f_i(t)dt=\int_0^1f_1(t)dt_1\circ\cdots\circ f_{i-1}(t)dt\int_0^{t}f_i(u)du$$

微分形式を語に対応させて$\circ$を二項演算とする$\mathbb{Q}$係数非可換多項式環が作れるので、それを$\R$とおけば、関数$\ds f:\R\ni x\mapsto\int_0^1x\in\mathbb{R}$は線形性を持つ。この節では一貫して$\ds a=\frac{dt}{t},b=\frac{dt}{1-t}$として$\R=\mathbb{Q}\langle a,b\rangle$とする(以降、$\circ$は省略する)。

積分表示の導出

まずは、よく知られたMaclaurin展開
$$-\ln(1-x)=\sum_{0< n}\frac{x^n}{n}$$
から出発する。これは$x\to1$では収束しない(形式的には$\zeta(1)$である)。しかし、両辺を$x$で割ってから$(0,t)$($t$$0< t<1$なる実数))で積分すると
\begin{align} \int_0^t\frac1x\sum_{0< n}\frac{x^n}{n}dx&=\sum_{0< n}\frac1n\int_0^1x^{n-1}dx \\ &=\sum_{0< n}\frac{t^n}{n^2} \\ &=\Li_2(t) \end{align}
となる。ここから、どうやらポリログは$x$で割って$(0,x)$で積分すると級数表示の分母の次数が$1$増えるだろうということが推測できる。たしかに、この推測は正しく、次のことが成り立つ。

インデックス$\bm k$$0< x<1$なる実数$x$について、$\ds\int_0^x\Li_{\bm k}(t)\frac{dt}{t}=\Li_{\bm k_\uparrow}(x)$が成り立つ。

\begin{align} \int_0^x\Li_{\bm k}(t)\frac{dt}{t}&=\int_0^x\sum_{0< n_1<\cdots< n_r}\frac{t^{n_r-1}}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}dt \\ &=\sum_{0< n_1<\cdots< n_r}\frac{1}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}\int_0^xt^{n_r-1}dt \\ &=\sum_{0< n_1<\cdots< n_r}\frac{x^{n_r}}{n_1^{k_1}\cdots n_{r-1}^{k_{r-1}}n_r^{k_r+1}} \\ &=\Li_{\bm k_\uparrow}(x) \end{align}

インデックス$\bm k$$0< x<1$なる実数$x$について、$\ds\int_0^x\Li_{\bm k}(t)\frac{dt}{1-t}=\Li_{\bm k_\to}(x)$が成り立つ。

\begin{align} \int_0^x\Li_{\bm k}(t)\frac{dt}{1-t}&=\int_0^x\sum_{0< n_1<\cdots< n_r}\frac{t^{n_r}}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}\sum_{0< m}t^{m-1}dt \\ &=\sum_{0< n_1<\cdots< n_r<(n_r+m)}\frac{1}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}\int_0^xt^{n_r+m-1}dt \\ &=\sum_{0< n_1<\cdots< n_{r+1}}\frac{x^{n_{r+1}}}{n_1^{k_1}\cdots n_{r}^{k_{r}}n_{r+1}} \\ &=\Li_{\bm k_\to}(x) \end{align}

以上の結果と$\ds\sum_{0< n}\frac{x^n}{n}=\int_0^x\frac{dt}{1-t}$から$$\zeta(k_1,\cdots,k_r)=\int_0^1a^{k_r-1}b\cdots a^{k_1-1}b$$
を得る。

$$\zeta(2)=\int_0^1ab=\int_0^1\frac{dx}{x}\int_0^x\frac{dt}{1-t}=-\int_0^1\frac{\ln(1-x)}{x}dx=\int_0^\infty\frac{t}{e^t-1}dt$$

参考文献

[1]
Kam Cheong Au, EVALUATION OF ONE-DIMENSIONAL POLYLOGARITHMIC INTEGRAL, WITH APPLICATIONS TO INFINITE SERIES, arXiv
投稿日:2022318
更新日:28日前

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