級数の値を求めるにあたっては、部分分数分解や望遠鏡和のような初等的な手法や、Dirichlet BetaやRiemann Zetaなど、級数との相性が良い特殊関数を使うことが多い。しかし、これらの手法を用いても簡単には求められない級数は無数に存在する。本書では多重ゼータ値(MZV)や交代多重ゼータ値(AMZV)をはじめとした多重級数に関する知見をまとめた。本書が積分や級数を研究する諸君の役に立てば幸いである。

多重ゼータ値入門

## 定義
&&&def
$\mathbb{Z}_{>0}$を正整数全体の集合とする。このとき、直積$\underbrace{\mathbb{Z}_{>0}\times\cdots\times\mathbb{Z}_{>0}}_{n}$を$I_n$とおく($I_0:=\{\varnothing\}$)。それの直和$\ds\bigsqcup_{n\geq0}I_n$を${\cal{I}}$と表す。
この時の${\cal I}$の元を**インデックス**という。$I_0$の唯一の元を**空インデックス**といい、$\varnothing$で表す。
また、インデックス${\bm k}=(k_1,\cdots,k_r)\in {\cal I}$に対して$\ds\dep(\bm k)=r,|{\bm k}|=\sum_{i=1}^r k_i$とおきそれぞれ${\bm k}$の**重さ**と**深さ**いう。インデックス${\bm k}=(k_1,\cdots,k_r)$の$k_r$が$2$以上のとき、$\bm k$を**許容インデックス**という。簡単のため許容インデックス全体の集合を${\cal I}'$とする。
&&&

&&&def
インデックス$\bm k=(k_1,\cdots,k_r)$と正の整数$n>r$に対して
$$
\zeta_{<n}(\bm k):=\sum_{0<n_1<\cdots<n_r<n}\frac{1}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}
$$
とする。
&&&


&&&def MZV
許容インデックス${\bm k}=(k_1,\cdots,k_r)$に対して
$$
\zeta({\bm k}):=\lim_{n\to\infty}\zeta_{<n}(\bm k)
$$
で定義される実数をインデックス${\bm k}$の**多重ゼータ値**(multiple zeta value,MZV)という。
また、
$$
\Li_{\bm k}(x):=\sum_{0<n_1<\cdots<n_r} \frac{x^{n_r}}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}
$$
をインデックス$\bm k$の多重ポリログという。
&&&

###インデックスの変形と性質
####矢印記法
$\bm k=(k_1,\cdots,k_r)$(許容インデックスとは限らない)に対して、
\begin{align}
\bm k_\uparrow&:=(k_1,\cdots,k_{r-1},k_r+1) \\
\bm k_\to&:=(k_1,\cdots,k_r,1) \\
\n_\to&:=(1) \\
\bm k_{\uparrow^n}&:=(\bm k_{\uparrow^{n-1}})_\uparrow \\
\bm k_{\to^n}&:=(\bm k_{\to^{n-1}})_\to
\end{align}
と定める。

####双対インデックス
任意の許容インデックス${\bm k}$は正整数$s,a_1,\cdots,a_s,b_1,\cdots,b_s$を用いた一意な表示
$${\bm k}=\n_{\to^{a_1}\uparrow^{b_1}\cdots\to^{a_s}\uparrow^{b_s}}$$
を持つ。このときの
$${\bm k}^{\dagger}=\n_{\to^{b_s}\uparrow^{a_s}\cdots\to^{b_1}\uparrow^{a_1}}$$
を${\bm k}$の**双対インデックス**という。
このとき、明らかに$|{\bm k}|=|{\bm k}^\dagger|$が成り立つ。

####縮約インデックス
インデックス${\bm k}=(k_1,\cdots,k_r),{\bm l}=(l_1,\cdots,l_s)(r,s\geq1)$に対し、$r+1$個の整数$(i_0,\cdots,i_r)$であって、条件
\begin{array}{cl}
({\rm i}) &  \ \ 0=i_0<i_1<\cdots<i_r\\
({\rm ii}) & \  \ i_0=0,i_r=s\\
({\rm iii}) & \ \ds {}^{\forall}j\in\{1,\cdots,r\},k_j=\sum_{n=1+i_{j-1}}^{i_j}l_n\\
\end{array}
を満たすものがあるとき、$\bm k$を$\bm l$の**縮約インデックス**であるといい、$\bm k\preceq\bm l$と書く。
要するに縮約インデックスとは隣り合う要素をいくつか足し合わせたものである。
例えば、$(3)\preceq(1,2)\preceq(1,1,1)$というふうに書く。

####指数
$\bm k=(k_1,\cdots,k_r),\bm l=(l_1,\cdots,l_r)$について、
$$\bm k^{\bm l}=\prod_{i=1}^rk_i^{l_i}$$
と定義する。以降、$\ds\sum$のダミー変数を並べたインデックスを$\bm n$などと略記することにする。

#### インデックスの結合
$\bm k=(k_1,\cdots,k_r)$と$\bm l=(l_1,\cdots,l_s)$について$(\bm k,\bm l)=(k_1,\cdots,k_r,l_1,\cdots,l_s)$とする。

#### インデックスの和
インデックスを引数に取る関数$f:\mathcal{I}\to\mathbb{R}$に対して、$f(\bm k+\bm l)=f(\bm k)+f(\bm l)$と定義する。

## 主予想

&&&conj D.Zagier
整数$k\geq2$について$|\bm k|=k$を満たすインデックス$\bm k$のMZV$\zeta(\bm k)$全体が$\mathbb{Q}$上張る空間を$\cal{Z}_k$とおくと、$\ds\dim_\mathbb{Q}\cal{Z}_k=d_k$であろう。ただし$\{d_k\}_{k=0}^\infty$は$\ds\sum_{k=0}^\infty d_kt^k=\frac{1}{1-t^2-t^3}$を満たす数列とする。
&&&

Terasoma、Goncharovにより不等式$\dim_\mathbb{Q}\cal{Z}_k\leq d_k$が成り立つことが証明された。しかし、$\dim_\mathbb{Q}\cal{Z}_k$を下から押さえる不等式は今のところ発見されていない。

導入

ここでは、多重ゼータ値の積分表示を導出する。ただ、積分表示といっても単積分ではなく反復積分なので扱いには注意が必要である。
## 記法

&&&def 
$$\int_0^1f_1(t)dt\circ\cdots\circ f_i(t)dt=\int_0^1f_1(t)dt_1\circ\cdots\circ f_{i-1}(t)dt\int_0^{t}f_i(u)du$$
&&&

微分形式を語に対応させて$\circ$を二項演算とする$\mathbb{Q}$係数非可換多項式環が作れるので、それを$\R$とおけば、関数$\ds f:\R\ni x\mapsto\int_0^1x\in\mathbb{R}$は線形性を持つ。この節では一貫して$\ds a=\frac{dt}{t},b=\frac{dt}{1-t}$として$\R=\mathbb{Q}\langle a,b\rangle$とする(以降、$\circ$は省略する)。

## 積分表示の導出

まずは、よく知られたMaclaurin展開
$$-\ln(1-x)=\sum_{0<n}\frac{x^n}{n}$$
から出発する。これは$x\to1$では収束しない(形式的には$\zeta(1)$である)。しかし、両辺を$x$で割ってから$(0,t)$($t$は$0<t<1$なる実数))で積分すると
\begin{align}
\int_0^t\frac1x\sum_{0<n}\frac{x^n}{n}dx&=\sum_{0<n}\frac1n\int_0^1x^{n-1}dx \\
                                        &=\sum_{0<n}\frac{t^n}{n^2} \\
                                        &=\Li_2(t)
\end{align}
となる。ここから、どうやらポリログは$x$で割って$(0,x)$で積分すると級数表示の分母の次数が$1$増えるだろうということが推測できる。たしかに、この推測は正しく、次のことが成り立つ。

&&&thm 
インデックス$\bm k$と$0<x<1$なる実数$x$について、$\ds\int_0^x\Li_{\bm k}(t)\frac{dt}{t}=\Li_{\bm k_\uparrow}(x)$が成り立つ。
&&&

&&&prf 
\begin{align}
\int_0^x\Li_{\bm k}(t)\frac{dt}{t}&=\int_0^x\sum_{0<n_1<\cdots<n_r}\frac{t^{n_r-1}}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}dt \\
&=\sum_{0<n_1<\cdots<n_r}\frac{1}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}\int_0^xt^{n_r-1}dt \\
&=\sum_{0<n_1<\cdots<n_r}\frac{x^{n_r}}{n_1^{k_1}\cdots n_{r-1}^{k_{r-1}}n_r^{k_r+1}} \\
&=\Li_{\bm k_\uparrow}(x)
\end{align}
&&&

&&&thm 
インデックス$\bm k$と$0<x<1$なる実数$x$について、$\ds\int_0^x\Li_{\bm k}(t)\frac{dt}{1-t}=\Li_{\bm k_\to}(x)$が成り立つ。
&&&

&&&prf 
\begin{align}
\int_0^x\Li_{\bm k}(t)\frac{dt}{1-t}&=\int_0^x\sum_{0<n_1<\cdots<n_r}\frac{t^{n_r}}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}\sum_{0<m}t^{m-1}dt \\
&=\sum_{0<n_1<\cdots<n_r<(n_r+m)}\frac{1}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}\int_0^xt^{n_r+m-1}dt \\
&=\sum_{0<n_1<\cdots<n_{r+1}}\frac{x^{n_{r+1}}}{n_1^{k_1}\cdots n_{r}^{k_{r}}n_{r+1}} \\
&=\Li_{\bm k_\to}(x)
\end{align}
&&&

以上の結果と$\ds\sum_{0<n}\frac{x^n}{n}=\int_0^x\frac{dt}{1-t}$から$$\zeta(k_1,\cdots,k_r)=\int_0^1a^{k_r-1}b\cdots a^{k_1-1}b$$
を得る。

&&&ex 
$$\zeta(2)=\int_0^1ab=\int_0^1\frac{dx}{x}\int_0^x\frac{dt}{1-t}=-\int_0^1\frac{\ln(1-x)}{x}dx=\int_0^\infty\frac{t}{e^t-1}dt$$
&&&







積分表示

## 双対関係式
&&&thm 双対関係式
任意の許容インデックス$\bm k$に対して、$\zeta(\bm k)=\zeta(\bm k^\dagger)$が成り立つ。
&&&

&&&prf 積分表示を用いる
多重ゼータ値の反復積分表示
\begin{align}
\zeta(k_1,\cdots,k_r)&=\int_0^1a^{k_r-1}b\cdots a^{k_1-1}b \\
&=\int_{0<t_1<\cdots<t_{|\bm k|}<1}\frac{dt_1}{1-t_1}\frac{dt_2}{t_2}\cdots\frac{dt_{k_r}}{t_{k_r}}\cdots\frac{dt_{k_1+\cdots k_{r-1}+1}}{1-t_{k_1+\cdots k_{r-1}+1}}\cdots\frac{dt_{|\bm k|}}{t_{|\bm k|}}
\end{align}
において、各々の$t_i$について置換$t_i\to t_{|\bm k|+1-i}$を施せば、
\begin{align}
\zeta(\bm k)&=\int_0^1a^{k_r-1}b\cdots a^{k_1-1}b \\
&=\int_0^1ab^{k_1-1}\cdots ab^{k_r-1} \\
&=\zeta(\bm k^\dagger)
\end{align}
を得る。
&&&
これの級数変形による証明を以下の連結和を用いて与える。

&&&def 連結和
$\bm k=(k_1,\cdots,k_r),\bm l=(l_1,\cdots,l_s)$に対して
$$Z(\bm k;\bm l)=\sum_{\begin{array}{c}0=n_0<n_1<\cdots<n_r\\ 0=m_0<m_1<\cdots<m_s\end{array}}\frac{n_r!m_s!}{(n_r+m_s)!}\frac{1}{\bm n^{\bm k}\bm m^{\bm l}}$$
と定義する。
&&&

&&&thm 
$Z(\bm k_\to;\bm l)=Z(\bm k;\bm l_\uparrow),Z(\bm k;\bm l_\to)=Z(\bm k_\uparrow;\bm l)$
&&&

&&&prf 
連結和の対称性より$Z(\bm k;\bm l)=Z(\bm l;\bm k)$なので、片方のみ示せばよい。
ここで、望遠鏡和により
\begin{align}
\sum_{n_r<n_{r+1}}\frac{1}{n_{r+1}}\frac{n_{r+1}!m_s!}{(n_{r+1}+m_s)!}&=\sum_{n_r<n_{r+1}}\frac{1}{m_s}\left(\frac{m_s!(n_{r+1}-1)!}{(m_s+n_{r+1}-1)!}-\frac{n_{r+1}!m_s!}{(n_{r+1}+m_s)!}\right) \\
&=\frac{1}{m_s}\frac{n_r!m_s!}{(n_r+m_s)!}
\end{align}
となって$\ds\sum_{n_r<n_{r+1}}\frac{1}{n_{r+1}}\frac{n_{r+1}!m_s!}{(n_{r+1}+m_s)!}=\frac{1}{m_s}\frac{n_r!m_s!}{(n_r+m_s)!}$と分かる。よって$Z(\bm k_\to;\bm l)=Z(\bm k;\bm l_\uparrow)$である。
&&&

&&&thm 双対関係式(再放送)
任意の許容インデックス$\bm k$に対して、$\zeta(\bm k)=\zeta(\bm k^\dagger)$が成り立つ。
&&&

&&&prf 
連結和の輸送関係式より、
\begin{align}
\zeta(\bm k)&=Z(\bm k;\n) \\
            &=Z(\n_{\to^{a_1}\uparrow^{b_1}\cdots\to^{a_s}\uparrow^{b_s}};\n) \\
            &=Z(\n;\n_{\to^{b_s}\uparrow^{a_s}\cdots\to^{b_1}\uparrow^{a_1}}) \\
            &=Z(\n;\bm k^\dagger) \\
            &=\zeta(\bm k^\dagger)
\end{align}
である。
&&&
## 調和積/シャッフル積

&&&def 
インデックス$\bm k=(k_1,\cdots,k_r)$と$\bm l=(l_1,\cdots,l_s)$に対してその**調和積**$\bm k*\bm l$を
$$
\left\{
	\begin{array}{ll}
        \begin{align}
        \bm k*\bm l=&((k_1,\cdots,k_{r-1})*(l_1,\cdots,l_s),k_r) \\
                    &+((k_1,\cdots,k_r)*(l_1,\cdots,l_{s-1}),l_s) \\
                    &+((k_1,\cdots,k_{r-1})*(l_1,\cdots,l_{s-1}),k_r+l_s)
        \end{align} & (\dep(\bm k),\dep(\bm l)\geq1) \\
		\n*\bm k=\bm k*\n=\bm k 
	\end{array}
\right.
$$
と定義する。
&&&

&&&ex 
\begin{align}
(1,2)*(2)&=((1)*(2),2)+((1,2)*\n,2)+((1)*\n,4) \\
         &=(\n*(2),1,2)+((1)*\n,2,2)+(\n*\n,3,2)+(1,2,2)+(1,4) \\
         &=2(1,2,2)+(2,1,2)+(1,4)+(3,2)
\end{align}
&&&

&&&thm 
$\zeta(\bm k*\bm l)=\zeta(\bm k)\zeta(\bm l)$
&&&

&&&prf 
\begin{align}
\zeta(\bm k*\bm l)=&\zeta((k_1,\cdots,k_{r-1})*(l_1,\cdots,l_s),k_r)+\zeta((k_1,\cdots,k_r)*(l_1,\cdots,l_{s-1}),l_s) \\
&+\zeta((k_1,\cdots,k_{r-1})*(l_1,\cdots,l_{s-1}),k_r+l_s) \\
=&\sum_{\begin{array}{c}0<n_1<\cdots<n_r \\ 0<m_1<\cdots<m_s \\ m_s<n_r\end{array}}\frac{1}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}\frac{1}{m_1^{l_1}\cdots m_s^{l_s}} \\
&+\sum_{\begin{array}{c}0<n_1<\cdots<n_r \\ 0<m_1<\cdots<m_s \\ n_r<m_s\end{array}}\frac{1}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}\frac{1}{m_1^{l_1}\cdots m_s^{l_s}} \\
&+\sum_{\begin{array}{c}0<n_1<\cdots<n_r \\ 0<m_1<\cdots<m_s \\ n_r=m_s\end{array}}\frac{1}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}\frac{1}{m_1^{l_1}\cdots m_s^{l_s}} \\
=&\sum_{\begin{array}{c}0<n_1<\cdots<n_r \\ 0<m_1<\cdots<m_s\end{array}}\frac{1}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}\frac{1}{m_1^{l_1}\cdots m_s^{l_s}} \\
=&\zeta(\bm k)\zeta(\bm l)
\end{align}
&&&

&&&ex 
$(1,2)*(2)=2(1,2,2)+(2,1,2)+(1,4)+(3,2)$より
$\zeta(1,2)\zeta(2)=2\zeta(1,2,2)+\zeta(2,1,2)+\zeta(1,4)+\zeta(3,2)$
&&&

次に定義するシャッフル積には多重ゼータ値の積分表示を使うので、$a=\dfrac{dt}{t},b=\dfrac{dt}{1-t}$として、$\mathcal{R}=\mathbb{Q}\langle a,b\rangle$とする。

&&&def シャッフル積
$w,w'\in\mathcal{R},v,v'\in\{a,b\}$としたとき
$$
\left\{
\begin{array}{l}
vw\sh v'w'=v(w\sh v'w')+v'(vw\sh w') \\
1\sh w=w\sh1=w
\end{array}
\right.
$$
を満たす$\mathbb{Q}$双線形な写像$\sh:\mathcal{R}\times\mathcal{R}\to\mathcal{R}$を**シャッフル積**と呼ぶ。
&&&

&&&thm 
$w,w'\in\mathcal{R}$なら
$$\int_0^1w\cdot\int_0^1w'=\int_0^1w\sh w'$$
&&&

&&&prf 
$w=u_1\cdots u_r,w'=u_1'\cdots u_s'$で、$u_1,\cdots,u_r,u_1',\cdots,u_s'\in\{a,b\}$とする。また、便宜上$u_i=f_i(t)dt,u_i'=f_i'(t)dt$とする。
\begin{align}
\ \int_0^1w\sh w'=&\int_{0<x_1<\cdots<x_r<1,0<t_1<\cdots<t_s<1,t_s<x_r}\prod_{i=1}^rf_i(x_i)dx_i\prod_{j=1}^sf_j'(t_j)dt_j \\
&+\int_{0<x_1<\cdots<x_r<1,0<t_1<\cdots<t_s<1,x_r<t_s}\prod_{i=1}^rf_i(x_i)dx_i\prod_{j=1}^sf_j'(t_j)dt_j \\
=&\int_{0<x_1<\cdots<x_r<1,0<t_1<\cdots<t_s<1}\prod_{i=1}^rf_i(x_i)dx_i\prod_{j=1}^sf_j'(t_j)dt_j \\
=&\int_0^1w\cdot\int_0^1w'
\end{align}
&&&

&&&ex 
\begin{align}
\zeta(1,2)\zeta(2)&=\left(\int_0^1ab^2\right)\cdot\left(\int_0^1ab\right) \\
&=\int_0^1ab^2\sh ab \\
&=\int_0^1a(b^2\sh ab)+a(ab^2\sh b) \\
&=\int_0^1ab(b\sh ab)+a^2(b^2\sh b)+a^2(b^2\sh b)+ab(ab^2\sh\n) \\
&=\int_0^1ab^2(\n\sh ab)+aba(b\sh b)+2a^2b(b\sh b)+2a^2b(b^2\sh\n)+abab^2 \\
&=\int_0^1ab^2ab+2abab^2+4a^2b^3+2a^2b^3+abab^2 \\
&=\zeta(2,1,2)+3\zeta(1,2,2)+6\zeta(1,1,3)
\end{align}
&&&




















MZVの関係式[1]


## インデックスのシャッフル積
インデックス$\bm k=(k_1,\cdots,k_r)$について$w_{\bm k}=a^{k_r-1}b\cdots a^{k_1-1}b\in\R$、$w_{\bm k+\bm l}=w_{\bm k}+w_{\bm l}$と定めると、MZVの積分表示とシャッフル積関係式より$\ds\int_0^1w_{\bm k}\sh w_{\bm l}=\int_0^1w_{\bm k}\int_0^1w_{\bm l}=\zeta(\bm k)\zeta(\bm l)$が成り立つ。
しかし、この関係式は積分表示という多重ゼータ値の**外**の対象を用いて定義されている。この節では、インデックス同士のシャッフル積を定義し、積分表示を経由せずに計算できるようにする。

シャッフル積の定義から、
\begin{align}
\quad aw_{\bm k}\sh aw_{\bm l}&=a(w_{\bm k}\sh aw_{\bm l})+a(aw_{\bm k}\sh w_{\bm l})=a(w_{\bm k}\sh w_{\bm l_\uparrow})+a(w_{\bm k_\uparrow}\sh w_{\bm l}) \\
\quad aw_{\bm k}\sh bw_{\bm l}&=a(w_{\bm k}\sh bw_{\bm l})+b(aw_{\bm k}\sh w_{\bm l})=a(w_{\bm k}\sh w_{\bm l_\to})+b(w_{\bm k_\uparrow}\sh w_{\bm l}) \\
\quad bw_{\bm k}\sh aw_{\bm l}&=b(w_{\bm k}\sh aw_{\bm l})+a(bw_{\bm k}\sh w_{\bm l})=b(w_{\bm k}\sh w_{\bm l_\uparrow})+a(w_{\bm k_\to}\sh w_{\bm l}) \\
\quad bw_{\bm k}\sh bw_{\bm l}&=b(w_{\bm k}\sh bw_{\bm l})+b(bw_{\bm k}\sh w_{\bm l})=b(w_{\bm k}\sh w_{\bm l_\to})+b(w_{\bm k_\to}\sh w_{\bm l})
\end{align}
となる。とりあえず、$w_{\bm k}\sh w_{\bm l}=w_{\bm k\sh \bm l}$となるようなインデックスの線形結合$\bm k\sh\bm l$があるとして、上の式から$\bm k\sh\bm l$を再帰的に定義する。

&&&def インデックスのシャッフル積
インデックスのシャッフル積を
\begin{align}
\bm k\sh\n&=\n\sh\bm k=\bm k \\
\bm k_\uparrow\sh\bm l_\uparrow&=(\bm k\sh\bm l_\uparrow+\bm k_\uparrow\sh\bm l)_\uparrow \\
\bm k_\uparrow\sh\bm l_\to&=(\bm k\sh\bm l_\to)_\uparrow+(\bm k_\uparrow\sh\bm l)_\to \\
\bm k_\to\sh\bm l_\uparrow&=(\bm k\sh\bm l_\uparrow)_\to+(\bm k_\to\sh\bm l)_\uparrow \\
\bm k_\to\sh\bm l_\to&=(\bm k\sh\bm l_\to+\bm k_\to\sh\bm l)_\to
\end{align}
と定義する。矢印記法はインデックスに線形に作用するものとする。
&&&

\begin{align}
\quad(2)\sh(1,2)&=((1)\sh(1,2)+(2)\sh(1,1))_\uparrow \\
&=(\n\sh(1,2))_{\to\uparrow}+((1)\sh(1,1))_{\uparrow^2}+((1)\sh(1,1))_{\uparrow^2}+((2)\sh(1))_{\to\uparrow} \\
&=(1,2,2)+(\n\sh(1,1))_{\to\uparrow^2}+2((1)\sh(1))_{\to\uparrow^2}+((1)\sh(1))_{\uparrow\to\uparrow}\ +((2)\sh\n)_{\to^2\uparrow} \\
&=(1,2,2)+(1,1,3)+2(\n\sh(1))_{\to^2\uparrow^2}+2((1)\sh\n)_{\to^2\uparrow^2}+(\n\sh(1))_{\to\uparrow\to\uparrow}\quad +((1)\sh\n)_{\to\uparrow\to\uparrow}\quad +(2,1,2) \\
&=(2,1,2)+3(1,2,2)+5(1,1,3)
\end{align}
よって$\zeta(2)\zeta(1,2)=\zeta(2,1,2)+3\zeta(1,2,2)+5\zeta(1,1,3)$を得る。
これは前ページの例３と全く同じ結果である。

インデックスの調和積とシャッフル積を組み合わせて得られるMZVの関係式族のことを**有限複シャッフル関係式**という。
調和積とシャッフル積より
$(2)*(1,2)=(1,4)+(3,2)+(2,1,2)+2(1,2,2)$
$(2)\sh(1,2)=(2,1,2)+3(1,2,2)+5(1,1,3)$
が分かるので
$\zeta(1,4)+\zeta(3,2)+\zeta(2,1,2)+2\zeta(1,2,2)=\zeta(2,1,2)+3\zeta(1,2,2)+5\zeta(1,1,3)$
すなわち
$\zeta(1,4)+\zeta(3,2)=\zeta(1,2,2)+5\zeta(1,1,3)$
ここで、$(1,1,3)^\dagger=(1,4),(1,2,2)^\dagger=(2,3)$なので
$\zeta(3,2)=\zeta(2,3)+4\zeta(1,4)$
を得る。



MZVの関係式[2]

## 大野関係式
双対関係式の証明で使用した連結和に変数を導入したものを新たに定義する。

&&&def 
インデックス$\bm k=(k_1,\cdots,k_r),\bm l=(l_1,\cdots,l_s)$について、
$$Z(\bm k;\bm l;x)=\sum_{\begin{array}{c}0=n_0<n_1<\cdots<n_r\\ 0=m_0<m_1<\cdots<m_s\end{array}}\prod_{i=1}^r\frac{1}{n_i^{k_i-1}(n_i-x)}\prod_{j=1}^s\frac{1}{m_j^{l_j-1}(m_j-x)}\frac{(1-x)_{n_r}(1-x)_{m_s}}{(1-x)_{n_r+m_s}}$$
と定める。
ここで、$(1-x)_{n_r}$はPochhammer記号(上昇冪)である。
また、$O(\bm k;x):=Z(\bm k;\n;x)=Z(\n;\bm k;x)$と定める。
&&&

この連結和に関しても、同様の輸送関係式が成り立つ。

&&&thm 
$$Z(\bm k_\to;\bm l;x)=Z(\bm k;\bm l_\uparrow;x)$$
$$Z(\bm k_\uparrow;\bm l;x)=Z(\bm k;\bm l_\to;x)$$
&&&

&&&prf 
対称性より片方のみ示せばよい。
\begin{align}
Z(\bm k_\to;\bm l;x)=&\sum_{\begin{array}{c}0=n_0<n_1<\cdots<n_r<a\\ 0=m_0<m_1<\cdots<m_s\end{array}}\prod_{i=1}^r\frac{1}{n_i^{k_i-1}(n_i-x)}\prod_{j=1}^s\frac{1}{m_j^{l_j-1}(m_j-x)} \\
&\cdot\frac{1}{a-x}\frac{(1-x)_{a}(1-x)_{m_s}}{(1-x)_{a+m_s}}
\end{align}
ここで、
\begin{align}
\sum_{n_r<a}\frac{1}{a-x}\frac{(1-x)_{a}(1-x)_{m_s}}{(1-x)_{a+m_s}}&=\frac{1}{m_s}\sum_{n_r<a}\left(\frac{(1-x)_{a-1}(1-x)_{m_s}}{(1-x)_{a+m_s-1}}-\frac{(1-x)_{a}(1-x)_{m_s}}{(1-x)_{a+m_s}}\right) \\
&=\frac{1}{m_s}\frac{(1-x)_{n_r}(1-x)_{m_s}}{(1-x)_{n_r+m_s}}
\end{align}
なので$Z(\bm k_\to;\bm l;x)=Z(\bm k;\bm l_\uparrow;x)$を得る。
&&&

&&&thm
許容インデックス$\bm k=(k_1,\cdots,k_r)$と非負整数$n$について、その**大野和**$O_n(\bm k)$を
$$O_n(\bm k)=\sum_{\begin{array}{c}0\leq e_1,\cdots,e_r\\ e_1+\cdots+e_r=n\end{array}}\zeta(k_1+e_1,\cdots,k_r+e_r)$$
と定めると、$\ds O(\bm k;x)=\sum_{0\leq n}O_n(\bm k)x^n$が成り立つ。
&&&

&&&prf 
\begin{align}
O(\bm k;x)&=\sum_{0<n_1<\cdots<n_r}\prod_{i=0}^r\frac{1}{n_i^{k_i-1}(n_i-x)} \\
&=\sum_{0<n_1<\cdots<n_r}\frac{1}{\bm n^{\bm k}}\prod_{i=0}^r\frac{1}{(1-x/n_i)} \\
&=\sum_{0<n_1<\cdots<n_r}\frac{1}{\bm n^{\bm k}}\prod_{i=0}^r\sum_{0\leq e_i}\frac{x^{e_i}}{n_i^{e_i}} \\
&=\sum_{0\leq e_1,\cdots,e_r}x^{e_1+\cdots+e_r}\sum_{0<n_1<\cdots<n_r}\frac{1}{n_1^{k_1+e_1}\cdots n_r^{k_r+e_r}} \\
&=\sum_{0\leq e_1,\cdots,e_r}x^{e_1+\cdots+e_r}\zeta(k_1+e_1,\cdots,k_r+e_r) \\
&=\sum_{0\leq n}O_n(\bm k)x^n
\end{align}
&&&

&&&thm 大野関係式
$$O_n(\bm k)=O_n(\bm k^\dagger)$$
&&&

&&&prf 
連結和の輸送関係式より
\begin{align}
O(\bm k;x)&=Z(\bm k;\n;x) \\
&=Z(\n;\bm k^\dagger;x) \\
&=O(\bm k^\dagger;x)
\end{align}
となるので、冪級数の係数の一致から$O_n(\bm k)=O_n(\bm k^\dagger)$を得る。
&&&

上の等式において$\bm k=(\{1\}^{r-1},2),n=k-r-1(1<r<k)$とすれば、
\begin{align}
O_{k-r-1}(\{1\}^{r-1},2)&=\sum_{\begin{array}{c} 0\leq e_1,\cdots,e_r\\ e_1+\cdots+e_r=k-r-1\end{array}}\zeta(1+e_1,\cdots,1+e_{r-1},2+e_r) \\
&=\sum_{\begin{array}{c} 0<e_1,\cdots,e_{r-1},1<e_r\\ e_1+\cdots+e_r=k\end{array}}\zeta(e_1,\cdots,e_r) \\
&=\sum_{\begin{array}{c} \dep(\bm k)=r\\ |\bm k|=k\end{array}}\zeta(\bm k)
\end{align}
であり、また、
\begin{align}
O_{k-r-1}(\{1\}^{r-1},2)&=O_{k-r-1}((\{1\}^{r-1},2)^\dagger) \\
&=O_{k-r-1}(r+1) \\
&=\zeta(r+1+k-r-1) \\
&=\zeta(k)
\end{align}
となるから、$\ds\sum_{\begin{array}{c} \dep(\bm k)=r\\ |\bm k|=k\end{array}}\zeta(\bm k)=\zeta(k)$を得る。これはMZVの和公式といって、とても美しい式なので改めて定理として書いておく。

&&&thm 和公式
整数$r,k$が$1<r<k$を満たすなら、$\ds\sum_{\dep(\bm k)=r,|\bm k|=k}\zeta(\bm k)=\zeta(k)$が成り立つ。
&&&

調和積から$\zeta(2)^2=\zeta(4)+2\zeta(2,2)$、シャッフル積から$\zeta(2)^2=4\zeta(1,3)+2\zeta(2,2)$が分かるので、$\zeta(1,3)=\dfrac14\zeta(4)$が導かれる。和公式より$\zeta(1,3)+\zeta(2,2)=\zeta(4)$なので$\zeta(2,2)=\dfrac34\zeta(4)$も分かり、これを調和積から出てきた式に代入すると$\zeta(2)^2=\dfrac52\zeta(4)$という関係式が具体値を経由せずに証明できる。よく知られた特殊値$\zeta(2)=\dfrac{\pi^2}{6}$と$\zeta(4)=\dfrac{\pi^4}{90}$を用いればすぐわかるが、こういった具体値を経由せずに関係式が求まるのは、多重ゼータ値の強みであるといえる。

MZVの関係式[3]

&&&def 多重L値,MLV
全て絶対値が$1$以下の複素数$z_1,\cdots,z_r$と正の整数$k_1,\cdots,k_r$について
$$L\left(\mi{z_1}{k_1},\cdots,\mi{z_r}{k_r}\right)=L\left(\mi{\bm z}{\bm k}\right):=\sum_{0<n_1<\cdots<n_r}\frac{\bm z^{\bm n}}{\bm n^{\bm k}}$$
と定義する。
&&&

$x$を$0<x<1$を満たす実数とすると、
\begin{align}
L\left(\mi{z_1}{k_1},\cdots,\mi{z_{r-1}}{k_{r-1}},\mi{z_rx}{k_r+1}\right)
&=\sum_{0<n_1<\cdots<n_r}\frac{\bm z^{\bm n}}{\bm n^{\bm k_\uparrow}}x^{n_r} \\
&=\sum_{0<n_1<\cdots<n_r}\frac{\bm z^{\bm n}}{\bm n^{\bm k}}\frac{x^{n_r}}{n_r} \\
&=\sum_{0<n_1<\cdots<n_r}\frac{\bm z^{\bm n}}{\bm n^{\bm k}}\int_0^xt^{n_r-1}dt \\
&=\int_0^x\sum_{0<n_1<\cdots<n_r}\frac{\bm z^{\bm n}}{\bm n^{\bm k}}t^{n_r-1}dt \\
&=\int_0^xL\left(\mi{z_1}{k_1},\cdots,\mi{z_{r-1}}{k_{r-1}},\mi{z_rt}{k_r}\right)\frac{dt}{t}
\end{align}

\begin{align}
L\left(\mi{z_1}{k_1},\cdots,\mi{z_r}{k_r},\mi{z_{r+1}}{1}\right)
&=\sum_{0<n_1<\cdots<n_r<n_{r+1}}\frac{\bm z^{\bm n}z_{r+1}^{n_{r+1}}}{\bm n^{\bm k}}\frac{x^{n_{r+1}}}{n_{r+1}} \\
&=\sum_{0<n_1<\cdots<n_r<n_{r+1}}\frac{\bm z^{\bm n}}{\bm n^{\bm k}}z_{r+1}^{n_{r+1}}\int_0^xt^{n_{r+1}-1}dt \\
&=\int_0^x\sum_{0<n_1<\cdots<n_r<n_{r+1}}\frac{\bm z^{\bm n}}{\bm n^{\bm k}}z_{r+1}^{n_{r+1}}t^{n_{r+1}-1}dt \\
&=\int_0^x\sum_{0<n_1<\cdots<n_r}\sum_{0<m}\frac{\bm z^{\bm n}}{\bm n^{\bm k}}z_{r+1}^{n_r+m}t^{n_r+m-1}dt \\
&=\int_0^xL\left(\mi{z_1}{k_1},\cdots,\mi{z_{r-1}}{k_{r-1}},\mi{z_rz_{r+1}t}{k_r}\right)z_{r+1}\sum_{0<m}(z_{r+1}t)^{m-1}dt \\
&=\int_0^xL\left(\mi{z_1}{k_1},\cdots,\mi{z_{r-1}}{k_{r-1}},\mi{z_rz_{r+1}t}{k_r}\right)\frac{dt}{z_{r+1}^{-1}-t}
\end{align}

が成り立つので、多重L値の積分表示を得ることができる。

&&&thm 
$$L\left(\mi{z_1}{k_1},\cdots,\mi{z_r}{k_r}\right)=\int_0^1\left(\frac{dt}{t}\right)^{k_r-1}\circ\frac{dt}{z_r^{-1}-t}\circ\cdots\circ\left(\frac{dt}{t}\right)^{k_1-1}\circ\frac{dt}{(z_r\cdots z_1)^{-1}-t}$$
&&&

&&&prf 
上の式を繰り返し用いれば示すことができるので、省略する。
&&&

多重L値の分子側の変数($z_1,\cdots,z_r$)がすべて絶対値$1$であり、$\ds\zeta_N=\exp\left(\frac{2\pi i}{N}\right)$の整数乗になっているものを特にlevel$N$の多重L値と呼ぶ。特に$N=2$の場合は**交代多重ゼータ値**(AMZV)と呼ぶ。AMZVの文脈では$\ds\mi{1}{k}$と$\ds\mi{-1}{k}$をそれぞれ$k$、$\ol{k}$と略記し、$L$の代わりに$\zeta$を用いる。

level$N$の多重L値の積分表示は$\ds\frac{dt}{t},\frac{dt}{\zeta_N^{-n}-t}$という形をした微分形式のみでかけるから、$\ds a=\frac{dt}{t},b_n=\frac{dt}{\zeta_N^{-n}-t}(n=0,\cdots,N-1)$の計$N+1$個の変数の非可換多項式環$\R_N=\mathbb{Q}\langle a,b_0,\cdots,b_{N-1}\rangle$を導入すると、多重L値は$\R_N$の元の反復積分で表現される。

以降、level$N$のMLVの$\mathbb{Q}$-線形結合全体の集合を$\MLV^N$、level$N$でweightが$r$のMLVの$\mathbb{Q}$-線形結合全体の集合を$\MLV_r^N$。とおく。





多重L値[1]

## 調和積関係式

&&&def 
$\ds\left(\mi{t_1}{k_1},\cdots,\mi{t_r}{k_r}\right)$と$\ds\left(\mi{u_1}{l_1},\cdots,\mi{u_s}{l_s}\right)$について、その調和積を
\begin{align}
\left(\mi{t_1}{k_1},\cdots,\mi{t_r}{k_r}\right)*\left(\mi{u_1}{l_1},\cdots,\mi{u_s}{l_s}\right):=&\left(\left(\mi{t_1}{k_1},\cdots,\mi{t_{r-1}}{k_{r-1}}\right)*\left(\mi{u_1}{l_1},\cdots,\mi{u_s}{l_s}\right),\mi{t_r}{k_r}\right) \\
&+\left(\left(\mi{t_1}{k_1},\cdots,\mi{t_r}{k_r}\right)*\left(\mi{u_1}{l_1},\cdots,\mi{u_{s-1}}{l_{s-1}}\right),\mi{u_s}{l_s}\right) \\
&+\left(\left(\mi{t_1}{k_1},\cdots,\mi{t_{r-1}}{k_{r-1}}\right)*\left(\mi{u_1}{l_1},\cdots,\mi{u_{s-1}}{l_{s-1}}\right),\mi{t_ru_s}{k_r+l_s}\right)
\end{align}
で定義する。
&&&

&&&thm 
$$L\left(\left(\mi{t_1}{k_1},\cdots,\mi{t_r}{k_r}\right)*\left(\mi{u_1}{l_1},\cdots,\mi{u_s}{l_s}\right)\right)=L\left(\mi{t_1}{k_1},\cdots,\mi{t_r}{k_r}\right)L\left(\mi{u_1}{l_1},\cdots,\mi{u_s}{l_s}\right)$$が成り立つ。
&&&

&&&prf
\begin{align}
L\left(\mi{\bm t}{\bm k}\right)L\left(\mi{\bm u}{\bm l}\right)=&\sum_{0<n_1<\cdots<n_r}\frac{\bm t^{\bm n}}{\bm n^{\bm k}}\sum_{0<m_1<\cdots<m_s}\frac{\bm s^{\bm m}}{\bm m^{\bm l}} \\
=&\sum_{\mi{\mi{0<n_1<\cdots<n_r}{0<m_1<\cdots<m_s}}{n_r<m_s}}\frac{\bm t^{\bm n}\bm s^{\bm m}}{\bm n^{\bm k}\bm m^{\bm l}} \\
&+\sum_{\mi{\mi{0<n_1<\cdots<n_r}{0<m_1<\cdots<m_s}}{n_r>m_s}}\frac{\bm t^{\bm n}\bm s^{\bm m}}{\bm n^{\bm k}\bm m^{\bm l}} \\
&+\sum_{\mi{\mi{0<n_1<\cdots<n_r}{0<m_1<\cdots<m_s}}{n_r=m_s}}\frac{\bm t^{\bm n}\bm s^{\bm m}}{\bm n^{\bm k}\bm m^{\bm l}} \\
=&L\left(\left(\mi{\bm t}{\bm k}\right)*\left(\mi{\bm u}{\bm l}\right)\right) \\
\end{align}
&&&

&&&ex
$\ds(\ol2)*(\ol2)=\left(\mi{-1}{2}\right)*\left(\mi{-1}{2}\right)=2\left(\mi{-1}{2},\mi{-1}{2}\right)+\left(\mi{1}{4}\right)=2(\ol2,\ol2)+(4)$
だから、$\zeta(\ol2)=2\zeta(\ol2,\ol2)+\zeta(4)$を得る。$\ds\zeta(\ol2)^2=\dfrac{\pi^4}{144},\zeta(4)=\frac{\pi^4}{90}$なので$\zeta(\ol2,\ol2)=-\dfrac{\pi^4}{480}$が分かる。
&&&
## シャッフル積関係式

前ページで定義した${\cal R}_N$にも同様にシャッフル積を入れると、$u,v\in\R_N$について$\ds\int_0^1u\sh v=\int_0^1u\int_0^1v$が分かる。











多重L値[2]

このページではlevel2の多重L値、要するにAMZVについて解説する。
AMZVの中で最も基本的なのは$\ds L\left(\mi{-1}{1}\right)=\zeta(\ol1)$である。$-\ln(1-x)$のMaclaurin展開より
\begin{align}
\zeta(\ol1)&=\sum_{0<n}\frac{(-1)^n}{n} \\
           &=-\ln(1-(-1)) \\
           &=-\ln2
\end{align}
$k$が$2$以上の整数のときは、
\begin{align}
\zeta(\ol{k})&=\sum_{0<n}\frac{(-1)^n}{n^k} \\
             &=-\left(\sum_{0\leq n}\frac{1}{(2n+1)^k}-\sum_{0<n}\frac{1}{(2n)^k}\right) \\
             &=-\left(\sum_{0<n}\frac{1}{n^k}-2\sum_{0<n}\frac{1}{(2n)^k}\right) \\
             &=-\left(\zeta(k)-2\sum_{0<n}\frac{1}{(2n)^k}\right) \\
             &=\left(\frac{1}{2^{k-1}}-1\right)\zeta(k) \\
             (&=-\eta(k)\ )
\end{align}
となるから、例えば$\zeta(\ol2)=-\dfrac12\zeta(2)=-\dfrac{\pi^2}{12}$が成り立つ。
シャッフル積より$\zeta(\ol1)^2=2\zeta(1,\ol1)$が成り立つので$\zeta(1,\ol1)=\dfrac{\ln^22}{2}$を得る。
また、調和積から$\zeta(\ol1)^2=\zeta(2)+2\zeta(\ol1,\ol1)$が成り立つから$\zeta(\ol1,\ol1)=\dfrac{\ln^22}{2}-\dfrac{\pi^2}{12}$を得る。

### wetght2以下のAMZV
\begin{align}
\zeta(\ol1)&=-\ln2 \\
\zeta(2)&=\frac{\pi^2}{6} \\
\zeta(\ol2)&=-\frac{\pi^2}{12} \\
\zeta(1,\ol1)&=\frac{\ln^22}{2} \\
\zeta(\ol1,\ol1)&=\frac{\ln^22}{2}-\frac{\pi^2}{12}
\end{align}







level2の多重L値(AMZV)

&&&thm 
$p,q$は互いに素で$p<0,q>0,p+q\geq1$を満たすとする。$k_1,\cdots,k_r$が正の整数なら
$$\sum_{0<n_1<\cdots<n_r}\frac{(-1)^{n_r}}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}\binom{p/q}{n_r}\in\MLV_{k_1+\cdots+k_r}^q$$
である。
&&&

$p,q$を固定し、$\bm k=(k_1,\cdots,k_r)\in{\cal I}$と$0\leq x<1$なる実数$x$について
\begin{align}
\H(\bm k;x)&=\sum_{0<n_1\leq\cdots\leq n_r}\frac{(-1)^{n_r}}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}\binom{p/q}{n_r}x^{n_1} \\
\H(\bm k)&=\sum_{0<n_1\leq\cdots\leq n_r}\frac{(-1)^{n_r}}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}\binom{p/q}{n_r}
\end{align}
と定義する。
$\H(\bm k)\in\MLV_{|\bm k|}^q$を示せば十分である。

&&&lem 
$$\H(1)\in\MLV_1^q$$
&&&

&&&prf 
$\H(1;t)$は一般化二項定理より
\begin{align}
\H(1;t)&=\sum_{0<n}\frac{(-1)^n}{n}\binom{p/q}{n}t^n \\
       &=\sum_{0<n}(-1)^n\binom{p/q}{n}\int_0^tx^{n-1}dx \\
       &=\int_0^t\frac{dx}{x}\sum_{0<n}(-1)^n\binom{p/q}{n}x^n \\
       &=\int_0^t\frac{(1-x)^{p/q}-1}{x}dx
\end{align}
とかけるので、
$$\H(1)=\int_0^1\frac{(1-t)^{p/q}-1}{t}dt$$
を得る。ここで変数変換$t\mapsto1-u^q$をすることで、
積分範囲は$u:0\to1$となり、$\dfrac{(1-t)^{p/q}-1}{t}dt$は$\dfrac{q(u^{q-1}-u^{p+q-1})}{1-u^q}du$になる。
これらは部分分数分解により$\dfrac{dt}{\zeta_q-t},\cdots,\dfrac{dt}{\zeta_q^{q-1}-t}$という形をした微分形式の和で書けるから$\H(1)\in\MLV_1^q$が従う。
&&&

&&&lem
$\ds\H({}_\uparrow\bm k;x)=\int_0^x\frac{dt}{t}\H(\bm k;t)$
$\ds\H({}_\leftarrow\bm k;x)=\int_0^x\frac{dt}{1-t}(\H(\bm k)-\H(\bm k;t))$
&&&

&&&prf 
以下、$\ds C_r=(-1)^r\binom{p/q}{r}$
\begin{align}
\H({}_\uparrow\bm k;x)
&=\sum_{0<n_1\leq\cdots\leq n_r}\frac{C_{n_r}}{n_1^{k_1+1}\cdots n_r^{k_r}}x^{n_1} \\
&=\sum_{0<n_1\leq\cdots\leq n_r}\frac{C_{n_r}}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}\int_0^xt^{n_1-1}dt \\
&=\int_0^x\sum_{0<n_1\leq\cdots\leq n_r}\frac{C_{n_r}}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}\frac{t^{n_1}}{t}dt \\
&=\int_0^x\frac{dt}{t}\H(\bm k;t)
\end{align}
\begin{align}
\H({}_\leftarrow\bm k;x)
&=\sum_{0<m\leq n_1\leq\cdots\leq n_r}\frac{C_{n_r}}{mn_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}x^{m} \\
&=\sum_{0<m\leq n_1\leq\cdots\leq n_r}\frac{C_{n_r}}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}\int_0^xt^{m-1}dt \\
&=\int_0^x\sum_{0<n_1\leq\cdots\leq n_r}\frac{C_{n_r}}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}\frac{1-t^{n_1}}{1-t}dt \\
&=\int_0^x\frac{dt}{1-t}(\H(\bm k)-\H(\bm k;t)) \\
\end{align}
&&&
ここで、任意のインデックスはweight$1$,depth$1$のインデックス$(1)$から${}_\uparrow*$と${}_\leftarrow*$の繰り返しで作ることができる。$\bm k$の一番右の要素が$1$の時、$(\H(\bm k)-\H(\bm k;t))$は
\begin{align}
\H(\bm k)-\H(\bm k;t)
&=\sum_{0<n_1\leq\cdots\leq n_r}\frac{C_{n_r}}{n_1n_2^{k_2}\cdots n_r^{k_r}}(1-t^{n_1}) \\
&=\sum_{0<n_1\leq\cdots\leq n_r}\frac{C_{n_r}}{n_2^{k_2}\cdots n_r^{k_r}}\int_t^1u^{n_1-1}du \\
&=\int_t^1\sum_{0<n_1\leq\cdots\leq n_r}\frac{C_{n_r}}{n_2^{k_2}\cdots n_r^{k_r}}u^{n_1-1}du \\
&=\int_t^1\sum_{0<n_2\leq\cdots\leq n_r}\frac{C_{n_r}}{n_2^{k_2}\cdots n_r^{k_r}}\frac{1-u^{n_2}}{1-u}du \\
&=\int_t^1\frac{du}{1-u}\sum_{0<n_2\leq\cdots\leq n_r}\frac{C_{n_r}}{n_2^{k_2}\cdots n_r^{k_r}}(1-u^{n_2}) \\
&=\int_t^1\frac{du}{1-u}(\H({}_\rightarrow\bm k)-\H({}_\rightarrow\bm k;u))
\end{align}
また、$\bm k$の一番右の要素が$1$より大きい時、$(\H(\bm k)-\H(\bm k;t))$は
\begin{align}
\H(\bm k)-\H(\bm k;t)
&=\sum_{0<n_1\leq\cdots\leq n_r}\frac{C_{n_r}}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}(1-t^{n_1}) \\
&=\sum_{0<n_1\leq\cdots\leq n_r}\frac{C_{n_r}}{n_1^{k_1-1}n_2^{k_2}\cdots n_r^{k_r}}\int_t^1u^{n_1-1}du \\
&=\int_t^1\sum_{0<n_1\leq\cdots\leq n_r}\frac{C_{n_r}}{n_1^{k_1-1}n_2^{k_2}\cdots n_r^{k_r}}u^{n_1-1}du \\
&=\int_t^1\sum_{0<n_1\leq\cdots\leq n_r}\frac{C_{n_r}}{n_1^{k_1-1}n_2^{k_2}\cdots n_r^{k_r}}\frac{u^{n_1}}{u}du \\
&=\int_t^1\frac{du}{u}\sum_{0<n_1\leq\cdots\leq n_r\leq n}\frac{C_{n_r}}{n_1^{k_1-1}n_2^{k_2}\cdots n_r^{k_r}}u^{n_1} \\
&=\int_t^1\frac{du}{u}\H({}_\downarrow\bm k;u)
\end{align}
となるので上の操作を繰り返して$\H(1,k;x)$もしくは$\H(1,k)-\H(1,k;x)$($k$は正整数)を$\ds\int_0^t,\int_t^1,\frac{dt}{t},\frac{dt}{1-t}$を用いて反復積分した形に直すことができる。
\begin{align}
\H(1,k;t)
&=\sum_{0<m\leq n}\frac{C_{n}}{mn^k}t^m \\
&=\sum_{0<m\leq n}\frac{C_{n}}{n^k}\int_0^tu^{m-1}du \\
&=\int_0^t\sum_{0<m\leq n}\frac{C_{n}}{n^k}u^{m-1}du \\
&=\int_0^t\sum_{0<n}\frac{C_{n}}{n^k}\frac{1-u^n}{1-u}du \\
&=\int_0^t\frac{du}{1-u}\sum_{0<n}\frac{C_{n}}{n^k}(1-u^{n}) \\
&=\int_0^t\frac{du}{1-u}(\H(k)-\H(k;u)) \\
&=\int_0^t\frac{du}{1-u}\int_u^1\underbrace{\frac{dt}{t}\circ\cdots\circ\frac{dt}{t}}_{k-1}\circ\frac{(1-t)^{p/q}-1}{t}dt
\end{align}
\begin{align}
\H(1,k)-\H(1,k;u)
&=\sum_{0<m\leq n}\frac{C_{n}}{mn^k}(1-t^m) \\
&=\sum_{0<m\leq n}\frac{C_{n}}{n^k}\int_t^1u^{m-1}du \\
&=\int_t^1\sum_{0<m\leq n}\frac{C_{n}}{n^k}u^{m-1}du \\
&=\int_t^1\sum_{0<n}\frac{C_{n}}{n^k}\frac{1-u^n}{1-u}du \\
&=\int_t^1\frac{du}{1-u}\sum_{0<n}\frac{C_{n}}{n^k}(1-u^{n}) \\
&=\int_t^1\frac{du}{1-u}(\H(k)-\H(k;u)) \\
&=\int_t^1\frac{du}{1-u}\int_u^1\underbrace{\frac{dt}{t}\circ\cdots\circ\frac{dt}{t}}_{k-1}\circ\frac{(1-t)^{p/q}-1}{t}dt
\end{align}
となるので、$\H(\bm k)$は$\ds\int_0^t,\int_t^1,\frac{dt}{t},\frac{dt}{1-t},\frac{((1-t)^{p/q}-1)dt}{t}$を用いた反復積分で表せるから、上の補題でも用いた変数変換$t\mapsto1-u^q$により$\H(\bm k)$がlevel-$q$,weight-$|\bm k|$のMLVの$\mathbb{Q}$線形結合で表されることがわかる。

&&&cor 定理１
$k_1,\cdots,k_r$が正の整数なら
$$\sum_{0<n_1<\cdots<n_r}\frac{1}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}\frac{\binom{2n_r}{n_r}}{2^{2n_r}}\in\MLV^2$$
である。
&&&

&&&prf 
定理１において$p=-1,q=2$としたあと、$\ds\binom{-1/2}{n}=\frac{\binom{2n}{n}}{2^{2n}}$を用いればよい。
&&&










MLVの利用[1]

&&&thm 
$k_1,\cdots,k_r$が正の整数なら
$$\sum_{0<n_1<\cdots<n_r}\frac{1}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}\frac{2^{2n_r}}{\binom{2n_r}{n_r}}\in\MLV^2$$
&&&


MLVの利用[2]

&&&def 定義語句（任意）
対称化写像$\phi^*$と$\phi^\sh$を、以下のように定義する。
$$\phi^*(k_1,\cdots,k_r)=\sum_{i=0}^r(-1)^{k_{i+1}+\cdots+k_r}(k_1,\cdots,k_i)*(k_{i+1},\cdots,k_r)$$
$$\phi^\sh(k_1,\cdots,k_r)=\sum_{i=0}^r(-1)^{k_{i+1}+\cdots+k_r}(k_1,\cdots,k_i)\sh(k_{i+1},\cdots,k_r)$$
&&&



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