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MZVの関係式[1]

1311

双対関係式

任意の許容インデックス $k$ に対して、 $ζ (k) = ζ (k^{†})$ が成り立つ。

積分表示を用いる

多重ゼータ値の反復積分表示
$\begin{aligned} ζ (k_{1}, \dots, k_{r}) & = \int_{0}^{1} a^{k_{r} - 1} b \dots a^{k_{1} - 1} b \\ = \int_{0 < t_{1} < \dots < t_{| k |} < 1} \frac{d t_{1}}{1 - t_{1}} \frac{d t_{2}}{t_{2}} \dots \frac{d t_{k_{r}}}{t_{k_{r}}} \dots \frac{d t_{k_{1} + \dots k_{r - 1} + 1}}{1 - t_{k_{1} + \dots k_{r - 1} + 1}} \dots \frac{d t_{| k |}}{t_{| k |}} \end{aligned}$
において、各々の $t_{i}$ について置換 $t_{i} \to t_{| k | + 1 - i}$ を施せば、
$\begin{aligned} ζ (k) & = \int_{0}^{1} a^{k_{r} - 1} b \dots a^{k_{1} - 1} b \\ = \int_{0}^{1} a b^{k_{1} - 1} \dots a b^{k_{r} - 1} \\ = ζ (k^{†}) \end{aligned}$
を得る。

これの級数変形による証明を以下の連結和を用いて与える。

連結和

$k = (k_{1}, \dots, k_{r}), l = (l_{1}, \dots, l_{s})$ に対して
$Z (k; l) = \sum_{\begin{matrix} 0 = n_{0} < n_{1} < \dots < n_{r} \\ 0 = m_{0} < m_{1} < \dots < m_{s} \end{matrix}} \frac{n_{r}! m_{s}!}{(n_{r} + m_{s})!} \frac{1}{n^{k} m^{l}}$
と定義する。

$Z (k_{\to}; l) = Z (k; l_{↑}), Z (k; l_{\to}) = Z (k_{↑}; l)$

連結和の対称性より $Z (k; l) = Z (l; k)$ なので、片方のみ示せばよい。
ここで、望遠鏡和により
$\begin{aligned} \sum_{n_{r} < n_{r + 1}} \frac{1}{n_{r + 1}} \frac{n_{r + 1}! m_{s}!}{(n_{r + 1} + m_{s})!} & = \sum_{n_{r} < n_{r + 1}} \frac{1}{m_{s}} (\frac{m_{s}! (n_{r + 1} - 1)!}{(m_{s} + n_{r + 1} - 1)!} - \frac{n_{r + 1}! m_{s}!}{(n_{r + 1} + m_{s})!}) \\ = \frac{1}{m_{s}} \frac{n_{r}! m_{s}!}{(n_{r} + m_{s})!} \end{aligned}$
となって $\sum_{n_{r} < n_{r + 1}} \frac{1}{n_{r + 1}} \frac{n_{r + 1}! m_{s}!}{(n_{r + 1} + m_{s})!} = \frac{1}{m_{s}} \frac{n_{r}! m_{s}!}{(n_{r} + m_{s})!}$ と分かる。よって $Z (k_{\to}; l) = Z (k; l_{↑})$ である。

双対関係式(再放送)

任意の許容インデックス $k$ に対して、 $ζ (k) = ζ (k^{†})$ が成り立つ。

連結和の輸送関係式より、
$\begin{aligned} ζ (k) & = Z (k; \emptyset) \\ = Z (\emptyset_{\to^{a_{1}} ↑^{b_{1}} \dots \to^{a_{s}} ↑^{b_{s}}}; \emptyset) \\ = Z (\emptyset; \emptyset_{\to^{b_{s}} ↑^{a_{s}} \dots \to^{b_{1}} ↑^{a_{1}}}) \\ = Z (\emptyset; k^{†}) \\ = ζ (k^{†}) \end{aligned}$
である。

調和積/シャッフル積

インデックス $k = (k_{1}, \dots, k_{r})$ と $l = (l_{1}, \dots, l_{s})$ に対してその調和積 $k * l$ を
${\begin{cases} \begin{aligned} k * l = & ((k_{1}, \dots, k_{r - 1}) * (l_{1}, \dots, l_{s}), k_{r}) \\ + ((k_{1}, \dots, k_{r}) * (l_{1}, \dots, l_{s - 1}), l_{s}) \\ + ((k_{1}, \dots, k_{r - 1}) * (l_{1}, \dots, l_{s - 1}), k_{r} + l_{s}) \end{aligned} & (d e p (k), d e p (l) \geq 1) \\ \emptyset * k = k * \emptyset = k \end{cases}$
と定義する。

$\begin{aligned} (1, 2) * (2) & = ((1) * (2), 2) + ((1, 2) * \emptyset, 2) + ((1) * \emptyset, 4) \\ = (\emptyset * (2), 1, 2) + ((1) * \emptyset, 2, 2) + (\emptyset * \emptyset, 3, 2) + (1, 2, 2) + (1, 4) \\ = 2 (1, 2, 2) + (2, 1, 2) + (1, 4) + (3, 2) \end{aligned}$

$ζ (k * l) = ζ (k) ζ (l)$

$\begin{aligned} ζ (k * l) = & ζ ((k_{1}, \dots, k_{r - 1}) * (l_{1}, \dots, l_{s}), k_{r}) + ζ ((k_{1}, \dots, k_{r}) * (l_{1}, \dots, l_{s - 1}), l_{s}) \\ + ζ ((k_{1}, \dots, k_{r - 1}) * (l_{1}, \dots, l_{s - 1}), k_{r} + l_{s}) \\ = & \sum_{\begin{array}{c} 0 < n_{1} < \dots < n_{r} \\ 0 < m_{1} < \dots < m_{s} \\ m_{s} < n_{r} \end{array}} \frac{1}{n_{1}^{k_{1}} \dots n_{r}^{k_{r}}} \frac{1}{m_{1}^{l_{1}} \dots m_{s}^{l_{s}}} \\ + \sum_{\begin{array}{c} 0 < n_{1} < \dots < n_{r} \\ 0 < m_{1} < \dots < m_{s} \\ n_{r} < m_{s} \end{array}} \frac{1}{n_{1}^{k_{1}} \dots n_{r}^{k_{r}}} \frac{1}{m_{1}^{l_{1}} \dots m_{s}^{l_{s}}} \\ + \sum_{\begin{array}{c} 0 < n_{1} < \dots < n_{r} \\ 0 < m_{1} < \dots < m_{s} \\ n_{r} = m_{s} \end{array}} \frac{1}{n_{1}^{k_{1}} \dots n_{r}^{k_{r}}} \frac{1}{m_{1}^{l_{1}} \dots m_{s}^{l_{s}}} \\ = & \sum_{\begin{array}{c} 0 < n_{1} < \dots < n_{r} \\ 0 < m_{1} < \dots < m_{s} \end{array}} \frac{1}{n_{1}^{k_{1}} \dots n_{r}^{k_{r}}} \frac{1}{m_{1}^{l_{1}} \dots m_{s}^{l_{s}}} \\ = & ζ (k) ζ (l) \end{aligned}$

$(1, 2) * (2) = 2 (1, 2, 2) + (2, 1, 2) + (1, 4) + (3, 2)$ より
$ζ (1, 2) ζ (2) = 2 ζ (1, 2, 2) + ζ (2, 1, 2) + ζ (1, 4) + ζ (3, 2)$

次に定義するシャッフル積には多重ゼータ値の積分表示を使うので、 $a = \frac{d t}{t}, b = \frac{d t}{1 - t}$ として、 $R = Q ⟨ a, b ⟩$ とする。

シャッフル積

$w, w^{'} \in R, v, v^{'} \in {a, b}$ としたとき
${\begin{cases} v w ш v^{'} w^{'} = v (w ш v^{'} w^{'}) + v^{'} (v w ш w^{'}) \\ 1 ш w = w ш 1 = w \end{cases}$
を満たす $Q$ 双線形な写像 $ш : R \times R \to R$ をシャッフル積と呼ぶ。

$w, w^{'} \in R$ なら
$\int_{0}^{1} w \cdot \int_{0}^{1} w^{'} = \int_{0}^{1} w ш w^{'}$

$w = u_{1} \dots u_{r}, w^{'} = u_{1}^{'} \dots u_{s}^{'}$ で、 $u_{1}, \dots, u_{r}, u_{1}^{'}, \dots, u_{s}^{'} \in {a, b}$ とする。また、便宜上 $u_{i} = f_{i} (t) d t, u_{i}^{'} = f_{i}^{'} (t) d t$ とする。
$\begin{aligned} \int_{0}^{1} w ш w^{'} = & \int_{0 < x_{1} < \dots < x_{r} < 1, 0 < t_{1} < \dots < t_{s} < 1, t_{s} < x_{r}} \prod_{i = 1}^{r} f_{i} (x_{i}) d x_{i} \prod_{j = 1}^{s} f_{j}^{'} (t_{j}) d t_{j} \\ + \int_{0 < x_{1} < \dots < x_{r} < 1, 0 < t_{1} < \dots < t_{s} < 1, x_{r} < t_{s}} \prod_{i = 1}^{r} f_{i} (x_{i}) d x_{i} \prod_{j = 1}^{s} f_{j}^{'} (t_{j}) d t_{j} \\ = & \int_{0 < x_{1} < \dots < x_{r} < 1, 0 < t_{1} < \dots < t_{s} < 1} \prod_{i = 1}^{r} f_{i} (x_{i}) d x_{i} \prod_{j = 1}^{s} f_{j}^{'} (t_{j}) d t_{j} \\ = & \int_{0}^{1} w \cdot \int_{0}^{1} w^{'} \end{aligned}$

$\begin{aligned} ζ (1, 2) ζ (2) & = (\int_{0}^{1} a b^{2}) \cdot (\int_{0}^{1} a b) \\ = \int_{0}^{1} a b^{2} ш a b \\ = \int_{0}^{1} a (b^{2} ш a b) + a (a b^{2} ш b) \\ = \int_{0}^{1} a b (b ш a b) + a^{2} (b^{2} ш b) + a^{2} (b^{2} ш b) + a b (a b^{2} ш \emptyset) \\ = \int_{0}^{1} a b^{2} (\emptyset ш a b) + a b a (b ш b) + 2 a^{2} b (b ш b) + 2 a^{2} b (b^{2} ш \emptyset) + a b a b^{2} \\ = \int_{0}^{1} a b^{2} a b + 2 a b a b^{2} + 4 a^{2} b^{3} + 2 a^{2} b^{3} + a b a b^{2} \\ = ζ (2, 1, 2) + 3 ζ (1, 2, 2) + 6 ζ (1, 1, 3) \end{aligned}$