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MZVの関係式[1]

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双対関係式

任意の許容インデックス$\bm k$に対して、$\zeta(\bm k)=\zeta(\bm k^\dagger)$が成り立つ。

積分表示を用いる

多重ゼータ値の反復積分表示
\begin{align} \zeta(k_1,\cdots,k_r)&=\int_0^1a^{k_r-1}b\cdots a^{k_1-1}b \\ &=\int_{0< t_1<\cdots< t_{|\bm k|}<1}\frac{dt_1}{1-t_1}\frac{dt_2}{t_2}\cdots\frac{dt_{k_r}}{t_{k_r}}\cdots\frac{dt_{k_1+\cdots k_{r-1}+1}}{1-t_{k_1+\cdots k_{r-1}+1}}\cdots\frac{dt_{|\bm k|}}{t_{|\bm k|}} \end{align}
において、各々の$t_i$について置換$t_i\to t_{|\bm k|+1-i}$を施せば、
\begin{align} \zeta(\bm k)&=\int_0^1a^{k_r-1}b\cdots a^{k_1-1}b \\ &=\int_0^1ab^{k_1-1}\cdots ab^{k_r-1} \\ &=\zeta(\bm k^\dagger) \end{align}
を得る。

これの級数変形による証明を以下の連結和を用いて与える。

連結和

$\bm k=(k_1,\cdots,k_r),\bm l=(l_1,\cdots,l_s)$に対して
$$Z(\bm k;\bm l)=\sum_{\begin{array}{c}0=n_0< n_1<\cdots< n_r\\ 0=m_0< m_1<\cdots< m_s\end{array}}\frac{n_r!m_s!}{(n_r+m_s)!}\frac{1}{\bm n^{\bm k}\bm m^{\bm l}}$$
と定義する。

$Z(\bm k_\to;\bm l)=Z(\bm k;\bm l_\uparrow),Z(\bm k;\bm l_\to)=Z(\bm k_\uparrow;\bm l)$

連結和の対称性より$Z(\bm k;\bm l)=Z(\bm l;\bm k)$なので、片方のみ示せばよい。
ここで、望遠鏡和により
\begin{align} \sum_{n_r< n_{r+1}}\frac{1}{n_{r+1}}\frac{n_{r+1}!m_s!}{(n_{r+1}+m_s)!}&=\sum_{n_r< n_{r+1}}\frac{1}{m_s}\left(\frac{m_s!(n_{r+1}-1)!}{(m_s+n_{r+1}-1)!}-\frac{n_{r+1}!m_s!}{(n_{r+1}+m_s)!}\right) \\ &=\frac{1}{m_s}\frac{n_r!m_s!}{(n_r+m_s)!} \end{align}
となって$\ds\sum_{n_r< n_{r+1}}\frac{1}{n_{r+1}}\frac{n_{r+1}!m_s!}{(n_{r+1}+m_s)!}=\frac{1}{m_s}\frac{n_r!m_s!}{(n_r+m_s)!}$と分かる。よって$Z(\bm k_\to;\bm l)=Z(\bm k;\bm l_\uparrow)$である。

双対関係式(再放送)

任意の許容インデックス$\bm k$に対して、$\zeta(\bm k)=\zeta(\bm k^\dagger)$が成り立つ。

連結和の輸送関係式より、
\begin{align} \zeta(\bm k)&=Z(\bm k;\n) \\ &=Z(\n_{\to^{a_1}\uparrow^{b_1}\cdots\to^{a_s}\uparrow^{b_s}};\n) \\ &=Z(\n;\n_{\to^{b_s}\uparrow^{a_s}\cdots\to^{b_1}\uparrow^{a_1}}) \\ &=Z(\n;\bm k^\dagger) \\ &=\zeta(\bm k^\dagger) \end{align}
である。

調和積/シャッフル積

インデックス$\bm k=(k_1,\cdots,k_r)$と$\bm l=(l_1,\cdots,l_s)$に対してその調和積$\bm k*\bm l$を
$$ \left\{ \begin{array}{ll} \begin{align} \bm k*\bm l=&((k_1,\cdots,k_{r-1})*(l_1,\cdots,l_s),k_r) \\ &+((k_1,\cdots,k_r)*(l_1,\cdots,l_{s-1}),l_s) \\ &+((k_1,\cdots,k_{r-1})*(l_1,\cdots,l_{s-1}),k_r+l_s) \end{align} & (\dep(\bm k),\dep(\bm l)\geq1) \\ \n*\bm k=\bm k*\n=\bm k \end{array} \right. $$
と定義する。

\begin{align} (1,2)*(2)&=((1)*(2),2)+((1,2)*\n,2)+((1)*\n,4) \\ &=(\n*(2),1,2)+((1)*\n,2,2)+(\n*\n,3,2)+(1,2,2)+(1,4) \\ &=2(1,2,2)+(2,1,2)+(1,4)+(3,2) \end{align}

$\zeta(\bm k*\bm l)=\zeta(\bm k)\zeta(\bm l)$

\begin{align} \zeta(\bm k*\bm l)=&\zeta((k_1,\cdots,k_{r-1})*(l_1,\cdots,l_s),k_r)+\zeta((k_1,\cdots,k_r)*(l_1,\cdots,l_{s-1}),l_s) \\ &+\zeta((k_1,\cdots,k_{r-1})*(l_1,\cdots,l_{s-1}),k_r+l_s) \\ =&\sum_{\begin{array}{c}0< n_1<\cdots< n_r \\ 0< m_1<\cdots< m_s \\ m_s< n_r\end{array}}\frac{1}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}\frac{1}{m_1^{l_1}\cdots m_s^{l_s}} \\ &+\sum_{\begin{array}{c}0< n_1<\cdots< n_r \\ 0< m_1<\cdots< m_s \\ n_r< m_s\end{array}}\frac{1}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}\frac{1}{m_1^{l_1}\cdots m_s^{l_s}} \\ &+\sum_{\begin{array}{c}0< n_1<\cdots< n_r \\ 0< m_1<\cdots< m_s \\ n_r=m_s\end{array}}\frac{1}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}\frac{1}{m_1^{l_1}\cdots m_s^{l_s}} \\ =&\sum_{\begin{array}{c}0< n_1<\cdots< n_r \\ 0< m_1<\cdots< m_s\end{array}}\frac{1}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}\frac{1}{m_1^{l_1}\cdots m_s^{l_s}} \\ =&\zeta(\bm k)\zeta(\bm l) \end{align}

$(1,2)*(2)=2(1,2,2)+(2,1,2)+(1,4)+(3,2)$より
$\zeta(1,2)\zeta(2)=2\zeta(1,2,2)+\zeta(2,1,2)+\zeta(1,4)+\zeta(3,2)$

次に定義するシャッフル積には多重ゼータ値の積分表示を使うので、$a=\dfrac{dt}{t},b=\dfrac{dt}{1-t}$として、$\mathcal{R}=\mathbb{Q}\langle a,b\rangle$とする。

シャッフル積

$w,w'\in\mathcal{R},v,v'\in\{a,b\}$としたとき
$$ \left\{ \begin{array}{l} vw\sh v'w'=v(w\sh v'w')+v'(vw\sh w') \\ 1\sh w=w\sh1=w \end{array} \right. $$
を満たす$\mathbb{Q}$双線形な写像$\sh:\mathcal{R}\times\mathcal{R}\to\mathcal{R}$をシャッフル積と呼ぶ。

$w,w'\in\mathcal{R}$なら
$$\int_0^1w\cdot\int_0^1w'=\int_0^1w\sh w'$$

$w=u_1\cdots u_r,w'=u_1'\cdots u_s'$で、$u_1,\cdots,u_r,u_1',\cdots,u_s'\in\{a,b\}$とする。また、便宜上$u_i=f_i(t)dt,u_i'=f_i'(t)dt$とする。
\begin{align} \ \int_0^1w\sh w'=&\int_{0< x_1<\cdots< x_r<1,0< t_1<\cdots< t_s<1,t_s< x_r}\prod_{i=1}^rf_i(x_i)dx_i\prod_{j=1}^sf_j'(t_j)dt_j \\ &+\int_{0< x_1<\cdots< x_r<1,0< t_1<\cdots< t_s<1,x_r< t_s}\prod_{i=1}^rf_i(x_i)dx_i\prod_{j=1}^sf_j'(t_j)dt_j \\ =&\int_{0< x_1<\cdots< x_r<1,0< t_1<\cdots< t_s<1}\prod_{i=1}^rf_i(x_i)dx_i\prod_{j=1}^sf_j'(t_j)dt_j \\ =&\int_0^1w\cdot\int_0^1w' \end{align}

\begin{align} \zeta(1,2)\zeta(2)&=\left(\int_0^1ab^2\right)\cdot\left(\int_0^1ab\right) \\ &=\int_0^1ab^2\sh ab \\ &=\int_0^1a(b^2\sh ab)+a(ab^2\sh b) \\ &=\int_0^1ab(b\sh ab)+a^2(b^2\sh b)+a^2(b^2\sh b)+ab(ab^2\sh\n) \\ &=\int_0^1ab^2(\n\sh ab)+aba(b\sh b)+2a^2b(b\sh b)+2a^2b(b^2\sh\n)+abab^2 \\ &=\int_0^1ab^2ab+2abab^2+4a^2b^3+2a^2b^3+abab^2 \\ &=\zeta(2,1,2)+3\zeta(1,2,2)+6\zeta(1,1,3) \end{align}