MZVの関係式[2]

インデックスのシャッフル積

インデックス$\bm k=(k_1,\cdots,k_r)$について$w_{\bm k}=a^{k_r-1}b\cdots a^{k_1-1}b\in\R$、$w_{\bm k+\bm l}=w_{\bm k}+w_{\bm l}$と定めると、MZVの積分表示とシャッフル積関係式より$\ds\int_0^1w_{\bm k}\sh w_{\bm l}=\int_0^1w_{\bm k}\int_0^1w_{\bm l}=\zeta(\bm k)\zeta(\bm l)$が成り立つ。
しかし、この関係式は積分表示という多重ゼータ値の外の対象を用いて定義されている。この節では、インデックス同士のシャッフル積を定義し、積分表示を経由せずに計算できるようにする。

シャッフル積の定義から、
\begin{align} \quad aw_{\bm k}\sh aw_{\bm l}&=a(w_{\bm k}\sh aw_{\bm l})+a(aw_{\bm k}\sh w_{\bm l})=a(w_{\bm k}\sh w_{\bm l_\uparrow})+a(w_{\bm k_\uparrow}\sh w_{\bm l}) \\ \quad aw_{\bm k}\sh bw_{\bm l}&=a(w_{\bm k}\sh bw_{\bm l})+b(aw_{\bm k}\sh w_{\bm l})=a(w_{\bm k}\sh w_{\bm l_\to})+b(w_{\bm k_\uparrow}\sh w_{\bm l}) \\ \quad bw_{\bm k}\sh aw_{\bm l}&=b(w_{\bm k}\sh aw_{\bm l})+a(bw_{\bm k}\sh w_{\bm l})=b(w_{\bm k}\sh w_{\bm l_\uparrow})+a(w_{\bm k_\to}\sh w_{\bm l}) \\ \quad bw_{\bm k}\sh bw_{\bm l}&=b(w_{\bm k}\sh bw_{\bm l})+b(bw_{\bm k}\sh w_{\bm l})=b(w_{\bm k}\sh w_{\bm l_\to})+b(w_{\bm k_\to}\sh w_{\bm l}) \end{align}
となる。とりあえず、$w_{\bm k}\sh w_{\bm l}=w_{\bm k\sh \bm l}$となるようなインデックスの線形結合$\bm k\sh\bm l$があるとして、上の式から$\bm k\sh\bm l$を再帰的に定義する。

\begin{align} \quad(2)\sh(1,2)&=((1)\sh(1,2)+(2)\sh(1,1))_\uparrow \\ &=(\n\sh(1,2))_{\to\uparrow}+((1)\sh(1,1))_{\uparrow^2}+((1)\sh(1,1))_{\uparrow^2}+((2)\sh(1))_{\to\uparrow} \\ &=(1,2,2)+(\n\sh(1,1))_{\to\uparrow^2}+2((1)\sh(1))_{\to\uparrow^2}+((1)\sh(1))_{\uparrow\to\uparrow}\ +((2)\sh\n)_{\to^2\uparrow} \\ &=(1,2,2)+(1,1,3)+2(\n\sh(1))_{\to^2\uparrow^2}+2((1)\sh\n)_{\to^2\uparrow^2}+(\n\sh(1))_{\to\uparrow\to\uparrow}\quad +((1)\sh\n)_{\to\uparrow\to\uparrow}\quad +(2,1,2) \\ &=(2,1,2)+3(1,2,2)+5(1,1,3) \end{align}
よって$\zeta(2)\zeta(1,2)=\zeta(2,1,2)+3\zeta(1,2,2)+5\zeta(1,1,3)$を得る。
これは前ページの例３と全く同じ結果である。

インデックスの調和積とシャッフル積を組み合わせて得られるMZVの関係式族のことを有限複シャッフル関係式という。
調和積とシャッフル積より
$(2)*(1,2)=(1,4)+(3,2)+(2,1,2)+2(1,2,2)$
$(2)\sh(1,2)=(2,1,2)+3(1,2,2)+5(1,1,3)$
が分かるので
$\zeta(1,4)+\zeta(3,2)+\zeta(2,1,2)+2\zeta(1,2,2)=\zeta(2,1,2)+3\zeta(1,2,2)+5\zeta(1,1,3)$
すなわち
$\zeta(1,4)+\zeta(3,2)=\zeta(1,2,2)+5\zeta(1,1,3)$
ここで、$(1,1,3)^\dagger=(1,4),(1,2,2)^\dagger=(2,3)$なので
$\zeta(3,2)=\zeta(2,3)+4\zeta(1,4)$
を得る。