多重L値[1]

$x$を$0< x<1$を満たす実数とすると、
\begin{align} L\left(\mi{z_1}{k_1},\cdots,\mi{z_{r-1}}{k_{r-1}},\mi{z_rx}{k_r+1}\right) &=\sum_{0< n_1<\cdots< n_r}\frac{\bm z^{\bm n}}{\bm n^{\bm k_\uparrow}}x^{n_r} \\ &=\sum_{0< n_1<\cdots< n_r}\frac{\bm z^{\bm n}}{\bm n^{\bm k}}\frac{x^{n_r}}{n_r} \\ &=\sum_{0< n_1<\cdots< n_r}\frac{\bm z^{\bm n}}{\bm n^{\bm k}}\int_0^xt^{n_r-1}dt \\ &=\int_0^x\sum_{0< n_1<\cdots< n_r}\frac{\bm z^{\bm n}}{\bm n^{\bm k}}t^{n_r-1}dt \\ &=\int_0^xL\left(\mi{z_1}{k_1},\cdots,\mi{z_{r-1}}{k_{r-1}},\mi{z_rt}{k_r}\right)\frac{dt}{t} \end{align}

\begin{align} L\left(\mi{z_1}{k_1},\cdots,\mi{z_r}{k_r},\mi{z_{r+1}}{1}\right) &=\sum_{0< n_1<\cdots< n_r< n_{r+1}}\frac{\bm z^{\bm n}z_{r+1}^{n_{r+1}}}{\bm n^{\bm k}}\frac{x^{n_{r+1}}}{n_{r+1}} \\ &=\sum_{0< n_1<\cdots< n_r< n_{r+1}}\frac{\bm z^{\bm n}}{\bm n^{\bm k}}z_{r+1}^{n_{r+1}}\int_0^xt^{n_{r+1}-1}dt \\ &=\int_0^x\sum_{0< n_1<\cdots< n_r< n_{r+1}}\frac{\bm z^{\bm n}}{\bm n^{\bm k}}z_{r+1}^{n_{r+1}}t^{n_{r+1}-1}dt \\ &=\int_0^x\sum_{0< n_1<\cdots< n_r}\sum_{0< m}\frac{\bm z^{\bm n}}{\bm n^{\bm k}}z_{r+1}^{n_r+m}t^{n_r+m-1}dt \\ &=\int_0^xL\left(\mi{z_1}{k_1},\cdots,\mi{z_{r-1}}{k_{r-1}},\mi{z_rz_{r+1}t}{k_r}\right)z_{r+1}\sum_{0< m}(z_{r+1}t)^{m-1}dt \\ &=\int_0^xL\left(\mi{z_1}{k_1},\cdots,\mi{z_{r-1}}{k_{r-1}},\mi{z_rz_{r+1}t}{k_r}\right)\frac{dt}{z_{r+1}^{-1}-t} \end{align}

が成り立つので、多重L値の積分表示を得ることができる。

多重L値の分子側の変数($z_1,\cdots,z_r$)がすべて絶対値$1$であり、$\ds\zeta_N=\exp\left(\frac{2\pi i}{N}\right)$の整数乗になっているものを特にlevel$N$の多重L値と呼ぶ。特に$N=2$の場合は交代多重ゼータ値(AMZV)と呼ぶ。AMZVの文脈では$\ds\mi{1}{k}$と$\ds\mi{-1}{k}$をそれぞれ$k$、$\ol{k}$と略記し、$L$の代わりに$\zeta$を用いる。

level$N$の多重L値の積分表示は$\ds\frac{dt}{t},\frac{dt}{\zeta_N^{-n}-t}$という形をした微分形式のみでかけるから、$\ds a=\frac{dt}{t},b_n=\frac{dt}{\zeta_N^{-n}-t}(n=0,\cdots,N-1)$の計$N+1$個の変数の非可換多項式環$\R_N=\mathbb{Q}\langle a,b_0,\cdots,b_{N-1}\rangle$を導入すると、多重L値は$\R_N$の元の反復積分で表現される。

以降、level$N$のMLVの$\mathbb{Q}$-線形結合全体の集合を$\MLV^N$、level$N$でweightが$r$のMLVの$\mathbb{Q}$-線形結合全体の集合を$\MLV_r^N$。とおく。