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高校数学
文献あり

多重L値[2]

$$\newcommand{bm}[0]{\boldsymbol} \newcommand{dep}[0]{{\rm dep}} \newcommand{ds}[0]{\displaystyle} \newcommand{H}[0]{{\cal H}} \newcommand{Li}[0]{{\rm{Li}}} \newcommand{mi}[2]{\begin{array}{c} #1 \\ #2 \end{array}} \newcommand{MLV}[0]{{\sf MLV}} \newcommand{n}[0]{\varnothing} \newcommand{ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{R}[0]{{\cal R}} \newcommand{sh}[0]{ш} $$

調和積関係式

$\ds\left(\mi{t_1}{k_1},\cdots,\mi{t_r}{k_r}\right)$$\ds\left(\mi{u_1}{l_1},\cdots,\mi{u_s}{l_s}\right)$について、その調和積を
\begin{align} \left(\mi{t_1}{k_1},\cdots,\mi{t_r}{k_r}\right)*\left(\mi{u_1}{l_1},\cdots,\mi{u_s}{l_s}\right):=&\left(\left(\mi{t_1}{k_1},\cdots,\mi{t_{r-1}}{k_{r-1}}\right)*\left(\mi{u_1}{l_1},\cdots,\mi{u_s}{l_s}\right),\mi{t_r}{k_r}\right) \\ &+\left(\left(\mi{t_1}{k_1},\cdots,\mi{t_r}{k_r}\right)*\left(\mi{u_1}{l_1},\cdots,\mi{u_{s-1}}{l_{s-1}}\right),\mi{u_s}{l_s}\right) \\ &+\left(\left(\mi{t_1}{k_1},\cdots,\mi{t_{r-1}}{k_{r-1}}\right)*\left(\mi{u_1}{l_1},\cdots,\mi{u_{s-1}}{l_{s-1}}\right),\mi{t_ru_s}{k_r+l_s}\right) \end{align}
で定義する。

$$L\left(\left(\mi{t_1}{k_1},\cdots,\mi{t_r}{k_r}\right)*\left(\mi{u_1}{l_1},\cdots,\mi{u_s}{l_s}\right)\right)=L\left(\mi{t_1}{k_1},\cdots,\mi{t_r}{k_r}\right)L\left(\mi{u_1}{l_1},\cdots,\mi{u_s}{l_s}\right)$$が成り立つ。

\begin{align} L\left(\mi{\bm t}{\bm k}\right)L\left(\mi{\bm u}{\bm l}\right)=&\sum_{0< n_1<\cdots< n_r}\frac{\bm t^{\bm n}}{\bm n^{\bm k}}\sum_{0< m_1<\cdots< m_s}\frac{\bm s^{\bm m}}{\bm m^{\bm l}} \\ =&\sum_{\mi{\mi{0< n_1<\cdots< n_r}{0< m_1<\cdots< m_s}}{n_r< m_s}}\frac{\bm t^{\bm n}\bm s^{\bm m}}{\bm n^{\bm k}\bm m^{\bm l}} \\ &+\sum_{\mi{\mi{0< n_1<\cdots< n_r}{0< m_1<\cdots< m_s}}{n_r>m_s}}\frac{\bm t^{\bm n}\bm s^{\bm m}}{\bm n^{\bm k}\bm m^{\bm l}} \\ &+\sum_{\mi{\mi{0< n_1<\cdots< n_r}{0< m_1<\cdots< m_s}}{n_r=m_s}}\frac{\bm t^{\bm n}\bm s^{\bm m}}{\bm n^{\bm k}\bm m^{\bm l}} \\ =&L\left(\left(\mi{\bm t}{\bm k}\right)*\left(\mi{\bm u}{\bm l}\right)\right) \\ \end{align}

$\ds(\ol2)*(\ol2)=\left(\mi{-1}{2}\right)*\left(\mi{-1}{2}\right)=2\left(\mi{-1}{2},\mi{-1}{2}\right)+\left(\mi{1}{4}\right)=2(\ol2,\ol2)+(4)$
だから、$\zeta(\ol2)=2\zeta(\ol2,\ol2)+\zeta(4)$を得る。$\ds\zeta(\ol2)^2=\dfrac{\pi^4}{144},\zeta(4)=\frac{\pi^4}{90}$なので$\zeta(\ol2,\ol2)=-\dfrac{\pi^4}{480}$が分かる。

シャッフル積関係式

前ページで定義した${\cal R}_N$にも同様にシャッフル積を入れると、$u,v\in\R_N$について$\ds\int_0^1u\sh v=\int_0^1u\int_0^1v$が分かる。

参考文献

[1]
Kam Cheong Au, EVALUATION OF ONE-DIMENSIONAL POLYLOGARITHMIC INTEGRAL, WITH APPLICATIONS TO INFINITE SERIES, arXiv
投稿日:2022318
更新日:28日前

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