(t1k1,⋯,trkr)と(u1l1,⋯,usls)について、その調和積を(t1k1,⋯,trkr)∗(u1l1,⋯,usls):=((t1k1,⋯,tr−1kr−1)∗(u1l1,⋯,usls),trkr)+((t1k1,⋯,trkr)∗(u1l1,⋯,us−1ls−1),usls)+((t1k1,⋯,tr−1kr−1)∗(u1l1,⋯,us−1ls−1),truskr+ls)で定義する。
L((t1k1,⋯,trkr)∗(u1l1,⋯,usls))=L(t1k1,⋯,trkr)L(u1l1,⋯,usls)が成り立つ。
L(tk)L(ul)=∑0<n1<⋯<nrtnnk∑0<m1<⋯<mssmml=∑0<n1<⋯<nr0<m1<⋯<msnr<mstnsmnkml+∑0<n1<⋯<nr0<m1<⋯<msnr>mstnsmnkml+∑0<n1<⋯<nr0<m1<⋯<msnr=mstnsmnkml=L((tk)∗(ul))
(2―)∗(2―)=(−12)∗(−12)=2(−12,−12)+(14)=2(2―,2―)+(4)だから、ζ(2―)=2ζ(2―,2―)+ζ(4)を得る。ζ(2―)2=π4144,ζ(4)=π490なのでζ(2―,2―)=−π4480が分かる。
前ページで定義したRNにも同様にシャッフル積を入れると、u,v∈RNについてш∫01uшv=∫01u∫01vが分かる。
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