このページではlevel2の多重L値、要するにAMZVについて解説する。AMZVの中で最も基本的なのはL(−11)=ζ(1―)である。−ln(1−x)のMaclaurin展開よりζ(1―)=∑0<n(−1)nn=−ln(1−(−1))=−ln2kが2以上の整数のときは、ζ(k―)=∑0<n(−1)nnk=−(∑0≤n1(2n+1)k−∑0<n1(2n)k)=−(∑0<n1nk−2∑0<n1(2n)k)=−(ζ(k)−2∑0<n1(2n)k)=(12k−1−1)ζ(k)(=−η(k) )となるから、例えばζ(2―)=−12ζ(2)=−π212が成り立つ。シャッフル積よりζ(1―)2=2ζ(1,1―)が成り立つのでζ(1,1―)=ln222を得る。また、調和積からζ(1―)2=ζ(2)+2ζ(1―,1―)が成り立つからζ(1―,1―)=ln222−π212を得る。
ζ(1―)=−ln2ζ(2)=π26ζ(2―)=−π212ζ(1,1―)=ln222ζ(1―,1―)=ln222−π212
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