level2の多重L値(AMZV)

このページではlevel2の多重L値、要するにAMZVについて解説する。
AMZVの中で最も基本的なのは$\ds L\left(\mi{-1}{1}\right)=\zeta(\ol1)$である。$-\ln(1-x)$のMaclaurin展開より
\begin{align} \zeta(\ol1)&=\sum_{0< n}\frac{(-1)^n}{n} \\ &=-\ln(1-(-1)) \\ &=-\ln2 \end{align}
$k$が$2$以上の整数のときは、
\begin{align} \zeta(\ol{k})&=\sum_{0< n}\frac{(-1)^n}{n^k} \\ &=-\left(\sum_{0\leq n}\frac{1}{(2n+1)^k}-\sum_{0< n}\frac{1}{(2n)^k}\right) \\ &=-\left(\sum_{0< n}\frac{1}{n^k}-2\sum_{0< n}\frac{1}{(2n)^k}\right) \\ &=-\left(\zeta(k)-2\sum_{0< n}\frac{1}{(2n)^k}\right) \\ &=\left(\frac{1}{2^{k-1}}-1\right)\zeta(k) \\ (&=-\eta(k)\ ) \end{align}
となるから、例えば$\zeta(\ol2)=-\dfrac12\zeta(2)=-\dfrac{\pi^2}{12}$が成り立つ。
シャッフル積より$\zeta(\ol1)^2=2\zeta(1,\ol1)$が成り立つので$\zeta(1,\ol1)=\dfrac{\ln^22}{2}$を得る。
また、調和積から$\zeta(\ol1)^2=\zeta(2)+2\zeta(\ol1,\ol1)$が成り立つから$\zeta(\ol1,\ol1)=\dfrac{\ln^22}{2}-\dfrac{\pi^2}{12}$を得る。

wetght2以下のAMZV

\begin{align} \zeta(\ol1)&=-\ln2 \\ \zeta(2)&=\frac{\pi^2}{6} \\ \zeta(\ol2)&=-\frac{\pi^2}{12} \\ \zeta(1,\ol1)&=\frac{\ln^22}{2} \\ \zeta(\ol1,\ol1)&=\frac{\ln^22}{2}-\frac{\pi^2}{12} \end{align}