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MLVの利用[1]

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$p,q$は互いに素で$p<0,q>0,p+q\geq1$を満たすとする。$k_1,\cdots,k_r$が正の整数なら
$$\sum_{0< n_1<\cdots< n_r}\frac{(-1)^{n_r}}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}\binom{p/q}{n_r}\in\MLV_{k_1+\cdots+k_r}^q$$
である。

$p,q$を固定し、$\bm k=(k_1,\cdots,k_r)\in{\cal I}$と$0\leq x<1$なる実数$x$について
\begin{align} \H(\bm k;x)&=\sum_{0< n_1\leq\cdots\leq n_r}\frac{(-1)^{n_r}}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}\binom{p/q}{n_r}x^{n_1} \\ \H(\bm k)&=\sum_{0< n_1\leq\cdots\leq n_r}\frac{(-1)^{n_r}}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}\binom{p/q}{n_r} \end{align}
と定義する。
$\H(\bm k)\in\MLV_{|\bm k|}^q$を示せば十分である。

$$\H(1)\in\MLV_1^q$$

$\H(1;t)$は一般化二項定理より
\begin{align} \H(1;t)&=\sum_{0< n}\frac{(-1)^n}{n}\binom{p/q}{n}t^n \\ &=\sum_{0< n}(-1)^n\binom{p/q}{n}\int_0^tx^{n-1}dx \\ &=\int_0^t\frac{dx}{x}\sum_{0< n}(-1)^n\binom{p/q}{n}x^n \\ &=\int_0^t\frac{(1-x)^{p/q}-1}{x}dx \end{align}
とかけるので、
$$\H(1)=\int_0^1\frac{(1-t)^{p/q}-1}{t}dt$$
を得る。ここで変数変換$t\mapsto1-u^q$をすることで、
積分範囲は$u:0\to1$となり、$\dfrac{(1-t)^{p/q}-1}{t}dt$は$\dfrac{q(u^{q-1}-u^{p+q-1})}{1-u^q}du$になる。
これらは部分分数分解により$\dfrac{dt}{\zeta_q-t},\cdots,\dfrac{dt}{\zeta_q^{q-1}-t}$という形をした微分形式の和で書けるから$\H(1)\in\MLV_1^q$が従う。

$\ds\H({}_\uparrow\bm k;x)=\int_0^x\frac{dt}{t}\H(\bm k;t)$
$\ds\H({}_\leftarrow\bm k;x)=\int_0^x\frac{dt}{1-t}(\H(\bm k)-\H(\bm k;t))$

以下、$\ds C_r=(-1)^r\binom{p/q}{r}$
\begin{align} \H({}_\uparrow\bm k;x) &=\sum_{0< n_1\leq\cdots\leq n_r}\frac{C_{n_r}}{n_1^{k_1+1}\cdots n_r^{k_r}}x^{n_1} \\ &=\sum_{0< n_1\leq\cdots\leq n_r}\frac{C_{n_r}}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}\int_0^xt^{n_1-1}dt \\ &=\int_0^x\sum_{0< n_1\leq\cdots\leq n_r}\frac{C_{n_r}}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}\frac{t^{n_1}}{t}dt \\ &=\int_0^x\frac{dt}{t}\H(\bm k;t) \end{align}
\begin{align} \H({}_\leftarrow\bm k;x) &=\sum_{0< m\leq n_1\leq\cdots\leq n_r}\frac{C_{n_r}}{mn_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}x^{m} \\ &=\sum_{0< m\leq n_1\leq\cdots\leq n_r}\frac{C_{n_r}}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}\int_0^xt^{m-1}dt \\ &=\int_0^x\sum_{0< n_1\leq\cdots\leq n_r}\frac{C_{n_r}}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}\frac{1-t^{n_1}}{1-t}dt \\ &=\int_0^x\frac{dt}{1-t}(\H(\bm k)-\H(\bm k;t)) \\ \end{align}

ここで、任意のインデックスはweight$1$,depth$1$のインデックス$(1)$から${}_\uparrow*$と${}_\leftarrow*$の繰り返しで作ることができる。$\bm k$の一番右の要素が$1$の時、$(\H(\bm k)-\H(\bm k;t))$は
\begin{align} \H(\bm k)-\H(\bm k;t) &=\sum_{0< n_1\leq\cdots\leq n_r}\frac{C_{n_r}}{n_1n_2^{k_2}\cdots n_r^{k_r}}(1-t^{n_1}) \\ &=\sum_{0< n_1\leq\cdots\leq n_r}\frac{C_{n_r}}{n_2^{k_2}\cdots n_r^{k_r}}\int_t^1u^{n_1-1}du \\ &=\int_t^1\sum_{0< n_1\leq\cdots\leq n_r}\frac{C_{n_r}}{n_2^{k_2}\cdots n_r^{k_r}}u^{n_1-1}du \\ &=\int_t^1\sum_{0< n_2\leq\cdots\leq n_r}\frac{C_{n_r}}{n_2^{k_2}\cdots n_r^{k_r}}\frac{1-u^{n_2}}{1-u}du \\ &=\int_t^1\frac{du}{1-u}\sum_{0< n_2\leq\cdots\leq n_r}\frac{C_{n_r}}{n_2^{k_2}\cdots n_r^{k_r}}(1-u^{n_2}) \\ &=\int_t^1\frac{du}{1-u}(\H({}_\rightarrow\bm k)-\H({}_\rightarrow\bm k;u)) \end{align}
また、$\bm k$の一番右の要素が$1$より大きい時、$(\H(\bm k)-\H(\bm k;t))$は
\begin{align} \H(\bm k)-\H(\bm k;t) &=\sum_{0< n_1\leq\cdots\leq n_r}\frac{C_{n_r}}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}(1-t^{n_1}) \\ &=\sum_{0< n_1\leq\cdots\leq n_r}\frac{C_{n_r}}{n_1^{k_1-1}n_2^{k_2}\cdots n_r^{k_r}}\int_t^1u^{n_1-1}du \\ &=\int_t^1\sum_{0< n_1\leq\cdots\leq n_r}\frac{C_{n_r}}{n_1^{k_1-1}n_2^{k_2}\cdots n_r^{k_r}}u^{n_1-1}du \\ &=\int_t^1\sum_{0< n_1\leq\cdots\leq n_r}\frac{C_{n_r}}{n_1^{k_1-1}n_2^{k_2}\cdots n_r^{k_r}}\frac{u^{n_1}}{u}du \\ &=\int_t^1\frac{du}{u}\sum_{0< n_1\leq\cdots\leq n_r\leq n}\frac{C_{n_r}}{n_1^{k_1-1}n_2^{k_2}\cdots n_r^{k_r}}u^{n_1} \\ &=\int_t^1\frac{du}{u}\H({}_\downarrow\bm k;u) \end{align}
となるので上の操作を繰り返して$\H(1,k;x)$もしくは$\H(1,k)-\H(1,k;x)$($k$は正整数)を$\ds\int_0^t,\int_t^1,\frac{dt}{t},\frac{dt}{1-t}$を用いて反復積分した形に直すことができる。
\begin{align} \H(1,k;t) &=\sum_{0< m\leq n}\frac{C_{n}}{mn^k}t^m \\ &=\sum_{0< m\leq n}\frac{C_{n}}{n^k}\int_0^tu^{m-1}du \\ &=\int_0^t\sum_{0< m\leq n}\frac{C_{n}}{n^k}u^{m-1}du \\ &=\int_0^t\sum_{0< n}\frac{C_{n}}{n^k}\frac{1-u^n}{1-u}du \\ &=\int_0^t\frac{du}{1-u}\sum_{0< n}\frac{C_{n}}{n^k}(1-u^{n}) \\ &=\int_0^t\frac{du}{1-u}(\H(k)-\H(k;u)) \\ &=\int_0^t\frac{du}{1-u}\int_u^1\underbrace{\frac{dt}{t}\circ\cdots\circ\frac{dt}{t}}_{k-1}\circ\frac{(1-t)^{p/q}-1}{t}dt \end{align}
\begin{align} \H(1,k)-\H(1,k;u) &=\sum_{0< m\leq n}\frac{C_{n}}{mn^k}(1-t^m) \\ &=\sum_{0< m\leq n}\frac{C_{n}}{n^k}\int_t^1u^{m-1}du \\ &=\int_t^1\sum_{0< m\leq n}\frac{C_{n}}{n^k}u^{m-1}du \\ &=\int_t^1\sum_{0< n}\frac{C_{n}}{n^k}\frac{1-u^n}{1-u}du \\ &=\int_t^1\frac{du}{1-u}\sum_{0< n}\frac{C_{n}}{n^k}(1-u^{n}) \\ &=\int_t^1\frac{du}{1-u}(\H(k)-\H(k;u)) \\ &=\int_t^1\frac{du}{1-u}\int_u^1\underbrace{\frac{dt}{t}\circ\cdots\circ\frac{dt}{t}}_{k-1}\circ\frac{(1-t)^{p/q}-1}{t}dt \end{align}
となるので、$\H(\bm k)$は$\ds\int_0^t,\int_t^1,\frac{dt}{t},\frac{dt}{1-t},\frac{((1-t)^{p/q}-1)dt}{t}$を用いた反復積分で表せるから、上の補題でも用いた変数変換$t\mapsto1-u^q$により$\H(\bm k)$がlevel-$q$,weight-$|\bm k|$のMLVの$\mathbb{Q}$線形結合で表されることがわかる。