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MLVの利用[1]

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$p, q$ は互いに素で $p < 0, q > 0, p + q \geq 1$ を満たすとする。 $k_{1}, \dots, k_{r}$ が正の整数なら
$\sum_{0 < n_{1} < \dots < n_{r}} \frac{(- 1)^{n_{r}}}{n_{1}^{k_{1}} \dots n_{r}^{k_{r}}} (\binom{p / q}{n_{r}}) \in {M L V}_{k_{1} + \dots + k_{r}}^{q}$
である。

$p, q$ を固定し、 $k = (k_{1}, \dots, k_{r}) \in I$ と $0 \leq x < 1$ なる実数 $x$ について
$\begin{aligned} H (k; x) & = \sum_{0 < n_{1} \leq \dots \leq n_{r}} \frac{(- 1)^{n_{r}}}{n_{1}^{k_{1}} \dots n_{r}^{k_{r}}} (\binom{p / q}{n_{r}}) x^{n_{1}} \\ H (k) & = \sum_{0 < n_{1} \leq \dots \leq n_{r}} \frac{(- 1)^{n_{r}}}{n_{1}^{k_{1}} \dots n_{r}^{k_{r}}} (\binom{p / q}{n_{r}}) \end{aligned}$
と定義する。
$H (k) \in {M L V}_{| k |}^{q}$ を示せば十分である。

$H (1) \in {M L V}_{1}^{q}$

$H (1; t)$ は一般化二項定理より
$\begin{aligned} H (1; t) & = \sum_{0 < n} \frac{(- 1)^{n}}{n} (\binom{p / q}{n}) t^{n} \\ = \sum_{0 < n} (- 1)^{n} (\binom{p / q}{n}) \int_{0}^{t} x^{n - 1} d x \\ = \int_{0}^{t} \frac{d x}{x} \sum_{0 < n} (- 1)^{n} (\binom{p / q}{n}) x^{n} \\ = \int_{0}^{t} \frac{(1 - x)^{p / q} - 1}{x} d x \end{aligned}$
とかけるので、
$H (1) = \int_{0}^{1} \frac{(1 - t)^{p / q} - 1}{t} d t$
を得る。ここで変数変換 $t \mapsto 1 - u^{q}$ をすることで、
積分範囲は $u : 0 \to 1$ となり、 $\frac{(1 - t)^{p / q} - 1}{t} d t$ は $\frac{q (u^{q - 1} - u^{p + q - 1})}{1 - u^{q}} d u$ になる。
これらは部分分数分解により $\frac{d t}{ζ_{q} - t}, \dots, \frac{d t}{ζ_{q}^{q - 1} - t}$ という形をした微分形式の和で書けるから $H (1) \in {M L V}_{1}^{q}$ が従う。

$H (_{↑} k; x) = \int_{0}^{x} \frac{d t}{t} H (k; t)$
$H (_{\leftarrow} k; x) = \int_{0}^{x} \frac{d t}{1 - t} (H (k) - H (k; t))$

以下、 $C_{r} = (- 1)^{r} (\binom{p / q}{r})$
$\begin{aligned} H (_{↑} k; x) & = \sum_{0 < n_{1} \leq \dots \leq n_{r}} \frac{C_{n_{r}}}{n_{1}^{k_{1} + 1} \dots n_{r}^{k_{r}}} x^{n_{1}} \\ = \sum_{0 < n_{1} \leq \dots \leq n_{r}} \frac{C_{n_{r}}}{n_{1}^{k_{1}} \dots n_{r}^{k_{r}}} \int_{0}^{x} t^{n_{1} - 1} d t \\ = \int_{0}^{x} \sum_{0 < n_{1} \leq \dots \leq n_{r}} \frac{C_{n_{r}}}{n_{1}^{k_{1}} \dots n_{r}^{k_{r}}} \frac{t^{n_{1}}}{t} d t \\ = \int_{0}^{x} \frac{d t}{t} H (k; t) \end{aligned}$
$\begin{aligned} H (_{\leftarrow} k; x) & = \sum_{0 < m \leq n_{1} \leq \dots \leq n_{r}} \frac{C_{n_{r}}}{m n_{1}^{k_{1}} \dots n_{r}^{k_{r}}} x^{m} \\ = \sum_{0 < m \leq n_{1} \leq \dots \leq n_{r}} \frac{C_{n_{r}}}{n_{1}^{k_{1}} \dots n_{r}^{k_{r}}} \int_{0}^{x} t^{m - 1} d t \\ = \int_{0}^{x} \sum_{0 < n_{1} \leq \dots \leq n_{r}} \frac{C_{n_{r}}}{n_{1}^{k_{1}} \dots n_{r}^{k_{r}}} \frac{1 - t^{n_{1}}}{1 - t} d t \\ = \int_{0}^{x} \frac{d t}{1 - t} (H (k) - H (k; t)) \end{aligned}$

ここで、任意のインデックスはweight $1$ ,depth $1$ のインデックス $(1)$ から $_{↑} *$ と $_{\leftarrow} *$ の繰り返しで作ることができる。 $k$ の一番右の要素が $1$ の時、 $(H (k) - H (k; t))$ は
$\begin{aligned} H (k) - H (k; t) & = \sum_{0 < n_{1} \leq \dots \leq n_{r}} \frac{C_{n_{r}}}{n_{1} n_{2}^{k_{2}} \dots n_{r}^{k_{r}}} (1 - t^{n_{1}}) \\ = \sum_{0 < n_{1} \leq \dots \leq n_{r}} \frac{C_{n_{r}}}{n_{2}^{k_{2}} \dots n_{r}^{k_{r}}} \int_{t}^{1} u^{n_{1} - 1} d u \\ = \int_{t}^{1} \sum_{0 < n_{1} \leq \dots \leq n_{r}} \frac{C_{n_{r}}}{n_{2}^{k_{2}} \dots n_{r}^{k_{r}}} u^{n_{1} - 1} d u \\ = \int_{t}^{1} \sum_{0 < n_{2} \leq \dots \leq n_{r}} \frac{C_{n_{r}}}{n_{2}^{k_{2}} \dots n_{r}^{k_{r}}} \frac{1 - u^{n_{2}}}{1 - u} d u \\ = \int_{t}^{1} \frac{d u}{1 - u} \sum_{0 < n_{2} \leq \dots \leq n_{r}} \frac{C_{n_{r}}}{n_{2}^{k_{2}} \dots n_{r}^{k_{r}}} (1 - u^{n_{2}}) \\ = \int_{t}^{1} \frac{d u}{1 - u} (H (_{\to} k) - H (_{\to} k; u)) \end{aligned}$
また、 $k$ の一番右の要素が $1$ より大きい時、 $(H (k) - H (k; t))$ は
$\begin{aligned} H (k) - H (k; t) & = \sum_{0 < n_{1} \leq \dots \leq n_{r}} \frac{C_{n_{r}}}{n_{1}^{k_{1}} \dots n_{r}^{k_{r}}} (1 - t^{n_{1}}) \\ = \sum_{0 < n_{1} \leq \dots \leq n_{r}} \frac{C_{n_{r}}}{n_{1}^{k_{1} - 1} n_{2}^{k_{2}} \dots n_{r}^{k_{r}}} \int_{t}^{1} u^{n_{1} - 1} d u \\ = \int_{t}^{1} \sum_{0 < n_{1} \leq \dots \leq n_{r}} \frac{C_{n_{r}}}{n_{1}^{k_{1} - 1} n_{2}^{k_{2}} \dots n_{r}^{k_{r}}} u^{n_{1} - 1} d u \\ = \int_{t}^{1} \sum_{0 < n_{1} \leq \dots \leq n_{r}} \frac{C_{n_{r}}}{n_{1}^{k_{1} - 1} n_{2}^{k_{2}} \dots n_{r}^{k_{r}}} \frac{u^{n_{1}}}{u} d u \\ = \int_{t}^{1} \frac{d u}{u} \sum_{0 < n_{1} \leq \dots \leq n_{r} \leq n} \frac{C_{n_{r}}}{n_{1}^{k_{1} - 1} n_{2}^{k_{2}} \dots n_{r}^{k_{r}}} u^{n_{1}} \\ = \int_{t}^{1} \frac{d u}{u} H (_{↓} k; u) \end{aligned}$
となるので上の操作を繰り返して $H (1, k; x)$ もしくは $H (1, k) - H (1, k; x)$ ( $k$ は正整数)を $\int_{0}^{t}, \int_{t}^{1}, \frac{d t}{t}, \frac{d t}{1 - t}$ を用いて反復積分した形に直すことができる。
$\begin{aligned} H (1, k; t) & = \sum_{0 < m \leq n} \frac{C_{n}}{m n^{k}} t^{m} \\ = \sum_{0 < m \leq n} \frac{C_{n}}{n^{k}} \int_{0}^{t} u^{m - 1} d u \\ = \int_{0}^{t} \sum_{0 < m \leq n} \frac{C_{n}}{n^{k}} u^{m - 1} d u \\ = \int_{0}^{t} \sum_{0 < n} \frac{C_{n}}{n^{k}} \frac{1 - u^{n}}{1 - u} d u \\ = \int_{0}^{t} \frac{d u}{1 - u} \sum_{0 < n} \frac{C_{n}}{n^{k}} (1 - u^{n}) \\ = \int_{0}^{t} \frac{d u}{1 - u} (H (k) - H (k; u)) \\ = \int_{0}^{t} \frac{d u}{1 - u} \int_{u}^{1} \underset{k - 1}{\underset{⏟}{\frac{d t}{t} \circ \dots \circ \frac{d t}{t}}} \circ \frac{(1 - t)^{p / q} - 1}{t} d t \end{aligned}$
$\begin{aligned} H (1, k) - H (1, k; u) & = \sum_{0 < m \leq n} \frac{C_{n}}{m n^{k}} (1 - t^{m}) \\ = \sum_{0 < m \leq n} \frac{C_{n}}{n^{k}} \int_{t}^{1} u^{m - 1} d u \\ = \int_{t}^{1} \sum_{0 < m \leq n} \frac{C_{n}}{n^{k}} u^{m - 1} d u \\ = \int_{t}^{1} \sum_{0 < n} \frac{C_{n}}{n^{k}} \frac{1 - u^{n}}{1 - u} d u \\ = \int_{t}^{1} \frac{d u}{1 - u} \sum_{0 < n} \frac{C_{n}}{n^{k}} (1 - u^{n}) \\ = \int_{t}^{1} \frac{d u}{1 - u} (H (k) - H (k; u)) \\ = \int_{t}^{1} \frac{d u}{1 - u} \int_{u}^{1} \underset{k - 1}{\underset{⏟}{\frac{d t}{t} \circ \dots \circ \frac{d t}{t}}} \circ \frac{(1 - t)^{p / q} - 1}{t} d t \end{aligned}$
となるので、 $H (k)$ は $\int_{0}^{t}, \int_{t}^{1}, \frac{d t}{t}, \frac{d t}{1 - t}, \frac{((1 - t)^{p / q} - 1) d t}{t}$ を用いた反復積分で表せるから、上の補題でも用いた変数変換 $t \mapsto 1 - u^{q}$ により $H (k)$ がlevel- $q$ ,weight- $| k |$ のMLVの $Q$ 線形結合で表されることがわかる。

定理１

$k_{1}, \dots, k_{r}$ が正の整数なら
$\sum_{0 < n_{1} < \dots < n_{r}} \frac{1}{n_{1}^{k_{1}} \dots n_{r}^{k_{r}}} \frac{(\binom{2 n_{r}}{n_{r}})}{2^{2 n_{r}}} \in {M L V}^{2}$
である。