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基本の定義・公式

このページでは、本書で用いる積分の定義、基本性質、基本的な積分公式をまとめる。置換積分や部分積分などの計算手法は、それぞれのページで扱う。量が多いので紹介は主要なものや簡単なものに絞り、各証明は省略する。

特に断らない限り、関数と積分変数は実数の範囲で考え、$\ln x$は自然対数を表す。また、三角関数の角度は弧度法による。

1.1 諸定義

1.1.2 微積分関連

実数値関数の微分可能性

$I=[a,\,b]\subseteq\R$とする。実数値関数$f: I\to\R$と$x_0\in(a,\,b)$に対して
$$ \lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} $$
が存在するとき、$f$は$x_0$で微分可能であると言い、上の極限値を$f'(x_0)$また$\dfrac{d}{dx}f(x_0)$と表し、$f$の$x_0$での微分係数と言う。$f$が$I$のすべての点に対して微分可能なとき、$x$に対して$f'(x)$を対応させる関数を$f$の導関数と言う。

$f$が$n\in\N$回微分可能なとき、$f$に$n$回微分をした導関数を$f^{(n)}(x)$また$\dfrac{d^n}{dx^n}f(x)$と表す。$f^{(k)}(x)\,(k=1,\,2,\,\cdots,\,n)$が存在し、すべて$I$上連続であるとき、$f\in C^n(I)$と表し、$f$は$I$上$C^n$級と言う。
すべての$n\in\N$で$f\in C^n(I)$のとき、$f\in C^{\infty}(I)$と表す。
$I=\R$のとき、$f\in C^n(I)$を単に$f\in C^n$と表すこともある。

区分的連続性

$I=[a,\,b]\subseteq\R$とする。実数値関数$f: I\to\R$と$x_0\in(a,\,b)$に対して
有限個の不連続点$\{c_k\}_{k=1}^n\subset I$で$a\leq c_1< c_1<\cdots< c_n\leq b$なるものを持ち、各開区間$(c_k,\,c_{k+1})\,(k=1,\,\cdots,\,n-1)$で連続であって、各$c_k$で$f$の有限な左極限
$$ f(c_i-0)\coloneqq\lim_{x< c_k,\,x\to c_k} f(x) $$
また有限な右極限
$$ f(c_i+0)\coloneqq\lim_{x>c_k,\,x\to c_k} f(x) $$
が存在するとき、$f$は$I$上区分的連続と言う。ただし、$a=c_0$の場合は$f(a+0)$のみ、$b=c_n$の場合は$f(b-0)$のみ、存在を考える。また$I=(a,\,b)$の場合でも、$f(a+0),\,f(b-0)$は存在するものとする。

$I$が非有界区間の場合、ある有界閉区間の列$\{I_l\}_{l=1}^{\infty}$が、$I_l\subset I_{l+1}\,(l=1,\,2,\,\cdots)$かつ$\dps\bigcup_{l=1}^{\infty} I_l = I$を満たして、各$I_l$で$f$が区分的連続ならば、$f$は$I$上で区分的連続と言う。

各$f^{(k)}(x)\,(k=1,\,2,\,\cdots,\,n)$が$I$上の各開小区間で区分的連続なとき、$f$は$I$上で区分的$C^n$級と言う。

1.1.2 各関数の定義

三角関数の略記

以下の三角関数を用いる。
$$ \tan x=\frac{\sin x}{\cos x},\qquad \cot x=\frac{\cos x}{\sin x} $$
$$ \sec x=\frac{1}{\cos x},\qquad \csc x=\frac{1}{\sin x} $$
それぞれ、分母が$0$にならない範囲で定義する。

逆三角関数

正弦関数を$[-\pi/2,\,\pi/2]$に制限した関数の逆関数を$\arcsin$、余弦関数を$[0,\,\pi]$に制限した関数の逆関数を$\arccos$、正接関数を$(-\pi/2,\,\pi/2)$に制限した関数の逆関数を$\arctan$という。
それぞれの定義域と値域は
$$ \arcsin:[-1,\,1]\to\left[-\frac{\pi}{2},\,\frac{\pi}{2}\right] $$
$$ \arccos:[-1,\,1]\to[0,\,\pi] $$
$$ \arctan:\R\to\left(-\frac{\pi}{2},\,\frac{\pi}{2}\right) $$
である。

双曲線関数

実数$x$に対して
$$ \sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2},\qquad \cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2} $$
と定める。また、
$$ \tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x},\qquad \sech x=\frac{1}{\cosh x} $$
と定める。$x\ne0$に対して
$$ \coth x=\frac{\cosh x}{\sinh x},\qquad \csch x=\frac{1}{\sinh x} $$
と定める。

逆双曲線関数

$\sinh:\R\to\R$の逆関数を$\operatorname{arsinh}$という。
$\cosh$を$[0,\infty)$に制限した関数の逆関数を$\operatorname{arcosh}$という。
$\tanh:\R\to(-1,1)$の逆関数を$\operatorname{artanh}$という。
これらは対数を用いて
$$ \operatorname{arsinh}x=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\qquad(x\in\R) $$
$$ \operatorname{arcosh}x=\ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)\qquad(x\ge1) $$
$$ \operatorname{artanh}x=\frac12\ln\frac{1+x}{1-x}\qquad(|x|<1) $$
と表せる。

1.2 基本的な積分公式

1.2.1 基本的な定理

微積分の基本定理

$f$を$[a,b]$上の区分的連続関数とする。
(1) $\dps F(x)=\int_a^x f(t)\,dt$とおくと、$F$は$[a,b]$上連続であり、$f$が連続な内点$x$では微分可能で
$$ F'(x)=f(x) $$
が成り立つ。
(2) $F$が$[a,b]$上連続で、$f$が連続なすべての内点$x$において微分可能であり、$F'(x)=f(x)$を満たすならば
$$ \int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$$
が成り立つ。

置換積分の公式

区間$I\subseteq\R$において、$f(x)$は$I$上連続とする。
このとき、関数$g(x):[a,\,b]\to I$が$[a,\,b]$上連続かつ、区分的$C^1$級ならば、次の置換積分の公式が成り立つ。
$$ \int_a^b f(g(x))g'(x)\,dx=\int_{g(a)}^{g(b)} f(x)\,dx $$

部分積分の公式

$a\leq c< d\leq b$とする。関数$f(x),\,g(x)$が$[a,\,b]$上連続かつ、区分的$C^1$級ならば、次の部分積分の公式が成り立つ。
$$ \int_c^d f(x)g'(x)\,dx = \bkk{ f(x)g(x) }_c^d - \int_c^d f'(x)g(x)\,dx $$

繰り返し部分積分の公式

$n\geq 1$とし、$f(x),\,g(x)$は$[a,\,b]$上で$C^n$級とする。
$$ \int_a^b f(x)g^{(n)}(x)\,dx = \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k \bkk{f^{(k)}(x)g^{(n-k-1)}(x)}_a^b + (-1)^n\int_a^b f^{(n)}(x)g(x)\,dx $$

1.2.2 各関数の導関数・不定積分

以下、積分定数を$C$とする。

冪乗関数の不定積分

$x>0$、$\alpha\in\R\setminus\{-1\}$に対して
$$ \int x^\alpha\,dx=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C $$
が成り立つ。また、$x\ne0$に対して
$$ \int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C $$
が成り立つ。

指数関数の不定積分

$$ \int e^x\,dx=e^x+C $$
$a>0$かつ$a\ne1$に対して
$$ \int a^x\,dx=\frac{a^x}{\ln a}+C $$
が成り立つ。

対数関数の不定積分

$x\ne0$に対して
$$ \int\ln|x|\,dx=x\ln|x|-x+C $$
が成り立つ。特に、$x>0$では
$$ \int\ln x\,dx=x\ln x-x+C $$
となる。

三角関数の不定積分

$$ \int\sin x\,dx=-\cos x+C $$
$$ \int\cos x\,dx=\sin x+C $$
$$ \int\frac{1}{\cos^2x}\,dx=\tan x+C $$
$$ \int\frac{1}{\sin^2x}\,dx=-\cot x+C $$
$$ \int\tan x\,dx=-\ln|\cos x|+C $$
$$ \int\cot x\,dx=\int\frac{1}{\tan x}\,dx=\ln|\sin x|+C $$
$$ \int\sec x\,dx=\int\frac{1}{\cos x}\,dx=\ln|\sec x+\tan x|+C=\ln\abs{\frac{1+\sin x}{\cos x}}+C $$
$$ \int\csc x\,dx=\int\frac{1}{\sin x}\,dx=\ln|\csc x-\cot x|+C=\ln\abs{\frac{1-\cos x}{\sin x}}+C $$

逆三角関数型の不定積分

$a>0$に対して
$$ \int\frac{1}{a^2+x^2}\,dx=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C $$
が成り立つ。
また、$a>0$かつ$|x|< a$に対して
$$ \int\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\,dx=\arcsin\frac{x}{a}+C $$
が成り立つ。

対数関数型の不定積分

以下、$a>0$とする。$x\ne\pm a$に対して
$$ \int\frac{1}{a^2-x^2}\,dx=\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{a+x}{a-x}\right|+C $$
が成り立つ。$x\in\R$に対して
$$ \int\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}\,dx=\ln\left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right)+C $$
が成り立つ。$|x|>a$に対して
$$ \int\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}\,dx=\ln\left|x+\sqrt{x^2-a^2}\right|+C $$
が成り立つ。

根号を含む関数の不定積分

以下、$a>0$とする。$x\in\R$に対して
$$ \int\sqrt{x^2+a^2}\,dx=\frac12\left(x\sqrt{x^2+a^2}+a^2\ln\left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right)\right)+C $$
が成り立つ。$|x|>a$に対して
$$ \int\sqrt{x^2-a^2}\,dx=\frac12\left(x\sqrt{x^2-a^2}-a^2\ln\left|x+\sqrt{x^2-a^2}\right|\right)+C $$
が成り立つ。$|x|< a$に対して
$$ \int\sqrt{a^2-x^2}\,dx=\frac12\left(x\sqrt{a^2-x^2}+a^2\arcsin\frac{x}{a}\right)+C $$
が成り立つ。

双曲線関数の基本公式・不定積分

基本公式
$$ \cosh^2x-\sinh^2x=1 $$
$$ 1-\tanh^2x=\sech^2x $$
$$ \frac{d}{dx}\sinh x=\cosh x,\qquad \frac{d}{dx}\cosh x=\sinh x $$
$$ \frac{d}{dx}\tanh x=\sech^2x $$
不定積分
$$ \int\sinh x\,dx=\cosh x+C $$
$$ \int\cosh x\,dx=\sinh x+C $$
$$ \int\sech^2x\,dx=\tanh x+C $$
$$ \int\csch^2x\,dx=-\coth x+C $$
$$ \int\tanh x\,dx=\ln(\cosh x)+C $$
$$ \int\coth x\,dx=\ln|\sinh x|+C $$
$$ \int\sech x\,dx=\arctan(\sinh x)+C $$
$$ \int\csch x\,dx=\ln\left|\tanh\frac{x}{2}\right|+C $$

逆双曲線関数の微分

$$ \frac{d}{dx}\operatorname{arsinh}x=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\qquad(x\in\R) $$
$$ \frac{d}{dx}\operatorname{arcosh}x=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\qquad(x>1) $$
$$ \frac{d}{dx}\operatorname{artanh}x=\frac{1}{1-x^2}\qquad(|x|<1) $$

逆双曲線関数の不定積分

$$ \int\operatorname{arsinh}x\,dx=x\operatorname{arsinh}x-\sqrt{1+x^2}+C $$
$$ \int\operatorname{arcosh}x\,dx=x\operatorname{arcosh}x-\sqrt{x^2-1}+C\qquad(x>1) $$
$$ \int\operatorname{artanh}x\,dx=x\operatorname{artanh}x+\frac12\ln(1-x^2)+C\qquad(|x|<1) $$

1.2.3 定積分の対称性

King's Property

$a< b$とし、$f$は$[a,b]$上でリーマン積分可能とする。このとき
$$ \int_a^b f(x)\,dx=\int_a^b f(a+b-x)\,dx $$
が成り立つ。したがって
$$ \int_a^b f(x)\,dx=\frac12\int_a^b\left(f(x)+f(a+b-x)\right)\,dx $$
である。

対称な区間での積分

$a>0$とし、$f$は$[-a,a]$上でリーマン積分可能とする。
$f$が偶関数、すなわち$f(-x)=f(x)$を満たすならば
$$ \int_{-a}^a f(x)\,dx=2\int_0^a f(x)\,dx $$
が成り立つ。
$f$が奇関数、すなわち$f(-x)=-f(x)$を満たすならば
$$ \int_{-a}^a f(x)\,dx=0 $$
が成り立つ。