競技積分サイトIntegralisについて

0.1 Integralisとは

Integralisとは

Integralisは、積分問題をオンラインで解き、その成績を競う競技数学サイトです。問題文には原則として求める積分だけが示され、解法を自分で考えて、計算した最終的な値を提出します。
問題は、必要となる数学的知識・手法に応じて、二つのDivisionに分かれています。

BASIC：高校数学と初等的な一変数解析を中心に、置換積分・部分積分・式変形などで解く問題
ADVANCED：パラメータ積分・級数展開・複素解析・積分変換・特殊関数などを本質的に用いる問題

各問題には、Division内での難しさを表すDifficulty（1〜10）が設定されています。Divisionは単純な難易度の区分ではありません。
コンテストへの参加や過去問の演習に加えて、自作問題の投稿もできます。積分を解く楽しさと、積分を通して広がる数学に触れられる場所です。
詳しくは、運営による 紹介記事 をご覧ください。

この本の目的

この本は、Integralisの問題を通して、積分の技法と解法を見つける考え方を学ぶことを目的としています。公式や解答だけでなく、着眼点や適用条件も解説し、別の問題にも活かせる理解を目指します。
積分の面白さを伝え、Integralisへの参加や、さらに数学を学ぶきっかけになれば幸いです。

この本の読み方

各記事はテーマごとに、基本事項や公式を説明した後、関連する問題とその解答を紹介する構成です。初めから順に読んでも、興味のあるテーマから読んでも構いません。必要な予備知識は、各記事で案内します。
記事内の問題には「3.1」「3.2」のように番号を付け、出典として大会名・大会の問題番号・難易度・作問者を記載します。この番号は、元の大会での問題番号とは別のものです。
各記事には解答が含まれます。 まずは自分で問題に取り組み、その後で着眼点や解答を読むことをおすすめします。正解した場合も、別解や振り返りを通して考え方を広げてみてください。

0.2 目次

各テーマの記事では、基本事項や公式を解説した後、関連する問題を紹介します。興味のあるテーマから読み進めてください。
以下は掲載予定の構成です。公開した記事には、順次リンクを追加します。

導入・基本の積分法

1: 基本の定義・公式
2: 置換積分の基本
3: 部分積分
4: 部分分数分解

初等関数と式変形

5: 頻出積分
6: 三角関数
7: 双曲線関数
8: 逆三角関数・逆双曲線関数

対称性・置換テクニック

9: King's Property・区間対称性・周期性
10: 一次分数変換・Möbius変換
11: Weierstrass置換・半角正接置換
12: Euler置換・無理式の有理化
13: Chebyshevの定理
14: Cauchy–Schlömilch変換・Glasserの主定理
15: 原始関数推測・微分からの逆算

場合分け・離散的な構造

16: 絶対値・最大最小・区分関数
17: 床関数・天井関数・小数部分
18: 漸化式・関数方程式を利用する積分

パラメータを利用する積分

19: パラメータ積分
20: Frullani積分
21: Fubiniの定理

級数・和・無限積

22: 級数展開・項別積分・総和法
23: 無限積

積分変換

24: Fourier級数
25: Fourier変換
26: Laplace変換
27: Mellin変換

複素解析

28: 留数定理と複素積分

特殊関数

29: ガンマ・ベータ・ポリガンマ関数
30: Riemannゼータ関数
31: 対数・ポリログ
32: 正弦積分・余弦積分
33: 指数積分
34: 誤差関数・Fresnel積分
35: Bessel関数
36: Gauss超幾何関数
37: 完全楕円積分
38: Airy関数

現状の目次になります。今後、削除や編集などが行われます。

0.3 参考資料・関連リンク

Integralis公式:
Integralis公式サイト
ルール・ガイド
ヘルプ・参加方法
運営による紹介記事

過去問や答案表記辞典などへは、公式の「ルール・ガイド」から進めます。大会に参加する際は、最新のルールと各大会の案内をご確認ください。