勉強のやる気がでない苦手な人向けのものです。数強にはオススメしません。勉強ではなく、面白い数学の話を聞く感じで学べます。厳密性はありません。（随時更新）

覚えない高校数学


# 複素数平面

## 複素数平面ってなに？

&&&rem 複素数は実数も含むし、純虚数も含むよ！

&&&



### 複素数をすべてを平面上の座標であらわしたもの！
$a+bi$を$(x,y)=(a,b)$に対応させる！

#### 例えば...
$1+i$は$(1,1)$
$3$は$(3,0)$
$2i$は$(0,2)$って感じだね
![](/uploads/mathdown/W77CtLgIzv2e8IwWZPV1.png)


## $(1+i)^n$の秘密

#### $(1+i)^n$の小さな$n$について値を調べてみよう
$(1+i)^1=1+i$
$(1+i)^2=1+2i-1=2i$
$(1+i)^3=(1+i)(1+i)^2=-2+2i$
$(1+i)^4=((1+i)^2)^2=-4$
これらを複素平面にプロットすると...
![](/uploads/mathdown/qO5T7oN1tQlWxQlrW9A6.png)
nが増えるにつれて原点の周りをくるくる回ってる！
**原点からの距離と角度(x軸始点)**で見てみると、

$(1+i)$は距離が$\sqrt2$で角度が$45$度
$(1+i)^2$は距離が$2$で角度が$90$度
$(1+i)^3$は距離が$2\sqrt2$で角度が$135$度
$(1+i)^4$は距離が$4$で角度が$180$度

...
距離は$\sqrt2$ずつかけ算してて、角度は$45$度ずつ足し算してる！

これからわかることは、
&&&
ある複素数に複素数$z$(距離$r$角度$θ$)をかけると、
距離が$r$倍になり、角度は$θ$をプラスする！
&&&
これから、

&&&
距離$1$($r=1$)の複素数の掛け算をすると原点中心に回転できる！！
&&&


## $x^n=1$の秘密

#### $x^n=1$をいろんな$n$について解いてみよう！

### $x^2=1$
$x^2-1=0$
$(x-1)(x+1)=0$
$x=\pm1$
![](/uploads/mathdown/vvpw02jysUDDrotFM8Kb.png)
### $x^3=1$
$x^3-1=0$
$(x-1)(x^2+x+1)=0$
$x=1,\frac{-1\pm\sqrt3i}{2}$
![](/uploads/mathdown/Rompen3cuW2NQK7Gebgq.png)
### $x^4=1$
$x^4-1=0$
$(x^2-1)(x^2+1)=0$
$(x-1)(x+1)(x-i)(x+i)=0$
$x=\pm1,\pm i$
![](/uploads/mathdown/ffgb0whrxEauWZ8lolXn.png)

これらの複素平面上の点を見てみると

#### 半径$1$の円周上に、$(1,0)$を中心に等間隔で並んでる！！
つないだら正$n$角形ができそう！！

でも、よくよく考えたら当たり前だ。
複素数の掛け算は距離は$×r$、角度は$+θ$だから
距離は$n$乗して$1$になる実数じゃないといけないし、
角度も$n$倍して$0(2nπ,nは整数)$にならなきゃいけないんだから。


&&&
例えば$n=3$
$r^3=1,r$は実数だから$r=1$
$3θ=0,2π,4π,6π,...$、$θ$は$0,\frac23π,\frac43π,2π,...$
$2π$から先はかぶってるから$θ=0,\frac23π,\frac43π$

距離$r$、角度$θ$の複素数は$r($cos$θ+i$sin$θ)$と表せれるから
$x^3=1$の解は
cos$0$+$i$sin$0$
cos$\frac23π$+$i$sin$\frac23π$
cos$\frac43π$+$i$sin$\frac43π$
の3つとわかる！！
&&&


## 点と点の角度を調べてみよう！

どんな複素数(距離$r$角度$θ$)をかけたかわかれば、
点と点の角度がわかるね！！

じゃぁ、$1+i$から$3i$まで！
$(1+i)×複素数z(距離r角度θ)=3i$
$z=\frac{3i}{1+i}$、、、分母の$i$を消すぞ！！
$z=\frac{3i(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{3+3i}2=\frac3{\sqrt2}(\frac{\sqrt2}2+\frac{\sqrt2}2i)$
$=\frac3{\sqrt2}($cos$\fracπ4+i$sin$\fracπ4)$

つまり
$3i$というものは
原点から$1+i$までの距離を$\frac3{\sqrt2}$倍し
原点中心に$\fracπ4$回転させたものだ！
![](/uploads/mathdown/cvwU1cYV10T5prPXtEGk.png)

&&&rem 
原点からなので、ある複素数中心にどれだけ回転かを調べたいときは、
中心となる複素数が原点に移行するように平行移動しよう！
例：α中心にβからγ、$\frac{γ-α}{β-α}$とすればよい
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## 複素数のあれこれを学ぼう！
複素数$z$を実数$a,b$を用いて
$z=a+bi$と置くぜ！

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絶対値$ \left| z \right|$
原点から$z$までの距離を表すぜ
シンプルに"距離"って考えとくのがオススメだぜ
$ \left| z \right|=\sqrt{a^2+b^2}$で求まるぜ
これが距離$r$のことだな
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きょうえき$\overline{z} $
複素数$z$の共役な複素数を表すぜ
$\overline{z}=a-bi$で求まるぜ

こんなことができるよ↓
$\overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w}$
$\overline{zw}=\overline{z}×\overline{w}$
$\overline{z+1+i}=\overline{z}+1-i$
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&&&
$z\overline{z}=|z|^2$
$(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$より証明されるぜ
式変形でよく使う
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&&&
$|z-a|=r$
$ z$から$a$の距離が$r$って意味だ。
$a,r$が定数のとき、
複素平面上で中心$a$、半径$r$の円上の複素数すべてを表すぜ。
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&&&
$|zw|=|z||w|$
複素数の掛け算の絶対値はそれぞれの絶対値に分けれるってことだ。
$z$を距離$r_z$角度$θ_z$,$w$を距離$r_w$角度$θ_w$の複素数だとすると、
両方とも距離は$r_zr_w$ってことからわかるね。
&&&


## 終わり！！
これから修正したり、加筆したりするとおもう！
付け足した方がいい情報があったら教えてください！


覚えない高校数学

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