読む前の準備、読んでいる最中の準備

高校数学では登場しなかった表現を中心に、本書で登場する順に紹介していきます。
知らない表現が出てきたときに、ここに立ち返ってみてみましょう。
パソコンなら画面右部に、スマホなら画面上部のタイトル名から目次を見れます。
追加して欲しい情報があればコメントでもTwitter(新X)のDMでも気軽に僕にお伝えください。

板書略記

黒板に書く量を減らす目的で使われます。
いずれ自主ゼミで使うことになります。
慣れるために本記事で使っていきます。

省略形	用語	意味	詳細
Def./Dfn.	Definition	定義	何かから与えられるものではなく、「まず、こう置く」というもの
Prop.	Proposition	命題	真か偽かの断定文
Thm./Th.	Theorem	定理	命題の中でも特に有用なもの。証明が付いている。
Ex./Exm.	Example	例	定義や定理などを説明用に具体例に落としたもの
Lem.	Lemma	補題	証明で使うための簡単な定理
prf./pf.	Proof	証明	慣習により小文字のpから始まることが多い
N.B.	Nota Bene	注意	重要な注意。間違えやすい箇所、例外、後の論理で重要な考え方。
Rem./Rmk.	Remark	注意	補足。別の見方、直感的説明、例の紹介、証明後の軽いコメント。

記号・用語(巻頭viページ)

$\varnothing$$\cdots$空集合

高校数学でありましたね。集合のうち要素を何も持たない集合です。

$\mathbb{N}\cdots$自然数全体の集合

自然数を表す英語の"N"atural numberの頭文字。
$1,2,3,4,5,...$のような自然数の集まり。
大学数学ではこれに0を含めたりすることもあります。

$\mathbb{Z}\cdots$整数全体の集合

整数を表すドイツ語の"Z"ahlenの頭文字。
(整数は英語でIntegerだが、虚数を意味するImaginary numberとの混同を避けるためか。)
$...,-2,-1,0,1,2,3,...$のような整数の集まり。

$\mathbb{Q}\cdots$有理数全体の集合

割り算の「商」を意味する英語の"Q"uotientの頭文字。
(有理数は英語でRational numberだが、実数の$\mathbb{R}$と避けるためか。)
整数÷整数であらわされる数字の集まり。

$\mathbb{R}\cdots$実数全体の集合

実数を表す英語の"R"eal numberの頭文字。
数直線上にある数字すべての集まり。
今までの自然数、整数、有理数はもちろんすべて含み、加えて無理数($\sqrt2,e,π$などなど)も入ってきます。
実数は二乗すると$0$以上になるという性質がある。

$\mathbb{C}\cdots$複素数全体の集合

複素数を表す英語の"C"omplex numberの頭文字。
注意だが、実数も複素数に含まれる。
例としては$0,\sqrt3,\sqrt{π},i,i+e^{iπ}$などだ。変なものを入れてしまったが、恐らく君の思いつく数字は全て複素数の範囲だろう。

Rem. 集合の包含関係と包含記号の確認

集合と集合の包含関係は$\subset$で表される。
大小関係の$\lt$みたいに大きい方が開けてると思えば覚えやすい。
数の集合に用いればこのようになる。
$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$

$\#S\cdots$集合$S$の元の個数

元というのは要素と意味は変わらない

Ex.

集合$A$を$A=${$x\in\mathbb{N} \ \vert \ 1\le x\le5$}すなわち、$A=${$1,2,3,4,5$}とするとき$\#A=5$
空集合なら$\#\varnothing=0$

$A\equiv B \ (mod \ N)\cdots$$A$と$B$は$N$で割った余りが等しい

いわゆる合同式というやつである。
恐らく高校範囲なので、詳しく知りたい方は自分でネットで調べて勉強してほしい。が、ある程度は記事内で補足するので恐れないでかまわない。
$3\equiv8 \ (mod \ 5)$という具合である。$-2\equiv8 \ (mod \ 5)$のように負の数を入れるのもありである。
こういう余りを考えるやり方は、本書で有限体として似た形で登場するので慣れていて欲しい。

$a \ \vert \ b\cdots $整数$a$が整数$b$を割り切る

具体的な数字を入れるなら$2 \ \vert \ 8$といった具合である。
本書にこの表記があっただろうか$\ldots?$
競技数学の整数問題で少し見かけたことはあるが。

写像と全射・単射・全単射

写像について

写像とは定義域すべての値に対して、ただ一つの値を返す対応である。行き先は被っても良い。
ポイントは定義域すべてに対応しているということと、たった一つの値を返すこと、である。
例えば全ての実数に対して定義された$f(x)=xの多項式$、などまさに写像である。
いくつか例を見てみよう。

Ex.

$f(x)=x^2\cdots$定義域が$\mathbb{R}$(実数全体)の写像である
$f(x)=\sqrt{x}\cdots$定義域が$\mathbb{R}_{\ge0}$(0以上の実数)の写像である
$f(x)=\frac{1}{x}\cdots$定義域が$\mathbb{R}_{\ne0}$(0を除く実数)の写像である

全射、単射、全単射

$f$を$A$から$B$への写像、つまり$f:A\rightarrow B$としたとき
・$B$のどれもが$A$からの行き先として与えられているなら全射$(B$が余らない$)$
・異なる$A$から出た行先が必ず異なる$B$になるのなら単射$($行先が被らない$)$
・全射かつ単射なら全単射$($すべての$A$と$B$が1対1対応している$)$
例を見た方が早い。

Ex.

$f_1,f_2,f_3,f_4,f_5$を、それぞれ次の式で定義された$\mathbb{R}$から$\mathbb{R}$への写像とする：
$f_1(x)=x+1,\ f_2(x)=x^3,\ f_3(x)=x^3-x,$
$f_4(x)=a^{x}\ (a\gt0,\ a\ne1),\ f_5(x)=x^2$

$f_1,f_2$は全射であり単射であるので全単射である。
$f_3$は全射だが、行き先が被る(例えば$x=-1,0,1$)ので単射ではない。
$f_4$は指数関数、$x$ごとに異なる値を取るので単射だが、値域は$y\gt0$のみで実数をカバーできていないので全射ではない。
$f_5$は異なる$x$でも同じ行き先を持つ(例えばx=-1,1)ので単射ではなく、値域は$y\ge0$のみで実数をカバーできていないので全射でもない。