指数写像
\ref が残ってる
指数写像
Lie群$G$に対し、$\R$は単連結Lie群だから命題\ref{prop:311}から次は全単射：
$$\hom(\R,G)\ni\phi\longmapsto\phi_*\in\hom(\R,\g)$$
故に、$X\in\g$に対し$d\phi_X(\pdv{t})=X$なる準同型$\phi_X:\R\to G$が一意的に存在する。一意性から$\phi_X(st)=\phi_{sX}(t)$が成り立つため、上の同型を記述するためには次のデータで十分である：
$X\in\g$に対し、$\exp(X)\in G$を$\exp(X):=\phi_X(1)$と定める。
つまり、$\phi_X(t)=\exp(tX)$となっている。
- $\exp(tX)\exp(sX)=\exp((s+t)X),\ \exp(-X)=\exp(X)^{-1}$
- $\phi_X$は$X$の積分曲線
- $X\in\g$の時間発展$\Phi_X^t:G\to G$は$\Phi_X^t(x)=x\exp(tX)$
- $\exp:\g\to G$は$C^\infty$級であり、$d\exp:\g_0\to G_e$は$\id_{\g}$
特に、左不変ベクトル場は自動的に完備（時間有限で爆発しない）である。
(1)は$\phi_X(t)=\exp(tX)$から明らか。(2)は次から分かる：
$$(d\phi_X)_t\qty(\pdv{t})=dL_{\phi_X(t)}(d\phi_X)_e\qty(\pdv{t})=dL_{\phi_X(t)}(X_e)=X_{\phi_X(t)}$$
更に、$X$の左不変性から、積分曲線を左平行移動したものも積分曲線となって(3)が分かる。
(4)は$\g_0$の曲線の同値類の代表元として$t\mapsto tX$を選べば、次のように計算できる。
$$(d\exp)_0(X)=\pdv{t}\exp(tX)\lvert_{t=0}=X_e$$
Lie群の準同型$\phi:G\to H$に対し次は可換（特に、群の$\exp$は部分群の$\exp$と一致）：
$\xymatrix{
G\ar[r]_\phi & H\\
\g\ar[u]^\exp\ar[r]^{\phi_*}&\h\ar[u]_\exp
}$
$$\pdv{t}\phi\circ\phi_X(t)\lvert_{t=0}=d\phi(X_e)=\phi_*(X)_e$$
より、一意性から$\phi\circ\phi_X=\phi_{\phi_*X}$となる。
部分Lie群$H\leq G$と$X\in\g$に対し
$$\exp({}^\forall tX)\in H\iff X\in\h$$
前定理の可換性を$\iota:H\hookrightarrow G$に使えば、$(\Leftarrow)$が出る。逆は、\refより$\phi_X$は$H$を経由するから
$\xymatrix{
\R\ar[r]_{\phi_X}\ar[rd]_{\exists\psi} & G\\
& H\ar[u]
}$
$$X=\pdv{t}\phi_X(t)\lvert_{t=0}=d\iota d\psi\qty(\pdv{t})\in \Im (d\iota)=\h$$
$G=GL(n,\R)$の場合$\g=M(n,\R)$だが、指数写像$\exp$と行列の指数関数は一致する。これは行列の指数関数が積分曲線になっていることを級数の項別微分で確かめれば良い。
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