リー群リー環対応をフロベニウスの定理（積分多様体）から説明するノートです。リー群を微分（単位元での接空間を取る）とリー環という代数構造が生えますが、逆にリー環を積分（フロベニウスの定理、積分曲線の高次元化）することでリー群を得ます。これが（被覆写像分を除き）一対一対応になっているというのが主張です。主に[[War]]の三章までの焼き直しになります。いずれ閉部分群定理まで書くかもしれない。

リー群のノート

# 記法と注意
（$C^\infty$級）多様体には連結性と第二可算性を課す。**単射ではめ込まれた部分多様体**を単に「部分多様体」と呼び、「埋め込まれた部分多様体」とは区別する。
多様体（とその上の何か）に対するある性質が**局所的**であるとは、任意の開被覆$\{U_i\}$に対し「$\forall i\ U_i$で成立$\iff$全体で成立」となることとする。



## 記法
- 多様体は$M,N$、部分多様体は$\iota:P\hookrightarrow M$で表す。$k\leq n$は大抵その次元。
- $C^\infty$級写像、$C^\infty$級関数は$\phi,\psi:M\to N$、$f,g:M\to\R$で表し、明記しなければ$C^\infty$級性を仮定する。
- 近傍はどの点の周りかを表して$U_p,U_q$などと書く。局所座標は$\tau,\sigma:U\to\R^n$などを使い、簡単のため像は常に$\R^d$全体とする。



## 部分多様体
$\iota:P\hookrightarrow M$について**はめ込み$\Leftarrow$単射なはめ込み$\Leftarrow$埋め込み**という論理包含がある。ここではめ込みとは各点の微分が単射であることで、埋め込みとは更に像への同相を課したものであった。普通は後者を部分多様体と定めるが、Frobeniusの定理から来る積分多様体は埋め込みでないから真ん中を部分多様体と呼ぶ。もっと思い出すために簡単な例を軽く紹介する。

&&&ex はめ込み not 部分多様体
自己交叉するものは全てこれである。
&&&

&&&ex 部分多様体 not 埋め込み
- ８の字のやつ（$\R$からの単射像だが原点近傍が無限遠方を含む。）
![８の字](/uploads/mathdown/2G3zcp1QAG23mTJW8QNg.png)
- トーラスにめっちゃ巻き付くやつ。$\iota:\R\ni t\longmapsto(\exp(2ti),\exp(2\alpha ti))\in \mathbb{T}^2$ を$\alpha\in\R\setminus\mathbb{Q}$について考えると、稠密になって滅茶苦茶な絵になる。
![無理数回転](/uploads/mathdown/EkzrImB5umMidFhUlqiT.png =200)
前者は悪い、後者は良い部分多様体である。これは$X:=\pdv{\theta_1}+\alpha\pdv{\theta_2}$というベクトル場の積分曲線であるが、Frobeniusの定理とは積分曲線の次元を上げた（つまり$k$個のベクトル場を積分してできる$k$次元の部分多様体）についての定理である。
&&&

部分多様体$\iota:P\hookrightarrow M$は単射だから、$\iota$とは**$M$の部分集合$P$とその上の多様体構造の組**と言ってもよい。しかし実際には$P\subset M$を指定するだけで「$\iota$が$C^\infty$級になる$P$上の多様体構造は一意」となることが多い。例えば、埋め込まれた多様体は普通（局所的に$\R^k\subset\R^m$に微分同相な）部分集合$P\subset M$として定まるが、実際そのような$P$についてはそうなっているため単なる部分集合として定義する。一般の部分多様体については次のような反例があるが、Frobeniusの定理から来る極大積分多様体は局所的に$\R^k\times\{\text{可算部分集合}\}\subset\R^n$と微分同相であるから、似た理由でこちらも正しい。

&&&ex 複数の多様体構造が入る部分多様体
$M:=\R^2,\ P$を８の字とする。図のように二通り$\R$からの$C^\infty$像だと思える：
![８の字のやつ](/uploads/mathdown/cEKlGN2Ehz6y8vCfcaXX.png)
が、$\iota'=\iota\circ\text{hoge}$となる$\R$の微分同相hogeは存在しない。
&&&

&&&rem 開集合への制限
開集合$U\subset M$と部分多様体$\iota:P\hookrightarrow M$に対し、$P\cap U:=\iota^{-1}(U)\hookrightarrow U$もそう。
&&&
これは当たり前なのだが、（$M$について）局所的な話に持ち込むときに有用。


#多様体構造が一意的になる部分集合
まずは逆関数定理を呼び出す。どちらも、ある点の微分がopenな条件を満たす場合に局所的な**標準形**（自明な線形写像）の存在を保証する。
&&&thm 逆関数定理
$\phi:M\to N$と$p\in M,\ q:=\phi(p)$について
(1) 微分$d\phi_p:T_pM\to T_qN$が単射なら、ある局所座標$(U_p,\tau),(U_q,\sigma)$が存在し
$\R^k\xrightarrow[\tau^{-1}]{\cong} U_p\xrightarrow{\phi}U_q\xrightarrow[\sigma]{\cong}\R^n$を標準的な（線形）包含写像とできる。
(2) 微分$d\phi_p:T_pM\to T_qN$が全射なら、ある局所座標$(U_p,\tau),(U_q,\sigma)$が存在し
    $\R^k\xrightarrow[\tau^{-1}]{\cong} U_p\xrightarrow{\phi}U_q\xrightarrow[\sigma]{\cong}\R^n$を標準的な（線形）全射とできる。
&&&

Frobeniusの定理で得られる積分多様体は次の仮定を満たすので、部分多様体を気にせず単に部分集合として書く。
&&&prop この本の部分多様体は多様体構造が一意的
$P\subset M$が局所的に$\R^k\times\{\text{可算}\}\subset\R^n$に含まれるとする。つまり、$P$の各点$p$に対しある**$M$内の**局所座標$(U_p,\tau)$と可算部分集合$D\subset\R^{n-k}$が存在し、$\tau(U_p\cap P)\subset \R^k\times D$となっている。このとき、$P$が部分多様体となる（つまり$\iota:P\to M$が$C^\infty$級かつはめ込みとなる）多様体構造は一意的である。
&&&

&&&def スライス
ある局所座標$(U,\tau)$と$d\in\R^{n-k}$を用いて$S:=\tau^{-1}(\R^k\times\{d\})$と書ける部分集合$S\subset M$を**スライス**と呼ぶ。
&&&

$P$上の部分多様体構造を固定する。$\iota:P\to M$に対し逆関数定理を用いることで、各点$p\in P$に対し$P$に含まれるスライス$S\subset M$が存在し、そのような開集合$S$と$S\cong\R^k$全体がアトラスとなる。しかし、全てのスライス$S\subset P$がその$P$の部分多様体構造の局所座標となるわけではなく、あくまでそいつらの一部が開被覆になるというだけである（８の字参照）。というわけで示すべきことは「（アトラスに）一部を許せば全部入る」である。
実際に示すのはもっと強い命題である（$N=P$とすれば、$\id:P\to P$がどんな二つの多様体構造についても$C^\infty$級になる）。

&&&prop 自動的$C^\infty$級性
$P\subset M$が上の仮定を満たすとする。$P$を部分多様体とする多様体構造を一つ固定する。$\phi:N\to P$が$\phi:N\to M$として$C^\infty$級なら元の$\phi$も$C^\infty$級性。
&&&

&&&prf
$C^\infty$級性が局所的性質という理由で、$M=\R^n, P\subset\R^k\times D$として良い。$\R^k\times D$は$D$の位相を忘れれば自明な多様体構造（と位相）が入るが、これは$\R^n$からの相対位相よりも細かい。「$P$が$\R^n$の部分多様体ならこの位相について開」と「開なら自動的$C^\infty$級」に分けて示す。
まず、$S\subset P$となるスライスは連結性からある$d\in D$で$S\subset\R^k\times\{d\}$となる。これは微分が消えてない$\R^k$から$\R^k$への話だから、$S\subset\R^k\times\{d\}$は開である。故に一つ目（とついでに$P$が$\R^k\times D$から誘導される多様体構造を持つこと）が分かる。
二つ目は$N$が連結な場合に示せばいい。同じ理由で$\phi(N)$は$\R^k\times\{{}^\exists d\}$に含まれているとしていい。普通の微積分の話で「$\R^n$を終域として滑らかなら$\R^k(\subset\R^n)$を終域として滑らか」である。
&&&

[War]では「$P$上の位相を決めれば部分多様体とする多様体構造が一意」とかも示していた。

記法と注意（特に部分多様体）

#積分曲線の高次元化

この頁を書く前までは計算をしない証明の方がいいと思っていましたが、素朴な感覚を上手く証明に落とし込めなかったので、[[Mor]]の2章の証明を読んだ方が良いかもしれません（唯一この頁の「直感的な説明」だけは価値があると思いますが）。

&&&rem 積分曲線
ベクトル場$X$の積分曲線$\gamma:(-\ve,\ve)\to M$とは$\dv{t}\gamma=X_{\gamma(t)}$を満たす曲線のこと。
$M$の各点に対しそこを通る積分曲線が存在し一意である、ODEの局所解の定理。
&&&
これの高次元版が**積分多様体**である。つまり、$k$個のベクトル場が与えられたらそれらを「積分」してできる部分多様体が存在したり存在しなかったりするのである。ただし、$k$個のベクトル場$X_1,\dots,X_k$として扱うのではなく、$D_x:=\span\qty{(X_1)_x,\dots,(X_k)_x}$という「各点に接空間の部分空間を滑らかに与えたもの」として扱う。これは$D$とは局所的には$M$からGrassman多様体$\Grass(n,k)$への写像だと思ってこれが$C^\infty$級と言っても、局所的には$k$個のベクトル場が$D_x$の基底になることと言っても、単に接束$TM$の部分束と言っても同じことである。こういう$D\subset TM$を**分布**と呼ぶ。
&&&def 積分多様体
$\iota:P\hookrightarrow M$が分布$D$の積分多様体であるとは、各$p\in P$に対し$d\iota_p(T_pP)=D_{\iota(p)}$となること。今頁より後は$\iota$を省略して単に$P\subset M$と書くが、はめ込まれた部分多様体である（が色々大丈夫という話が前頁の結論だった）。
&&&

&&&def 包合的
分布$D$とベクトル場$X$に対し、$X\subset D\overset{def}{\iff}\forall x\in M\ \ X_m\in D_m$と書く。
このとき、$D$が**包合的**とは$X,Y\subset D\Rightarrow [X,Y]\subset D$なること。
&&&
$X\subset D$は局所的な条件だから包合性も局所的である。特に、分布$D$の局所的な基底$X_1,\dots,X_k$を用いると、$X\subset D$とは「$X$が$C^\infty$級関数環係数で$X_i$の線形結合と書けること」、$D$が包合的とは「$[X_i,X_j]$が$X_k$の線形結合と書けること」である。リー環の場合は$\C$係数でこれが成り立ってるから次の定理から何らかしら多様体が取れる（実はリー群になる）というのが次頁のネタバレ。

&&&thm Frobeniusの定理
$M$の各点に対しその点を通る積分多様体が存在$\iff$包合性
&&&
右から左が本質的だが、次の図から同値が直感的に分かると思う。
![ベクトル場に沿って貼り合わせる図](/uploads/mathdown/EPr1fRnAoxrXsq0R7530.png)
まず、$[X,Y]$とは、$X,Y$の非可換性を表す量であった。時刻0で$x$を通る$X$の積分曲線の時刻$\ve$での点を$(1+\ve X)x$と書くと、$(1+\ve X)(1+\ve Y)x$と$(1+\ve Y)(1+\ve X)x$は一般には一致せず、その差が$\ve^2[X,Y]_x$くらいになる。
積分曲線とはベクトル場の矢印をなぞって曲線を描く操作だったのと同様、積分多様体とは$D_x$という微小な正方形をペタペタ貼り合わせていく操作となる。このとき貼り合わせていく順番が問題となる。
まず、$X\subset D$に対し$D_x$を$D_{(1+\ve X)x}$に動かす操作は「スライド」するだけで「上下方向のズレ」は生じない（これは$X_x\in D_x$だから）。つまり、$D_x$と$D_{(1+\ve X)x}$は貼り合わされるべきである。故に$X,Y\subset D$のとき$D_x,D_{(1+\ve X)x},D_{(1+\ve Y)x},D_{(1+\ve X)(1+\ve Y)x},D_{(1+\ve Y)(1+\ve X)x}$は貼り合っていて、$D_{(1+\ve X)(1+\ve Y)x}$と$D_{(1+\ve Y)(1+\ve X)x}$に上下方向のズレはないから、さっきの議論とは逆に$\ve^2[X,Y]_x\in D_x$となる。これは「積分多様体があれば包合的」を意味するが、逆に包合的であれば微小な正方形を貼り合わせていく順番にほぼ依存しないから積分多様体を構成することができる（上下左右の二次元分の動きにより二次より大きい誤差は無視できる）。



##前半
積分多様体の存在から包合性を言う。次の$\phi$-relatedは何故か便利。
&&&lem $\phi$-related
$\phi:N\to M$と$N,M$上のベクトル場$X',X$が$\phi$-relatedとは$\forall x\in N\ \ d\phi(X'_x)=X_{\phi(x)}$なること。
    このとき $(X',X)$と$(Y',Y)$が$\phi$-relatedならば$([X',Y'],[X,Y])$も$\phi$-related。
&&&
&&&prf
$[X,Y]f:=XYf-YXf$と微分作用素として定まっていたこと、上の条件は$\forall f\in C^\infty(M)\ \ X'(f\circ\phi)=(Xf)\circ\phi$と言い換えられることから計算ができる。
&&&

&&&prf $(\Rightarrow)$
積分多様体$\iota:P\hookrightarrow M$と$X,Y\subset D$に対し、$X_{\iota(x)},Y_{\iota(x)}\in D_x=d\iota(T_xP)$ on $x\in P$から、$X_{\iota(x)}=d\iota(X'_x),Y_{\iota(x)}=d\iota(Y'_x)$となるように$P$上のベクトル場$X'_x,Y'_x$が**局所的**には取れる。局所的と言ったら今まで$M$の位相についてだったが、ここだけ$P$の位相についてである。
先の補題から$[X,Y]_{\iota(x)}=d\iota([X',Y']_x)\in d\iota(T_xP)=D_{\iota(x)}$ となる。初めの$P$を取り換え、全ての点での結論を得る。
&&&


##後半
&&&lem
ベクトル場は非退化なら局所的な標準形を持つ。つまり$M$上のベクトル場$X$と$x\in M$に対し$X_x\neq0$なら$x$の局所座標$(U,\tau)$で$\tau_*X=\pdv{x_1}$とできる。
&&&
&&&prf
積分曲線は復習したが時間発展はしていないな、上では$1+\ve X$と書いたがちゃんと$\Phi:\R\times M\to M$の**部分関数**（$\{0\}\times M$の近傍でのみ定まる）$\Phi^t(x)$と書く。これの時間微分が$X$、つまり$\pdv{t},X$は$\Phi$-relatedである。$\Phi$を適当に$\R\times(\R^{n-1}\subset M)\cong\R^n$に制限すれば、逆関数定理から$\pdv{t},X$がある$\phi:\R^n\to M$で$\phi$-relatedになる。この逆写像が$\tau$。
&&&

$(\Leftarrow)$より少し強いことを示す。
&&&thm Frobeniusの定理（後半）
包合的な場合、上の補題が高次元化できる。つまり包合的な$D$と$x\in M$に対しある局所座標$(U,\tau)$で$\tau_*D=\span\qty{\pdv{x_1},\dots,\pdv{x_k}}$となる。
故に積分多様体$\iota:P\to M$は$\iota(P)$が局所的に$\subset\R^k\times\{\text{可算}\}$となって、前頁から部分多様体構造が一意的になる。
&&&
&&&prf
「任意の多様体$M$とその上の$k$次元包合的分布$D$について主張が成立」という命題を$k$についての帰納法で示す。まず、$D$の局所的な基底$\qty{X_1,\dots,X_k}$を取る。局所座標を取って$X_1=\pdv{x_1}$とし、更に$X_i\mapsto X_i-X_i(x_1)X_1\ (i=2,\dots,k)$とすれば$X_i(x_1)=0\ (i=2,\dots,k)$とできる。
$S:=\{x_1=0\}$とすると、$dx_1(X_i)=X_i(x_1)=0$より$X_2,\dots,X_k$は$S$上のベクトル場だと思える。この$S$上のベクトル場が貼る$k-1$次元分布に対する帰納法の仮定から$S$上の局所座標$(x_2,\dots,x_k)$が取れる。勿論$S$上の座標だが、$X_1=\pdv{x_1}$の時間発展$\Phi^t$により$M$上の座標に延ばす。
$S_t:=\{x_i=t\}$と置く。どちらも$k$次元だから$\pdv{x_2},\dots,\pdv{x_k}\in D$を示せばいい（$\pdv{x_1}\in D$に注意）。$S=S_0$上では取り方そのものであり、それ以外の$S_t$ではその時間発展であること、つまり右辺の時間発展での整合性 $D=\Phi^t_*(D)$ を示す。
状況を整理し直すために一度証明を切る。
&&&

&&&lem
包含的な$D$と非退化な$X\subset D$に対し$\Phi^t_*(D)=D$となる。
&&&
&&&prf
ここで微分同相$\phi$に対し$\phi_*(D)_p:=d\phi(D_{\phi^{-1}p})$である。主張を示すためには$\Phi^t_*(D)_p$というグラスマン多様体（$T_pM$の$k$次元部分空間全体）内の曲線の微分が各$p$で至る時間消えていたらいいが、$(\phi\circ\phi')_*D=\phi_*\phi'_*D$なので$t=0$でのみ消えればいい。
もう全部局所の話なので、$M=\R^n,\ p=0,\ T_pM=\R^n$と諸々単純化しておく。曲線$D(t)\in\Grass(n,k)$の$t=0$での微分が消えていないとき$\xi(t)\in D(t)$で$\xi'(0)\notin D(0)$となる曲線が取れる（下注）。今の場合、$\xi(t)\in\Phi^{-t}_*(D)_p$であり、$Y(t):=d\Phi^t(\xi(t))\in T_{\gamma(t)}M$は$X$の積分曲線$\gamma(t)$に沿ったベクトル場である。$Y$の曲線近傍への拡張を同じく$Y$と書くと、$\xi'(0)=\pdv{t}\lvert_{t=0}\Phi^t_*(Y)_p=[X,Y]_p\in D_p$となって矛盾。
&&&

&&&rem 
下注と書いたのは$\Grass(n,k)=\GL(n,k)/\GL(k)$という商（$\GL$とはfull rank行列全体の空間）の場合に接空間のレベルでも商になっているということから出るが、そういうことを感じながら具体的に基底を取って考えるともっと簡単に分かる。
&&&



#極大積分多様体
&&&thm 極大積分多様体
積分多様体は最大なものが取れる。つまり、包合的な$D$と$x\in M$に対し次を満たす積分多様体$P\subset M$が存在し一意である：
$x$を通る積分多様体$P'\subset M$に対し、$P'\subset P$であり$P$の位相でこれが開。
&&&
$D$を標準化する局所座標$\tau$に付随するスライス全体をアトラスとすることで集合としての$M$にめっちゃ非可分な$k$次元多様体構造が生え、これの$x$の連結成分を$P$とすれば最大性がconnectedness argumentから出る。$P$の第二可算性は「高々可算次数のグラフの連結成分は高々可算」をやるのだが、ちゃんと書くと長くなってしまった。
&&&prf
$D$を標準化する局所座標$(U,\tau)$に対し付随するスライス$U(d):=\tau^{-1}(\R^k\times\{d\}),\ d\in\R^{n-k}$は積分多様体である。（不連結でもいい）積分多様体$P$について第二可算性から$P\cap U$が$\{U(d)\}_d$の可算個の和に含まれるので、前頁とその証明から$P$上の部分多様体構造が一意であることと$P\cap U(d)$が$P$の位相で開であるが分かる。特に、別のスライス$P=U'(d')$について、$U'(d')\cap U(d)$が$U(d)$内で開であることと$(U(d),\tau),(U'(d'),\tau')$の変換関数が$C^\infty$級であることが分かる。
これで必要な議論は全て尽くした（証明前のスケッチの意味が通る）のだが、もうちょっと書く。
$M$の可算アトラス$\{(U_i,\tau_i)\}$であって$D$を標準化するものを取る。$M$の部分集合$P$に対し、$P$と交わる全ての$U_i(d)$と$P$の合併を取る操作を考える。最初のステップでは$P$は$x$を含む適当な$U_i(d)$であり、この操作を有限回行っても上段の理由で高々可算個のスライスの和であり、全ての$n$回目についての合併を$P$とする。これは第二可算である。
この$P$には合併をした$(U_i(d),\tau)$全体としてアトラスが入る、これがちゃんと多様体になることは上に書いたことから分かる。
最大性について、勝手な積分多様体$P'$が$P'\subset P$と分かれば、$P$の位相で開であることは自動的である（自動的$C^\infty$級性と次元が同じはめこみが開写像であること）。さて、これは$P'$の連結性から分かるが、$P$を（スライスの交わりに関する）グラフの連結成分と定めた一方、$P'$の連結性は位相的な連結性なので注意が必要だ。しかし$P'$は弧状連結なので、$[0,1]$のコンパクト性によって、$P'$の任意の点は上の合併操作有限回で$x$から到達できる。
&&&

Frobeniusの定理

#部分Lie群と部分Lie環の対応

以下ほとんどLie群に連結性を課しているので、一般のLie群についてはその単位元連結成分が連結Lie群（そして正規部分群）になることを注意しておく。特に付随するLie環が一致する（ので連結性は必要な仮定である）。
##Lie群
&&&def Lie群
多様体$G$が群構造を持っていて演算（積、逆元）が全て$C^\infty$級のときLie群と呼ぶ。
$C^\infty$な群準同型を単にLie群の準同型と呼ぶ。
部分多様体$H\hookrightarrow G$がLie群の準同型であるとき部分Lie群と呼ぶ。つまり、部分群でも部分多様体でもありそれ自身Lie群になるもの。後に示すこととして、この定義と「部分多様体化可能な部分群」は同等。
&&&

&&&ex
- 可換な例。$G=\R^n\times\mathbb{T}^m$。はめ込まれた部分多様体の典型例として、$\mathbb{T}^2$内での「ぐるぐるするやつ」があるが、これは部分Lie群である。しかし閉ではない。
- $GL(n,\R)$とか。線形群。
- アフィン変換群、半直積$\R_{>0}\ltimes\R$。つまり、多様体としては$G=\R_{>0}\times\R$だが$(s,t)(s',t'):=(ss',st'+t)$で群構造を入れたもの。
&&&

##Lie環
&&&def[Lie環]
有限次元$\R$-線形空間$\g$とその上の双線形写像$[,]:\g\times\g\to\g$が
$$[X,Y]=-[Y,X],\ [X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]]=0$$
を満たすときLie環と呼ぶ。括弧を保つ線形写像をLie環の準同型と呼び、括弧で閉じた部分線形空間を部分Lie環と呼ぶ。
&&&

&&&ex
- 可換な例。$\g:=V$に$[X,Y]:=0$で括弧を入れたもの。
- $\g:=M(n,\R)$に$[X,Y]:=XY-YX$で括弧を入れたもの。一般に結合的多元環は同じ構成でLie環と見做せる。
- $\g:=\span\{X,Y\}$に$[X,Y]:=Y$で括弧を入れたもの。
&&&

##Lie群とLie環の関係
以下、$G,H$はLie群であるとする。
&&&def 平行移動
左移動$L_y:G\ni x\mapsto yx\in G$で不変なベクトル場を付随するLie環$\g$と言う。
$$\g:=\set{X\in\X(G)}{\forall y\in G\ (L_y)_*X=X}$$
&&&
これは$\X(G)$の括弧積について閉じているからLie環になる。また、次から有限次元。
&&&lem
$\g\ni X\longmapsto X_e\in G_e$は線形同型である。
&&&
&&&prf
$X_x=dL_x(X_e)$より単射性は明らか。逆に、$v\in G_e$について$X_x:=dL_x(v)$という構成が全射性を与えるが、$X$の$C^\infty$級性がやや非自明である。
$f\in C^\infty(G)$に対し$Xf\in C^\infty(G)$を示せば十分だが、$$(Xf)_x=v(f\circ L_x)=\sum_i a_i\pdv{y_i}f(xy),\ \ v=\sum_i a_i\pdv{y_i}
$$だから、$f(xy)$という$G\times G$上の関数の$C^\infty$級性から降ってくる。
&&&
&&&ex
- $G=\R^n\times\mathrm{T}^m$に対し$\g=\R^{n+m}$は可換なLie環。
- $G=\mathrm{GL}(n,\R)$に対し$\g=\mathrm{M}(n,\R)$となる。
- $G=\R_{>0}\ltimes\R$に対し$\g=\span\{X,Y\},\ [X,Y]:=Y$となる。
&&&

&&&thm 関手性
準同型$\phi:G\to H$に対し、$\phi_*:\g\cong G_e\overset{d\phi}{\longrightarrow}H_e\cong\h$はLie環の準同型。
&&&
&&&prf
つまり$Y:=\phi_*X$とは、$d\phi(X_e)\in H_e$を平行移動させてできるベクトル場である。
まず、$X,Y$が$\phi$-relatedであることを見る。$x\in G$に対して$d\phi(X_x)=Y_{\phi(x)}$を見ればよいが、$\phi\circ L_x=L_{\phi(x)}\circ\phi$の両辺の微分に$X_e$を当てれば得る。
$Y\in\h$で$X,Y$が$\phi$-relatedなものは一意（原点での値！）だからこれが$ \phi_*X$を特徴付けるが、前頁の$\phi$-relatedの補題から$[X,Y],[\phi_*X,\phi_*Y]$が$\phi$-relatedとなり$\phi_*$が括弧と交換する。
&&&

&&&thm 部分群と部分環の対応
連結Lie群$G$を固定する。次の対応は互いに逆：$$\begin{array}{ccc}
\set{\iota:H\hookrightarrow G}{\text{連結部分Lie群}} & \longleftrightarrow & \set{\h\subset\g}{\text{部分Lie環}}\\
H & \longmapsto & \iota_*(\h)\\
\text{積分多様体} & \longleftarrow & \h
\end{array}$$
&&&
&&&prf
まず主張の対応を説明する。$\iota_*$はLie環の準同型だからその像$\iota_*(\h)$は部分Lie環である。$\h\subset\g$に対し$D_x:=\set{X_x}{X\in\h}$で定まる左不変分布は部分Lie環性から包合的だから$e\in G$を含む極大積分多様体$H$を取ると、これは部分Lie群である：
$dL_y(D_x)=D_{yx}$の意味で左不変だから、極大積分多様体の一意性から$L_{x^{-1}}H=H,\ x\in H$であり部分群になる。演算の$C^\infty$級性は積だけ見る（逆元も同様）。$G$の演算の制限として$H\times H\to G$は滑らかだが、像が$H$に入るから前々頁の最後の定理より得る。
次に対応が互いに逆であることを見る。$\mapsfromup=\id$は単位元での接空間を見れば分かるから$\mapstodown=\id$を示す。$H\subset G$の付随するLie環に対する上の左不変分布$D$について$H$が積分多様体になることは単位元での振る舞いから分かる。$H$は極大積分多様体$H'$の開部分集合だが、これは部分群になっていて、$H'/H$が離散的になる。$H'$の連結性から$H'=H$となり、$H$は極大。
&&&



Lie群Lie環対応（部分群）

#Lie群Lie環対応
準同型$\phi:G\to H$は（グラフを取ることで）$G\times H$の良い部分群と見做せる。
前頁の部分群部分環の対応を準同型のグラフに用いることで次を得る（Cartanの方法）。
&&&thm
連結Lie群$G,H$とそのLie環の準同型$\Phi:\g\to\h$が与えられたとする。$G$が単連結ならLie群の準同型$\phi:G\to H$で$\phi_*=\Phi$となるものが存在し、一意。
&&&
&&&prf
一意性から示す。$G\times H$というLie群に対応するLie環は$\g\times\h$であり、$\Phi$のグラフは$\g\times\h$の部分Lie環である。このような$\phi$はグラフにより$G\times H$の連結部分Lie群を与えるが、その付随するLie環は$\Phi$のグラフとなり、前頁の一意性から得る。
$\Phi$のグラフは$\g$への射影がLie環の同型を与えるから、前定理から対応する$G\times H$の連結部分Lie群$G'$は$p:G'\hookrightarrow G\times H\twoheadrightarrow G$は局所微分同相。これがもし同型なら
$$\phi:G\overset{p^{-1}}{\longrightarrow}G'\hookrightarrow G\times H\twoheadrightarrow H$$
という準同型は$\phi_*=\Phi$であり存在性を得る。$p$が被覆写像なことを言う。
$p$は開写像であり群準同型だから、その像は連結性により$G$である。evenly coveredな近傍（$p^{-1}(U)\to U$が自明な被覆になる$U$）の存在は平行移動から単位元でのみ言えばいい。十分小さい単位元の近傍$V\subset G'$は$p$により$U:=p(V)$と微分同相であり、$p^{-1}(U)=V\ker p$だから$\{Vs\}_{s\in\ker p}$が互いに素であれば$U$がevenly coveredな近傍を与える。
演算の連続性から$V^{-1}V$が十分小さく（$p$の局所微分同相性を与えるくらい）なるように取ることができる。
&&&

以上をまとめると、次になる。
&&&thm 単連結Lie群とLie環の対応
$G\longmapsto\g,\ \hom(G,H)\ni\phi\longmapsto\phi_*\in\hom(\g,\h)$
は単連結Lie群のなす圏とLie環のなす圏の圏同値を与える。
&&&
&&&prf
忠実充満性、即ち$\hom(G,H)\ni\phi\mapsto\phi_*\in\hom(\g,\h)$の全単射性は上の定理で既に示した。本質的全射性は次の代数的な事実から分かる。
>###Adoの定理
任意のLie環は行列環の部分Lie環として実現される。[タオのブログ](https://terrytao.wordpress.com/2011/05/10/ados-theorem/)を参照。

部分Lie群と部分Lie環の対応から、Lie環$\g$に対応するLie群$G$は$\mathrm{GL}(n,\R)$の部分群として構成できる。更にその普遍被覆$\tilde{G}$を取れば、$\tilde{G}$のLie環と$\g$は同型である。
&&&
次頁でこの本質的全射性（Lieの第三定理）の幾何的な証明を与える。

&&&thm
連結Lie群$G$の被覆空間$p:\tilde{G}\to G$には$p$が局所微分同相かつ群準同型となるようなLie群の構造が入る。特に、$G$の普遍被覆は単連結Lie群となる。
&&&
&&&prf
$p$が微分同相となるような$\tilde{G}$上の多様体構造は一意（局所座標のlift全体がアトラス）である。$\tilde{e}\in p^{-1}(e)$を一つ選ぶと、それに応じて$p$が群準同型となるように$\tilde{G}$にLie群の構造が入って一意的であることを確認する。
>###lifting property
基点を保つ被覆写像$(\tilde{X},\tilde{x_0})\to(X,x_0)$と連続写像$f:(Y,y_0)\to(X,x_0)$が$f_*\pi_1(Y,y_0)\subset p_*\pi_1(\tilde{X},\tilde{x_0})$を満たすなら、基点を保つ連続写像$\tilde{f}:(Y,y_0)\to(\tilde{X},\tilde{x}_0)$であって$p\circ\tilde{f}=f$なるものが存在し一意。

$\xymatrix{
& (\tilde{X},\tilde{x}_0)\ar[d]_p\\
(Y,y_0)\ar[ru]^{\exists!\tilde{f}}\ar[r]_f & (X,x_0)
}$

$F:(G\times G,(e,e))\ni (x,y)\longmapsto x^{-1}y\in (G,e)$と置き、$f:=F\circ(p\times p)\ :(\tilde{G}\times\tilde{G},(\tilde{e},\tilde{e}))\to(G,e)$ を持ち上げたい。

>###位相群の基本群は可換
$\pi_1(G,e)$の積として基本群の積（ループの結合）と各点毎の群の積があるが、この二つは一致し更に可換である。

ので、$F_*([c],[d])=[c^{-1}\times d]=[c]^{-1}[d]$は基本群のレベルでも$F_*(\alpha,\beta)=\alpha^{-1}\beta$という準同型になる。故にlifting propertyの仮定が満たされる。
$\xymatrix{
\tilde{G}\times\tilde{G}\ar[r]^{\tilde{f}}\ar[d]_{p\times p} &\tilde{G}\ar[d]_p\\
G\times G\ar[r]^f & G
}$

群の公理は$f:G\times G\ni(x,y)\mapsto x^{-1}y\in G$と$e\in G$の言葉だけで書けるが、lifting propertyの一意性から、$G$での群の公理が$\tilde{G}$上でも成立することが分かる。また、$\tilde{f}$には連続性しかないが、$p$は局所微分同相なので$\tilde{f}$は$C^\infty$級。即ち$\tilde{G}$はLie群となる。
&&&

&&&thm
普遍被覆を取る関手$G\mapsto\tilde{G}$は忠実かつ本質的全射。つまり、Lie群の準同型$\phi:G\to H$は一意的に普遍被覆に持ち上がる。更に、次の準同型$\tilde{\phi}$は存在し一意：
$\xymatrix{
\tilde{G}\ar[r]^{\tilde{\phi}}\ar[d]_p &\tilde{H}\ar[d]_p\\
G\ar[r]^\phi & H
}$
&&&
&&&prf
$\tilde{\phi}$の存在一意性はlifting propertyから従う。
&&&
例えば、Lie環が同型であることと同型な普遍被覆を持つことが同値だったり、$\hom(G,H)\ni\phi\longmapsto\phi_*\in\hom(\g,\h)$が一般に単射であることが分かる。Lie群は「そのLie環と基本群」の情報だけで同型類を記述することができ、こういうノリがLie群Lie環対応である。


Lie群Lie環対応

#Lieの第三定理（別証明）
Lie群Lie環対応の本質的全射性をAdoの定理を経由せずに示す方法を知ったので追記。
&&&thm Lieの第三定理
任意のLie環$\g$はある（単連結）Lie群$G$のLie環と同型になる。
&&&
&&&prf
$\g$の中心を$C$、$\g/C$を$\tilde{\g}$と書く。$\tilde{\g}$は随伴表現により$\End(\g)$に埋め込むことができるが、$\End(\g)$はあるLie群のLie環であることが既に分かっているから、$\tilde{\g}$は単連結Lie群$\tilde{G}$のLie環として実現できる。
>###事実
単連結なLie群の**2次以下のde Rahmコホモロジー群は消える**。
これは普通、Lie群の2次ホモトピー群が消えること（難）とHurewiczの定理（ホモロジーとホモトピーの行き来）と普遍係数定理（ホモロジーとコホモロジーの行き来）などから説明される。後でこの事実の簡単な証明を紹介する。

$0\to C\to \g\to\tilde{\g}\to0$という拡大の（線形写像のレベルでの）セクション$s:\tilde{\g}\to\g$を取り、コサイクル$\Psi:\tilde{\g}\times\tilde{\g}\to C$を$\Psi(X,Y):=[s(X),s(Y)]-s([X,Y])$で定める。Lie環の公理から
$\Psi(Y,X)=-\Psi(X,Y),\ \Psi([X,Y],Z)+\Psi([Z,X],Y)+\Psi([Y,Z],X)=0$ 
となる。$\Psi\in\hom(\wedge^2\tilde{\g},C)=C\otimes\wedge^2\tilde{\g}^*=C\otimes\wedge^2 T^*_e\tilde{G}$ と同一視することで、$\Psi$は$\tilde{G}$上の$C$値左不変2次微分形式だと思える。外微分の内在的な表記（括弧積を使う長い式）から、$\Psi([X,Y],Z)$の巡回和が0という条件は$d\Psi=0$と同値である。
先の事実を使ってこの$\Psi$を積分していくと元のLie環のコサイクルを群のコサイクルに持ち上げることができ、$G:=\tilde{G}\times C$の積をそのコサイクルで捻ったものが求めるLie群になる。
2次コホモロジーの消滅から$\Psi=d\alpha$なる$\tilde{G}$上の$C$値1次微分形式$\alpha$（左不変とは限らない）が存在し、完全1形式を引くことで$\alpha_e=0$としておく。$\Psi$の左不変性から$(L_g)^*\alpha-\alpha$は閉形式であり、$L_g^*\alpha-\alpha=df_g$かつ$f_g(e)=0$なる$f_g:\tilde{G}\to C$が存在する。$F:\tilde{G}\times\tilde{G}\to C$を$F(g,h):=f_g(h)$と定めると$C^\infty$級である、$f_g$が具体的に$f_g(h)=\int_{[e,h]} (L_g^*\alpha-\alpha)$と記述できるから。これは$e$から$h$への道（一つ取る）への制限を積分するという意味。
\begin{align*}
        L_{gh}^*\alpha-\alpha &= L_h^*(L_g^*\alpha-\alpha)+(L_h^*\alpha-\alpha)\\
        df_{gh} &= L_h^*df_g+df_h\\
        f_{gh} &= f_g\circ L_h + f_h +C\ \ \ \exists C=C_{g,h}\\
        F(gh,k)+F(g,h) &= F(g,hk)+F(h,k)
\end{align*}
定数$C$の特定に$F(-,e)=0$を使った。これにより$F$は2-cocycle条件を満たすので、$G:=\tilde{G}\times C$上に$(g,a)\times(h,b):=(gh,a+b+F(g,h))$で群構造が入り、$G$には直積として微分構造が入る。$F$がそうだから演算は全て$C^\infty$級となる。
残るは、元々のLie環$\g$と$G$のLie環の同型である。それは、セクション$s$による同一視$\g\cong\tilde{\g}\times C$と$T_e G\cong T_e\tilde{G}\times C$（と接空間と左不変ベクトル場の同一視）の合成によって得られることを確認する。まず、元のLie環の構造は$\tilde{\g}\times C$に
$[(X,A),(Y,B)]:=[s(X)+A,s(Y)+B]=s[X,Y]+\Psi(X,Y)=([X,Y],\Psi(X,Y))$
で入る。また、$(v,w)\in T_e\tilde{G}\times C$の平行移動$L_{(g,a)}(X,A)=(dL_gv,w+df_gv)$を見れば、$G$上の左不変ベクトル場は$(X,A+df_g(X_e)),\ X\in\g,A\in C$と書ける。特に、$G$上の左不変ベクトル場を$C$の方向に微分しても0である。
\begin{align*}
        &[(X,A+df_g(X_e)),(Y,B+df_g(Y_e))]\\
        =& [X,Y]+[X,B+df_g(Y_e)]+[A+df_g(X_e),Y]+[A+df_g(X_e),B+df_g(Y_e)]\\
        =& [X,Y]+X(B+df_g(Y_e))-Y(A+df_g(X_e))\\
        =& [X,Y]+X(L_g^*\alpha-\alpha)(Y_e)-Y(L_g^*\alpha-\alpha)(X_e)\\
        =& [X,Y]+X(\alpha(Y)_g)-Y(\alpha(X)_g)\\
        =& [X,Y]+X\alpha(Y)-Y\alpha(X)
\end{align*}
$\Psi(X,Y)=d\alpha(X,Y)=X\alpha(Y)-Y\alpha(X)-\alpha([X,Y])$より、最後の式は
$[X,Y]+\Psi(X,Y)+\alpha([X,Y])=[X,Y]+\Psi(X,Y)+\alpha([X,Y])_g-\alpha([X,Y])_e=[X,Y]+\Psi(X,Y)+df_g([X,Y])$
どちらも括弧積が同じ形をしている。
&&&

Lie群の2次ホモトピー群の消滅が追えそうになかったので、次で満足することにした。
&&&lem
Lie群$G$の1次de Rahmコホモロジー群が消えるなら2次も消える。
&&&
&&&prf
積$m:G\times G\to G$は$\{e\}\times G,G\times\{e\}$に制限すると$\id$になる。これをコホモロジーに持ってきて、ついでにK\"unnethの公式を使えば
$m^*:H^n(G)\to\bigoplus_k H^k(G)\otimes H^{n-k}(G)$にて$m^*(\alpha)$の$k=0,n$成分が$1\otimes\alpha+\alpha\otimes1$となる。ここで$m^*$は環準同型ではない（$\Z/2$-grading分の符号が必要）が、偶数次では積を保つことに注意。$H^1(G)=0,\ \alpha\neq0\in H^2(G)$を取る。
まず、$m^*(\alpha)=1\otimes\alpha+\alpha\otimes1$である。$m^*(\alpha^2)=1\otimes\alpha^2+2\alpha\otimes\alpha+\alpha^2\otimes1$にて、真ん中の項は非ゼロ（で他と次数が違う）から$m^*(\alpha^2)$も$\alpha^2$も非ゼロ。$m^*(\alpha^4)$でも$\alpha^2\otimes\alpha^2$があるから非ゼロになり、これが繰り返されるとコホモロジーの有限次元性に違反する。
&&&



Lieの第三定理

\ref が残ってる
#指数写像
Lie群$G$に対し、$\R$は単連結Lie群だから命題\ref{prop:311}から次は全単射：
$$\hom(\R,G)\ni\phi\longmapsto\phi_*\in\hom(\R,\g)$$
故に、$X\in\g$に対し$d\phi_X(\pdv{t})=X$なる準同型$\phi_X:\R\to G$が一意的に存在する。一意性から$\phi_X(st)=\phi_{sX}(t)$が成り立つため、上の同型を記述するためには次のデータで十分である：

&&&def 指数写像
$X\in\g$に対し、$\exp(X)\in G$を$\exp(X):=\phi_X(1)$と定める。
つまり、$\phi_X(t)=\exp(tX)$となっている。
&&&

&&&thm
- $\exp(tX)\exp(sX)=\exp((s+t)X),\ \exp(-X)=\exp(X)^{-1}$
- $\phi_X$は$X$の積分曲線
- $X\in\g$の時間発展$\Phi_X^t:G\to G$は$\Phi_X^t(x)=x\exp(tX)$
- $\exp:\g\to G$は$C^\infty$級であり、$d\exp:\g_0\to G_e$は$\id_{\g}$
&&&
特に、左不変ベクトル場は自動的に完備（時間有限で爆発しない）である。
&&&prf
(1)は$\phi_X(t)=\exp(tX)$から明らか。(2)は次から分かる：
$$(d\phi_X)_t\qty(\pdv{t})=dL_{\phi_X(t)}(d\phi_X)_e\qty(\pdv{t})=dL_{\phi_X(t)}(X_e)=X_{\phi_X(t)}$$
更に、$X$の左不変性から、積分曲線を左平行移動したものも積分曲線となって(3)が分かる。
(4)は$\g_0$の曲線の同値類の代表元として$t\mapsto tX$を選べば、次のように計算できる。
$$(d\exp)_0(X)=\pdv{t}\exp(tX)\lvert_{t=0}=X_e$$
&&&

&&&thm
Lie群の準同型$\phi:G\to H$に対し次は可換（特に、群の$\exp$は部分群の$\exp$と一致）：
$\xymatrix{
	G\ar[r]_\phi & H\\
        \g\ar[u]^\exp\ar[r]^{\phi_*}&\h\ar[u]_\exp
}$
&&&
&&&prf
$$\pdv{t}\phi\circ\phi_X(t)\lvert_{t=0}=d\phi(X_e)=\phi_*(X)_e$$
より、一意性から$\phi\circ\phi_X=\phi_{\phi_*X}$となる。
&&&

&&&prop
部分Lie群$H\leq G$と$X\in\g$に対し
$$\exp({}^\forall tX)\in H\iff X\in\h$$
&&&
&&&prf
前定理の可換性を$\iota:H\hookrightarrow G$に使えば、$(\Leftarrow)$が出る。逆は、\refより$\phi_X$は$H$を経由するから
$\xymatrix{
	\R\ar[r]_{\phi_X}\ar[rd]_{\exists\psi} & G\\
        & H\ar[u]
}$
$$X=\pdv{t}\phi_X(t)\lvert_{t=0}=d\iota d\psi\qty(\pdv{t})\in \Im (d\iota)=\h$$
&&&

&&&ex $GL(n,\R)$（及びその部分群）の場合
$G=GL(n,\R)$の場合$\g=M(n,\R)$だが、指数写像$\exp$と行列の指数関数は一致する。これは行列の指数関数が積分曲線になっていることを級数の項別微分で確かめれば良い。
&&&

指数写像

\refが残ってる
#連続準同型
&&&lem
連続群準同型$\phi:\R\to G$は自動的に$C^\infty$級。
&&&
&&&prf
$$\exp:\g\supset U\xrightarrow{\cong}\exp(U)\subset G$$
が同相となる$0$の開近傍$U$を取る。十分小さい$t$で $\phi(t)=\exp({}^{\exists !} X(t))$ と$X(t)$を定めると
$$\forall n\ \exists\epsilon\ -\epsilon<t<\epsilon\Rightarrow X(nt)=nX(t)$$
    $X:=\lim_{N\to\infty}2^NX(2^{-N})$は十分大きい$N$で一定だから極限が存在する。$p\in\Q$に対し十分小さい$t$で$X(pt)=pX(t)$となるから
    $$\phi(p)=\phi(2^{-N}p)^{2^N}=\exp(2^NX(2^{-N}p))=\exp(pX)$$
    $\phi$の連続性から$\phi(t)=\exp(tX)\ (t\in\R)$である。
&&&

&&&lem
積$m:G\times G\to G$の微分$dm:T_eG\times T_eG\to T_eG$は$(v,w)\mapsto v+w$である。
&&&
&&&prf
全微分を計算するためには偏微分を計算すればよく、それは$m(x,e)$を調べ$x$に関し微分するという手続きである。$m(x,e)=x$だから明らか。
&&&

&&&thm
連続群準同型$\phi:G\to H$は自動的に$C^\infty$級。
&&&
LieGrpからTopGrpへの忘却関手が忠実充満であることを意味している。
&&&prf
$X\in\g$に対し$\R\ni t\mapsto\phi(\exp(tX))\in H$は連続群準同型、従って滑らかである。$\g$の基底$X_1,\dots,X_n$に対し
$\xymatrix{
        \R^n\ni(t_1,\dots,t_n)\ar[r]\ar[dr] &\exp(t_1X_1)\cdots\exp(t_nX_n)\in G\ar[d]_\phi\\
        &\prod_{i=1}^n\phi(\exp(t_iX_i))\in H
}$
これにより$\R^n\to H$が$C^\infty$級であり、逆関数定理から$\R^n\to G$が局所微分同相（前の補題による）だから$\phi$はある単位元近傍で$C^\infty$級。平行移動をすれば$G$全域で$C^\infty$級。
&&&

&&&cor
位相群をLie群化する微分構造は高々一意。
&&&
&&&prf
極大アトラス$\mathcal{A}_1,\mathcal{A}_2$に対し、$\id:(G,\mathcal{A}_1)\to(G,\mathcal{A}_2)$とその逆は連続群準同型だから。
&&&
ではLie群化可能な位相群はどういったクラスか？と言うと、実は局所Euclidな位相群に対しては必ずLie群化する微分構造が存在する。つまり、TopGrpのうち局所Euclidな位相群のなす部分圏へのLieGrpからの忘却関手は圏同値を与える。これがHilbertの第五問題である。
これは、位相多様体の圏での群対象と微分多様体での群対象が一致するという話だが、実は実解析多様体での群対象とも一致するらしい。

連続準同型

\refが残ってる
#閉部分群
&&&thm 部分群の多様体構造は一意
$A\subset G$を部分群とする。$A$を部分多様体とする多様体構造は（存在すれば）一意であり、自動的に$A$はLie群になる。つまり、部分Lie群と「部分多様体化可能な部分群」は同等。
&&&
示すべきことは大体、局所的には$\R^k$と可算集合の直積になること。
&&&prf
$A$の部分多様体としての構造を固定する。もし、$A$がある左不変分布の積分多様体になっていたとする。定理\ref{thm131}から諸々の写像の$C^\infty$級性が自動的になるため$A$は部分Lie群になり、命題\ref{prop:111}と同じ理由により部分多様体としての構造が一意的であることが従う。つまり、$x\in A$に対し$A_x=dL_x(A_e)$であることを見れば主張が示される。

$B_x$を「$x\in A$を通る$A$内の$C^\infty$曲線から来る接ベクトルの集まり」とする。ここで曲線の$C^\infty$級性は$G$のそれで考える。例えば８の字の部分多様体ではこれは線形空間にはならない。
$$B_x:=\qty{\dv{c}{t}\in G_x\ \middle|\ c(0)=x,\ c({}^\forall t)\in A}$$
	$A$内での$C^\infty$級性は$G$でのそれを導くので、$A_x\cup dL_x(A_e)\subset B_x$となる。$k:=\dim A$として$\dim\mathrm{Span} B_x=k$を示せばいいので、線形独立な$\dv{c_1}{t},\dots,\dv{c_{k+1}}{t}\in B_x$が存在したと仮定して矛盾を導く。
$$\phi:(-\epsilon,\epsilon)^{k+1}\ni(t_1,\dots,t_{k+1})\longmapsto x^{-k-1}c_1(t_1)\dots c_{k+1}(t_{k+1})\in G$$
という写像は十分小さい$\ve$により像が$A$に含まれる（$A$は部分群！）ような$G$への埋め込みである。その埋め込み像は$G$の$k+1$次元部分多様体であるが、それは$k$次元多様体からの$C^\infty$級写像では覆えない（第二可算性を使う）。
&&&

&&&thm
部分Lie群$H\subset G$が埋め込み$\iff\ H\subset G$が閉。
&&&
&&&prf
部分Lie群は然るべき分布に対する極大積分多様体になる（定理\ref{thm:311}）から、$G$の各点に対し高々可算集合$D\subset\R^{n-k}$が存在し、$H\subset G$は局所的には$\R^k\times D\subset\R^n$と微分同相。$H\subset G$が埋め込みであることも閉であることも局所的な性質：

> 局所的な性質
$G$の開被覆$\{U_\lambda\}$に対し、$H\subset G$が性質(P)を持つ$\iff H\cap U_\lambda\subset U_\lambda$が$\forall\lambda$で性質(P)を持つ
となる性質(P)を局所的な性質と呼ぶ。

> Cantor集合
高々可算集合$D\subset\R^{n-k}$が閉であれば孤立点を持つ。

平行移動から言える「$D$が離散的$\iff D$が孤立点を持つ」と上の事実から、$H\subset G$が局所的に閉であること局所的に埋め込みであることと各点での$D$の離散性は全て同値。
&&&

&&&thm
$A\subset G$が閉部分群なら（埋め込まれた）部分Lie群になる。
&&&
&&&prf
示すべきことは$A$が（埋め込まれた）部分多様体であることだけである。$\exp:U\to\exp(U)$が微分同相となる開近傍$U\subset\g$と部分空間$\a\subset\g$であって$\exp(U\cap\a)=\exp(U)\cap A$なるものが取れれば、$A$の平行移動により各点で埋め込みであることが言え、証明が完了する。

$$\a:=\set{X\in\g}{\forall t\in\R\ \ \exp(tX)\in A}$$
が$\g$の部分空間であることをまず見る、スカラー倍については良いから和について閉じることを言う。
$\g\times\g\ni(X,Y)\mapsto\exp^{-1}(\exp X\exp Y)$ はTaylorの定理（\ref）から$X+Y+O(\norm{X}^2+\norm{Y}^2)$ だから
$$\qty(\exp\qty(\frac{tX}{n})\exp\qty(\frac{tY}{n}))^n=\exp\qty(n\times\qty(\frac{tX}{n}+\frac{tY}{n}+O\qty(\frac1{n^2})))\to\exp(tX+tY)$$
$\exp(t(X+Y))$に収束する$A$内の点列が存在するから、閉性から$\exp(t(X+Y))\in A$。

また、\refから $\a\times\a^\perp\ni(X,Y)\mapsto\exp X\exp Y\in G$は局所微分同相である（$\a^\perp$は$\a\subset\g$の補空間）。故に $\exp(U\cap\a)\supset\exp(U)\cap A$ （逆の包含は自動的）となる$U$を見つけるためには、$\exp(\mathrm{pr}_{\a^\perp}({}^\exists U))\cap A=\{e\}$ となればいい。何故なら、$\exp(U)\cap A$の元を$\exp\a\times\exp\a^\perp$の形に表せば、$\exp\a^\perp$のパートが$A$に入ることになるから。

そのような$U$が無いと仮定すれば、$\exp(X_n)\in A$なる$\a^\perp$内の点列で0に収束する$\{X_n\}$が存在することになる。$X_n$をその部分列に取りかえることで、$\{\frac{X_n}{\norm{X_n}}\}$がある$X\in\a^\perp$に収束している（$\a^\perp$の単位球面の点列コンパクト性）として良い。$N_n:=\lfloor t\norm{X_n}^{-1}\rfloor$ と置くと、$\exp(N_nX_n)\in A$である一方それは$\exp(tX)$に収束する。故に$\exp({}^\forall tX)\in A$となり、$X\in\a\cap\a^\perp$である。$X$の構成から$\norm{X}=1$だからこれは矛盾。
&&&


閉部分群

#群の共役作用 vs 環の括弧積
Lie群の作用と言えば、$C^\infty$級なもの$G\times M\to M$をだけ指す。
&&&thm
$p\in M$が作用$G\times M\to M$の固定点ならば、次の写像は$G$の表現：
$$\Psi:G\ni g\mapsto(dg_p:T_pM\to T_pM)\in \GL(T_pM)$$
&&&
&&&prf
$\Psi$の群準同型性はOK（写像の微分を取る操作は関手的）だから$C^\infty$級性を見る。$v=\pdv{x_j}\in T_pM,\ f\in C^\infty(M)$ に対し
$$dg_p(v)f=\pdv{x_j}f(g\times x)$$
$f(g\times x)$は$g,x$に関し滑らかだから、その偏微分もそう。$f$として$x_i$という座標関数を取れば、$dg_p(v)f$の$C^\infty$級性とは$\Psi(g)$の第$(i,j)$成分の$g$に関する$C^\infty$級性である。故に$\Psi$は滑らか。
&&&
&&&def
共役作用 $g:x\mapsto gxg^{-1}$ は単位元$e$を固定点に持つ、前定理から
$$\Ad:\ G\ni g\longmapsto (v\mapsto gvg^{-1})\in \GL(\g)$$
という表現が得られる、これを随伴表現と呼ぶ。また、その微分$\ad:\g\to\End(\g)$はLie環の表現となる。
&&&

&&&prop
$$\ad(X)Y=[X,Y]$$
&&&
$G=\GL(n,\R)$の場合の主張は指数写像を使った具体的な計算で確かめられる、形式的な操作で困ったら行列群の場合に考えてみると良い。
&&&prf
$$\Ad(\exp(tX))Y=\exp(tX)Y\exp(-tX)=Y\exp(-tX)=(R_{\exp(tX)}^{-1})_*Y$$
    が$Y$の左不変性から従う。両辺$\dv{t}\lvert_{t=0}$をすると、最左辺は（$\exp(tX)$が$X_e$を代表する曲線だから）$\ad(X)Y$であり、最右辺は\refから$L_X Y=[X,Y]$である。
&&&

&&&thm 正規部分群とイデアル
$G$を連結とする。連結部分Lie群と部分Lie環の対応において、連結正規部分群とイデアルが対応する。
&&&
&&&prf
$I\subset\g$がイデアルとは、$[X,I]\subset I\ \ \forall X\in\g$となることである。前の定理から、これは
\begin{align}
	&\iff\dv{t}\lvert_{t=0}\exp(tX)I\exp(-tX)\subset I\ \ \forall X\in\g\\
        &\iff\exp(X)I\exp(-X)\subset I\ \ \forall X\in\g\\
        &\iff gIg^{-1}\subset I\ \ \forall g\in G
\end{align}
と同値である、$\exp(X)$と書ける元全体は$G$の単位元の近傍なので、連結性から全ての$G$の元は$\exp(X)$の形の元の幾つかの積であることに注意。
部分Lie環$I\subset\g$が共役不変であることはその分布が共役不変であることと同値だから、その積分多様体が共役不変であることと同値。
&&&
&&&thm 中心と中心
$G$を連結とする。$G$の中心の連結成分と$\g$の中心が対応する。
&&&
&&&prf
$\g$の中心は$Z(\g):=\set{X\in\g}{\forall Y\in\g\ [X,Y]=0}$である。$X\in\g$に対し
\begin{align}
        & [X,Y]=0\ \ \forall Y\in\g\\
        \iff & \exp(Y)X\exp(-Y)=X\ \ \forall Y\in\g\\
        \iff & gXg^{-1}=X\ \ \forall g\in G
\end{align}
と、前定理の証明と同様にして分かる。連結部分Lie群と部分Lie環の対応は指数写像でも記述できる：
$$H=\bigcup_{n=0}^\infty \exp(\h)^n$$
から、$\exp(gXg^{-1})=g\exp(X)g^{-1}$ と合わせて主張を得る。
&&&
&&&lem 可換
連結Lie群$G$が可換であることとLie環$\g$が可換であることと$G\cong\R^k\times\T^l$は同値。
&&&
&&&prf
可換Lie群$G$の共役作用は自明である。故に随伴表現$Ad$は自明な表現であり、更にその微分である$ad$も零写像である。これは$\g$が可換であることを示している。

可換Lie環$\g$は定義から構造が次元$n$だけで定まり、更に$\R^n$のLie環はその形をしている。単連結Lie群とLie環の対応から、$G$の普遍被覆は$\R^n$であり、被覆写像$\R^n\to G$の商は離散部分群である。適切に$GL(n,\R)$で動かせば$Z^l\times\{0\}\subset\R^n$という形になり、そこから$G\cong\R^{n-l}\times\T^l$が従う。

$\R^k\times\T^l$は可換である。
&&&

&&&thm
$$[X,Y]=0\Rightarrow \exp(X)\exp(Y)=\exp(X+Y)$$
&&&
&&&prf
$\mathrm{Span}\{X,Y\}\subset\g$が可換だから、対応する連結部分Lie群$H\subset G$が可換になる。可換Lie群の指数写像が普通の指数関数になっていることを見てもいいし、
$$\exp(X+Y)=\lim_{n\to\infty}\left(\exp\left(\frac{X}{n}\right)\exp\left(\frac{Y}{n}\right)\right)^n=\exp(X)\exp(Y)$$
としてもいい。
&&&

&&&thm
有限次元線形空間$V$と双線形写像$\{,\}:V\times V\to V$に対し
$$A:=\set{\alpha\in \GL(V)}{\alpha\{v,w\}=\{\alpha v,\alpha w\}},\ \a:=\set{a\in \End(V)}{a\{v,w\}=\{av,w\}+\{v,aw\}}$$
$A$のLie環は$\a$である。
&&&
&&&prf
閉な条件式だから、$A$は$\GL(V)$の部分Lie群になることに注意。次を示せば十分：
$$\exp(ta)\{v,w\}=\{\exp(ta)v,\exp(ta)w\}\iff a\{v,w\}=\{av,w\}+\{v,aw\}$$
$\Rightarrow$はLiebniz則に気を付ければよく、$\Leftarrow$は冪級数で計算したらすぐ出てくる。

または、$\{,\}:V\times V\to V$を$\Psi:V\otimes V\to V$と思えば$a\circ\Psi=\Psi\circ(a\otimes1+1\otimes a)$となって、
$$\exp(ta)\circ\Psi=\Psi\circ\exp(a\otimes1+1\otimes a)=\Psi\circ(\exp(a)\otimes1)\circ(1\otimes\exp(a))=\Psi\circ(\exp(a)\otimes\exp(a))$$
と書くと見やすい。
&&&
同様の議論で、あるテンソル$T\in V^{\otimes n}\otimes (V^*)^{\otimes m}$を保つLie群とLie環が対応する。例えば、双線形形式$(,):V\times V\to K$について
$$A:=\set{\alpha\in \GL(V)}{\{v,w\}=\{\alpha v,\alpha w\}},\ \a:=\set{a\in \End(V)}{0=\{av,w\}+\{v,aw\}}$$
がLie群とLie環対応で対応する。

&&&cor
連結Lie群$G$の自己同型群は再びLie群。
&&&
&&&prf
普遍被覆$\tilde{G}$に対し、単連結Lie群とLie環の対応から$\tilde{G}$の自己同型と$\g$の自己同型が一対一に対応する。実は位相まで含めて$\tilde{G}$の自己同型群と$\g$の自己同型群は同型である。先の定理から$\g$の自己同型群はLie群になっている。
    被覆空間論の話を思い出せば、$\tilde{G}$の自己同型であって$\ker(\tilde{G}\to G)$を保つもの全体が$G$の自己同型である。それは閉な条件だから、$G$の自己同型群もLie群になる。
&&&
局所コンパクト空間がコンパクト開位相で位相群になることは局所連結性などが必要。詳しくは [コンパクト開位相をめぐって](https://yamyamtopo.wordpress.com/2017/01/19/コンパクト開位相をめぐって/)を参照


群の共役作用と環の括弧積

#等質多様体

次の定理を主張し、証明することが目標である。
&&&thm
作用$G\times M\to M$がproperかつ自由であるとき、$M/G$上に多様体構造が存在し$\pi:M\to M/G$が$G$をfiberとするfiber bundleとなる（局所切断を持つと言っても良い）。    
&&&
まず、作用がproperとは $G\times M\ni(g,x)\longmapsto (x,gx)\in M\times M$ がproper（コンパクト集合の逆像がコンパクト）であることを言う。properでないというのは「$g$が無限遠方に向かっていっても$gx$が$x$に何回も近づいてしまう」という状況である。自由性と合わせることで「$x,gx$の距離を使って$g,e$の距離を上から抑えることができる」と言っても同じことである。
&&&lem
作用$G\times M\to M$がproperかつ自由なら、$x\in M$に対し次が成立。
$$e\in{}^\forall U\subset G,\text{開近傍}\ x\in{}^\exists V\subset M,\text{開近傍}\ \ \set{g\in G}{\exists y\in V\ gy\in V}\subset U$$
&&&
&&&prf
$V$は相対コンパクトな開近傍を動くものとする。proper性から $\set{g\in G}{\exists y\in \overline{V}\ gy\in \overline{V}}$ がコンパクトになる。また、あらゆる$V$に関する交叉は$\{e\}$となる。
$$\bigcap_V \set{g\in G}{\exists y\in \overline{V}\ gy\in \overline{V}}\setminus U=\emptyset$$
より、コンパクト性からある有限交叉が空、有向性からある$V$で空。
&&&
定理の証明に入る
&&&prf 定理の証明
まず、各$x\in M$に対し$\Psi:G\ni g\longmapsto gx\in M$という写像がある。$X\in\g$を固定すると$d\Psi(X)\in T_x M$という接ベクトルが各$x\in M$で定まる。$Y_x:=d\Psi(X)$というベクトル場$Y$は$C^\infty$級である（作用$G\times M\to M$の$X$での偏導関数だから）。

$t\mapsto\exp(tX)x$という$M$内の曲線は$Y$の積分曲線であるから、もしある$x\in M,X\in\g\setminus\{0\}$で$Y_x=0$となれば（ODEの解の一意性から）$\forall t\ \exp(tX)x=x$となって作用の自由性に反する。つまり、$\Psi$の微分は各$x\in M$で単射であることが言えた。

$G$の次元を$n,$ $M$の次元を$m$とする。$x\in M$を通る曲面$S$であって$x$の軌道と横断的に交わるものを取る、つまり$T_x S+\Im(d\Psi_x)=T_x M$となるものである。これは作用の制限$G\times S\to M$が$(e,x)\in G\times S$にて局所的に微分同相となる（$d\Psi_x$の単射性と合わせ）ことを意味し、平行移動によりこの小さくした$S$について$G\times S\to M$は局所微分同相（特に開写像）になる。この写像を単射にするために、前の補題から$y,gy\in S$なるものに対して$(g,y)$が先の$(e,x)$の近傍（局所微分同相のwitness）に入るくらい$S$を小さくしておく。
$S\to M/G$は像（開集合）への同相だから、このような$S$を各$x\in M$で取ってきて、$M/G\supset GS/G\xrightarrow{\cong} S$を局所座標として微分構造を入れる。

座標変換の$C^\infty$級性を確かめる。$GS/G\xrightarrow{\cong} S$と$GS'/G\xrightarrow{\cong} S'$の座標変換とは
$$S\cap GS'\to (GS\cap GS')/G\to GS\cap S':\ {}^\forall x\longmapsto{}^{\exists!} gx\ \ \ (gx\in S')$$
という写像であるが、$GS'\cong G\times S'$ が微分同相だから、第二成分への射影の制限$S\cap GS'\to S'$は像への微分同相。特に$C^\infty$級である。
    $GS=(\pi:M\to M/G)^{-1}(S)$は$S\times G$と微分同相だから、これにより局所自明化が与えられる。
&&&

自然な$\pi:M\to M/G$が誘導する$d\pi:T_x M\to T_{\pi(x)}M/G$は全射であり、その核は$T_x(Gx)=T_x\pi^{-1}(\pi(x))\subset T_x M$である。何故なら$M$は局所的には$G\times M/G$だから。
&&&cor
Lie群$G$とその閉部分群$H$に対し、$M:=G/H$は自然に多様体としての構造を持ち、掛け算$G\times M\to M$は$C^\infty$級。また、$H$が閉正規部分群であれば、$G/H$はLie群になる。
&&&
&&&prf
作用$H\times G\to G$がproperかつ自由であることがすぐ分かる。故に、前定理から$M:=G/H$には自然に多様体構造が入る。掛け算$G\times M\to M$は、局所切断$G\times M\to G\times G$と掛け算$G\times G\to G$と射影$G\to M$の合成だから$C^\infty$級。
更に$H$が正規部分群である場合の$G/H$の演算の$C^\infty$級性だが、同様に局所切断と$G$の演算と射影の合成であるため、OK。
&&&
&&&prop 等質空間
このような作用$G\times M\to M$は推移的だが、逆に推移的な作用$G\times M\to M$は必ずこの形となる。
&&&
&&&prf
$H$をある点$x\in M$のstabilizerとすればこれは$G$の閉部分群。orbit-stabilizer定理から次は全単射：
$$\Psi:G/H\ni gH\longmapsto gx\in M$$
局所切断$G/H\to G$と作用の制限$G\to M$の合成だから、$\Psi$は$C^\infty$級である。先の定理（\ref）の証明の前半と同様にして$\Psi$の微分が各点で単射であることが分かる。

もし$G/H$と$M$の次元が同じならこの$\Psi$は（$G$作用を保つ）微分同相になるが、それは第二可算性を使った議論から分かる。
&&&
&&&prop 準同型定理
Lie群の準同型$\phi:G\to H$に対し、$G/\ker\phi,\Im\phi$はLie群としての構造を持ち、同型となる。
&&&
&&&prf
$\phi:G/\ker\phi\to H$という写像は$C^\infty$級（局所切断$G/H\to G$を取る）である。故に単射なLie群の準同型を与え、これによって$\Im\phi$にLie群としての構造を入れれば、トートロジカルな理由で$G/\ker\phi$と$\Im\phi$は同型。Lie群の部分群をLie群と思う方法は高々一意的（積分多様体と書ける）だから、これ以外に$\Im\phi$をLie群化する多様体の構造はない。
&&&

リー群のノート

概要

目次

参考文献

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