Lieの第三定理

$\mathfrak{g}$の中心を$C$、$\mathfrak{g}/C$を$\tilde{\mathfrak{g}}$と書く。$\tilde{\mathfrak{g}}$は随伴表現により$\mathrm{End}(\mathfrak{g})$に埋め込むことができるが、$\mathrm{End}(\mathfrak{g})$はあるLie群のLie環であることが既に分かっているから、$\tilde{\mathfrak{g}}$は単連結Lie群$\tilde{G}$のLie環として実現できる。

事実

単連結なLie群の2次以下のde Rahmコホモロジー群は消える。
これは普通、Lie群の2次ホモトピー群が消えること（難）とHurewiczの定理（ホモロジーとホモトピーの行き来）と普遍係数定理（ホモロジーとコホモロジーの行き来）などから説明される。後でこの事実の簡単な証明を紹介する。

$0\to C\to \mathfrak{g}\to \tilde{\mathfrak{g}}\to 0$という拡大の（線形写像のレベルでの）セクション$s:\tilde{\mathfrak{g}}\to \mathfrak{g}$を取り、コサイクル$\mathrm{\Psi }:\tilde{\mathfrak{g}}\times \tilde{\mathfrak{g}}\to C$を$\mathrm{\Psi }(X,Y):=[s(X),s(Y)]-s([X,Y])$で定める。Lie環の公理から
$\mathrm{\Psi }(Y,X)=-\mathrm{\Psi }(X,Y),\mathrm{\Psi }([X,Y],Z)+\mathrm{\Psi }([Z,X],Y)+\mathrm{\Psi }([Y,Z],X)=0$
となる。$\mathrm{\Psi }\in \mathrm{hom}({\wedge }^2\tilde{\mathfrak{g}},C)=C\otimes {\wedge }^2{\tilde{\mathfrak{g}}}^{\ast }=C\otimes {\wedge }^2{T}_e^{\ast }\tilde{G}$ と同一視することで、$\mathrm{\Psi }$は$\tilde{G}$上の$C$値左不変2次微分形式だと思える。外微分の内在的な表記（括弧積を使う長い式）から、$\mathrm{\Psi }([X,Y],Z)$の巡回和が0という条件は$d\mathrm{\Psi }=0$と同値である。
先の事実を使ってこの$\mathrm{\Psi }$を積分していくと元のLie環のコサイクルを群のコサイクルに持ち上げることができ、$G:=\tilde{G}\times C$の積をそのコサイクルで捻ったものが求めるLie群になる。
2次コホモロジーの消滅から$\mathrm{\Psi }=d\alpha$なる$\tilde{G}$上の$C$値1次微分形式$\alpha$（左不変とは限らない）が存在し、完全1形式を引くことで${\alpha }_e=0$としておく。$\mathrm{\Psi }$の左不変性から$(L_g{)}^{\ast }\alpha -\alpha$は閉形式であり、$L_g^{\ast }\alpha -\alpha =d{f}_g$かつ$f_g(e)=0$なる$f_g:\tilde{G}\to C$が存在する。$F:\tilde{G}\times \tilde{G}\to C$を$F(g,h):=f_g(h)$と定めると$C^{\mathrm{\infty }}$級である、$f_g$が具体的に$f_g(h)={\int }_{[e,h]}(L_g^{\ast }\alpha -\alpha )$と記述できるから。これは$e$から$h$への道（一つ取る）への制限を積分するという意味。
$$\begin{array}{rl}{L}_{gh}^{\ast }\alpha -\alpha & =L_h^{\ast }(L_g^{\ast }\alpha -\alpha )+(L_h^{\ast }\alpha -\alpha )\\ d{f}_{gh}& =L_h^{\ast }d{f}_g+d{f}_h\\ f_{gh}& =f_g\circ L_h+f_h+C\mathrm{\exists }C=C_{g,h}\\ F(gh,k)+F(g,h)& =F(g,hk)+F(h,k)\end{array}$$
定数$C$の特定に$F(-,e)=0$を使った。これにより$F$は2-cocycle条件を満たすので、$G:=\tilde{G}\times C$上に$(g,a)\times (h,b):=(gh,a+b+F(g,h))$で群構造が入り、$G$には直積として微分構造が入る。$F$がそうだから演算は全て$C^{\mathrm{\infty }}$級となる。
残るは、元々のLie環$\mathfrak{g}$と$G$のLie環の同型である。それは、セクション$s$による同一視$\mathfrak{g}\cong \tilde{\mathfrak{g}}\times C$と$T_{e}G\cong T_e\tilde{G}\times C$（と接空間と左不変ベクトル場の同一視）の合成によって得られることを確認する。まず、元のLie環の構造は$\tilde{\mathfrak{g}}\times C$に
$[(X,A),(Y,B)]:=[s(X)+A,s(Y)+B]=s[X,Y]+\mathrm{\Psi }(X,Y)=([X,Y],\mathrm{\Psi }(X,Y))$
で入る。また、$(v,w)\in T_e\tilde{G}\times C$の平行移動$L_{(g,a)}(X,A)=(d{L}_{g}v,w+d{f}_{g}v)$を見れば、$G$上の左不変ベクトル場は$(X,A+d{f}_g(X_e)),X\in \mathfrak{g},A\in C$と書ける。特に、$G$上の左不変ベクトル場を$C$の方向に微分しても0である。
$$\begin{array}{rl}& [(X,A+d{f}_g(X_e)),(Y,B+d{f}_g(Y_e))]\\ =& [X,Y]+[X,B+d{f}_g(Y_e)]+[A+d{f}_g(X_e),Y]+[A+d{f}_g(X_e),B+d{f}_g(Y_e)]\\ =& [X,Y]+X(B+d{f}_g(Y_e))-Y(A+d{f}_g(X_e))\\ =& [X,Y]+X(L_g^{\ast }\alpha -\alpha )(Y_e)-Y(L_g^{\ast }\alpha -\alpha )(X_e)\\ =& [X,Y]+X(\alpha (Y{)}_g)-Y(\alpha (X{)}_g)\\ =& [X,Y]+X\alpha (Y)-Y\alpha (X)\end{array}$$
$\mathrm{\Psi }(X,Y)=d\alpha (X,Y)=X\alpha (Y)-Y\alpha (X)-\alpha ([X,Y])$より、最後の式は
$[X,Y]+\mathrm{\Psi }(X,Y)+\alpha ([X,Y])=[X,Y]+\mathrm{\Psi }(X,Y)+\alpha ([X,Y]{)}_g-\alpha ([X,Y]{)}_e=[X,Y]+\mathrm{\Psi }(X,Y)+d{f}_g([X,Y])$
どちらも括弧積が同じ形をしている。

積$m:G\times G\to G$は$\{e\}\times G,G\times \{e\}$に制限すると$\mathrm{id}$になる。これをコホモロジーに持ってきて、ついでにK"unnethの公式を使えば
$m^{\ast }:H^n(G)\to \underset{k}{⨁}{H}^k(G)\otimes H^{n-k}(G)$にて$m^{\ast }(\alpha )$の$k=0,n$成分が$1\otimes \alpha +\alpha \otimes 1$となる。ここで$m^{\ast }$は環準同型ではない（$\mathbb{Z}/2$-grading分の符号が必要）が、偶数次では積を保つことに注意。$H^1(G)=0,\alpha \ne 0\in H^2(G)$を取る。
まず、$m^{\ast }(\alpha )=1\otimes \alpha +\alpha \otimes 1$である。$m^{\ast }({\alpha }^2)=1\otimes {\alpha }^2+2\alpha \otimes \alpha +{\alpha }^2\otimes 1$にて、真ん中の項は非ゼロ（で他と次数が違う）から$m^{\ast }({\alpha }^2)$も${\alpha }^2$も非ゼロ。$m^{\ast }({\alpha }^4)$でも${\alpha }^2\otimes {\alpha }^2$があるから非ゼロになり、これが繰り返されるとコホモロジーの有限次元性に違反する。