文献あり

Lie群Lie環対応（部分群）

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部分Lie群と部分Lie環の対応

以下ほとんどLie群に連結性を課しているので、一般のLie群についてはその単位元連結成分が連結Lie群（そして正規部分群）になることを注意しておく。特に付随するLie環が一致する（ので連結性は必要な仮定である）。

Lie群

多様体 $G$ が群構造を持っていて演算（積、逆元）が全て $C^{\infty}$ 級のときLie群と呼ぶ。
$C^{\infty}$ な群準同型を単にLie群の準同型と呼ぶ。
部分多様体 $H ↪ G$ がLie群の準同型であるとき部分Lie群と呼ぶ。つまり、部分群でも部分多様体でもありそれ自身Lie群になるもの。後に示すこととして、この定義と「部分多様体化可能な部分群」は同等。

可換な例。 $G = R^{n} \times T^{m}$ 。はめ込まれた部分多様体の典型例として、 $T^{2}$ 内での「ぐるぐるするやつ」があるが、これは部分Lie群である。しかし閉ではない。
$G L (n, R)$ とか。線形群。
アフィン変換群、半直積 $R_{> 0} ⋉ R$ 。つまり、多様体としては $G = R_{> 0} \times R$ だが $(s, t) (s^{'}, t^{'}) := (s s^{'}, s t^{'} + t)$ で群構造を入れたもの。

Lie環

有限次元 $R$ -線形空間 $g$ とその上の双線形写像 $[,] : g \times g \to g$ が
$[X, Y] = - [Y, X], [X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y]] = 0$
を満たすときLie環と呼ぶ。括弧を保つ線形写像をLie環の準同型と呼び、括弧で閉じた部分線形空間を部分Lie環と呼ぶ。

可換な例。 $g := V$ に $[X, Y] := 0$ で括弧を入れたもの。
$g := M (n, R)$ に $[X, Y] := X Y - Y X$ で括弧を入れたもの。一般に結合的多元環は同じ構成でLie環と見做せる。
$g := span {X, Y}$ に $[X, Y] := Y$ で括弧を入れたもの。

Lie群とLie環の関係

以下、 $G, H$ はLie群であるとする。

平行移動

左移動 $L_{y} : G ∋ x \mapsto y x \in G$ で不変なベクトル場を付随するLie環 $g$ と言う。
$g := {X \in X (G) ∣ \forall y \in G (L_{y})_{*} X = X}$

これは $X (G)$ の括弧積について閉じているからLie環になる。また、次から有限次元。

$g ∋ X ⟼ X_{e} \in G_{e}$ は線形同型である。

$X_{x} = d L_{x} (X_{e})$ より単射性は明らか。逆に、 $v \in G_{e}$ について $X_{x} := d L_{x} (v)$ という構成が全射性を与えるが、 $X$ の $C^{\infty}$ 級性がやや非自明である。
$f \in C^{\infty} (G)$ に対し $X f \in C^{\infty} (G)$ を示せば十分だが、 $(X f)_{x} = v (f \circ L_{x}) = \sum_{i} a_{i} \frac{\partial}{\partial y_{i}} f (x y), v = \sum_{i} a_{i} \frac{\partial}{\partial y_{i}}$ だから、 $f (x y)$ という $G \times G$ 上の関数の $C^{\infty}$ 級性から降ってくる。

$G = R^{n} \times T^{m}$ に対し $g = R^{n + m}$ は可換なLie環。
$G = GL (n, R)$ に対し $g = M (n, R)$ となる。
$G = R_{> 0} ⋉ R$ に対し $g = span {X, Y}, [X, Y] := Y$ となる。

関手性

準同型 $ϕ : G \to H$ に対し、 $ϕ_{*} : g ≅ G_{e} \overset{d ϕ}{⟶} H_{e} ≅ h$ はLie環の準同型。

つまり $Y := ϕ_{*} X$ とは、 $d ϕ (X_{e}) \in H_{e}$ を平行移動させてできるベクトル場である。
まず、 $X, Y$ が $ϕ$ -relatedであることを見る。 $x \in G$ に対して $d ϕ (X_{x}) = Y_{ϕ (x)}$ を見ればよいが、 $ϕ \circ L_{x} = L_{ϕ (x)} \circ ϕ$ の両辺の微分に $X_{e}$ を当てれば得る。
$Y \in h$ で $X, Y$ が $ϕ$ -relatedなものは一意（原点での値！）だからこれが $ϕ_{*} X$ を特徴付けるが、前頁の $ϕ$ -relatedの補題から $[X, Y], [ϕ_{*} X, ϕ_{*} Y]$ が $ϕ$ -relatedとなり $ϕ_{*}$ が括弧と交換する。

部分群と部分環の対応

連結Lie群 $G$ を固定する。次の対応は互いに逆： $\begin{array}{ccc} {ι : H ↪ G ∣ 連結部分Lie群} & ⟷ & {h \subset g ∣ 部分Lie環} \\ H & ⟼ & ι_{*} (h) \\ 積分多様体 & ⟵ & h \end{array}$

まず主張の対応を説明する。 $ι_{*}$ はLie環の準同型だからその像 $ι_{*} (h)$ は部分Lie環である。 $h \subset g$ に対し $D_{x} := {X_{x} ∣ X \in h}$ で定まる左不変分布は部分Lie環性から包合的だから $e \in G$ を含む極大積分多様体 $H$ を取ると、これは部分Lie群である：
$d L_{y} (D_{x}) = D_{y x}$ の意味で左不変だから、極大積分多様体の一意性から $L_{x^{- 1}} H = H, x \in H$ であり部分群になる。演算の $C^{\infty}$ 級性は積だけ見る（逆元も同様）。 $G$ の演算の制限として $H \times H \to G$ は滑らかだが、像が $H$ に入るから前々頁の最後の定理より得る。
次に対応が互いに逆であることを見る。 $\binom{}{} = id$ は単位元での接空間を見れば分かるから $\binom{}{} = id$ を示す。 $H \subset G$ の付随するLie環に対する上の左不変分布 $D$ について $H$ が積分多様体になることは単位元での振る舞いから分かる。 $H$ は極大積分多様体 $H^{'}$ の開部分集合だが、これは部分群になっていて、 $H^{'} / H$ が離散的になる。 $H^{'}$ の連結性から $H^{'} = H$ となり、 $H$ は極大。

参考文献

[1]

Frank W. Warner, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Graduate Texts in Mathematics, Springer New York, NY, 1983, 276

[2]

森田　茂之, 微分形式の幾何学, 岩波書店, 2005, 372

[3]

Gijs M. Tuynman., An elementary proof of Lie’s Third Theorem., Publications de l’U.E.R. Mathematiques Pures et Appliquees, I.R.M.A. Univ. Lille, 1994, 4

投稿日：2024年8月29日

更新日：2024年9月1日