Lie群Lie環対応（部分群）
部分Lie群と部分Lie環の対応
以下ほとんどLie群に連結性を課しているので、一般のLie群についてはその単位元連結成分が連結Lie群（そして正規部分群）になることを注意しておく。特に付随するLie環が一致する（ので連結性は必要な仮定である）。
Lie群
多様体$G$が群構造を持っていて演算（積、逆元）が全て$C^\infty$級のときLie群と呼ぶ。
$C^\infty$な群準同型を単にLie群の準同型と呼ぶ。
部分多様体$H\hookrightarrow G$がLie群の準同型であるとき部分Lie群と呼ぶ。つまり、部分群でも部分多様体でもありそれ自身Lie群になるもの。後に示すこととして、この定義と「部分多様体化可能な部分群」は同等。
- 可換な例。$G=\R^n\times\mathbb{T}^m$。はめ込まれた部分多様体の典型例として、$\mathbb{T}^2$内での「ぐるぐるするやつ」があるが、これは部分Lie群である。しかし閉ではない。
- $GL(n,\R)$とか。線形群。
- アフィン変換群、半直積$\R_{>0}\ltimes\R$。つまり、多様体としては$G=\R_{>0}\times\R$だが$(s,t)(s',t'):=(ss',st'+t)$で群構造を入れたもの。
Lie環
有限次元$\R$-線形空間$\g$とその上の双線形写像$[,]:\g\times\g\to\g$が
$$[X,Y]=-[Y,X],\ [X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]]=0$$
を満たすときLie環と呼ぶ。括弧を保つ線形写像をLie環の準同型と呼び、括弧で閉じた部分線形空間を部分Lie環と呼ぶ。
- 可換な例。$\g:=V$に$[X,Y]:=0$で括弧を入れたもの。
- $\g:=M(n,\R)$に$[X,Y]:=XY-YX$で括弧を入れたもの。一般に結合的多元環は同じ構成でLie環と見做せる。
- $\g:=\span\{X,Y\}$に$[X,Y]:=Y$で括弧を入れたもの。
Lie群とLie環の関係
以下、$G,H$はLie群であるとする。
左移動$L_y:G\ni x\mapsto yx\in G$で不変なベクトル場を付随するLie環$\g$と言う。
$$\g:=\set{X\in\X(G)}{\forall y\in G\ (L_y)_*X=X}$$
これは$\X(G)$の括弧積について閉じているからLie環になる。また、次から有限次元。
$\g\ni X\longmapsto X_e\in G_e$は線形同型である。
$X_x=dL_x(X_e)$より単射性は明らか。逆に、$v\in G_e$について$X_x:=dL_x(v)$という構成が全射性を与えるが、$X$の$C^\infty$級性がやや非自明である。
$f\in C^\infty(G)$に対し$Xf\in C^\infty(G)$を示せば十分だが、$$(Xf)_x=v(f\circ L_x)=\sum_i a_i\pdv{y_i}f(xy),\ \ v=\sum_i a_i\pdv{y_i}
$$だから、$f(xy)$という$G\times G$上の関数の$C^\infty$級性から降ってくる。
- $G=\R^n\times\mathrm{T}^m$に対し$\g=\R^{n+m}$は可換なLie環。
- $G=\mathrm{GL}(n,\R)$に対し$\g=\mathrm{M}(n,\R)$となる。
- $G=\R_{>0}\ltimes\R$に対し$\g=\span\{X,Y\},\ [X,Y]:=Y$となる。
準同型$\phi:G\to H$に対し、$\phi_*:\g\cong G_e\overset{d\phi}{\longrightarrow}H_e\cong\h$はLie環の準同型。
つまり$Y:=\phi_*X$とは、$d\phi(X_e)\in H_e$を平行移動させてできるベクトル場である。
まず、$X,Y$が$\phi$-relatedであることを見る。$x\in G$に対して$d\phi(X_x)=Y_{\phi(x)}$を見ればよいが、$\phi\circ L_x=L_{\phi(x)}\circ\phi$の両辺の微分に$X_e$を当てれば得る。
$Y\in\h$で$X,Y$が$\phi$-relatedなものは一意（原点での値！）だからこれが$ \phi_*X$を特徴付けるが、前頁の$\phi$-relatedの補題から$[X,Y],[\phi_*X,\phi_*Y]$が$\phi$-relatedとなり$\phi_*$が括弧と交換する。
連結Lie群$G$を固定する。次の対応は互いに逆：$$\begin{array}{ccc} \set{\iota:H\hookrightarrow G}{\text{連結部分Lie群}} & \longleftrightarrow & \set{\h\subset\g}{\text{部分Lie環}}\\ H & \longmapsto & \iota_*(\h)\\ \text{積分多様体} & \longleftarrow & \h \end{array}$$
まず主張の対応を説明する。$\iota_*$はLie環の準同型だからその像$\iota_*(\h)$は部分Lie環である。$\h\subset\g$に対し$D_x:=\set{X_x}{X\in\h}$で定まる左不変分布は部分Lie環性から包合的だから$e\in G$を含む極大積分多様体$H$を取ると、これは部分Lie群である：
$dL_y(D_x)=D_{yx}$の意味で左不変だから、極大積分多様体の一意性から$L_{x^{-1}}H=H,\ x\in H$であり部分群になる。演算の$C^\infty$級性は積だけ見る（逆元も同様）。$G$の演算の制限として$H\times H\to G$は滑らかだが、像が$H$に入るから前々頁の最後の定理より得る。
次に対応が互いに逆であることを見る。$\mapsfromup=\id$は単位元での接空間を見れば分かるから$\mapstodown=\id$を示す。$H\subset G$の付随するLie環に対する上の左不変分布$D$について$H$が積分多様体になることは単位元での振る舞いから分かる。$H$は極大積分多様体$H'$の開部分集合だが、これは部分群になっていて、$H'/H$が離散的になる。$H'$の連結性から$H'=H$となり、$H$は極大。
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