Lie群Lie環対応

一意性から示す。$G\times H$というLie群に対応するLie環は$\g\times\h$であり、$\Phi$のグラフは$\g\times\h$の部分Lie環である。このような$\phi$はグラフにより$G\times H$の連結部分Lie群を与えるが、その付随するLie環は$\Phi$のグラフとなり、前頁の一意性から得る。
$\Phi$のグラフは$\g$への射影がLie環の同型を与えるから、前定理から対応する$G\times H$の連結部分Lie群$G'$は$p:G'\hookrightarrow G\times H\twoheadrightarrow G$は局所微分同相。これがもし同型なら
$$\phi:G\overset{p^{-1}}{\longrightarrow}G'\hookrightarrow G\times H\twoheadrightarrow H$$
という準同型は$\phi_*=\Phi$であり存在性を得る。$p$が被覆写像なことを言う。
$p$は開写像であり群準同型だから、その像は連結性により$G$である。evenly coveredな近傍（$p^{-1}(U)\to U$が自明な被覆になる$U$）の存在は平行移動から単位元でのみ言えばいい。十分小さい単位元の近傍$V\subset G'$は$p$により$U:=p(V)$と微分同相であり、$p^{-1}(U)=V\ker p$だから$\{Vs\}_{s\in\ker p}$が互いに素であれば$U$がevenly coveredな近傍を与える。
演算の連続性から$V^{-1}V$が十分小さく（$p$の局所微分同相性を与えるくらい）なるように取ることができる。

忠実充満性、即ち$\hom(G,H)\ni\phi\mapsto\phi_*\in\hom(\g,\h)$の全単射性は上の定理で既に示した。本質的全射性は次の代数的な事実から分かる。

Adoの定理

任意のLie環は行列環の部分Lie環として実現される。 タオのブログ を参照。

部分Lie群と部分Lie環の対応から、Lie環$\g$に対応するLie群$G$は$\mathrm{GL}(n,\R)$の部分群として構成できる。更にその普遍被覆$\tilde{G}$を取れば、$\tilde{G}$のLie環と$\g$は同型である。

$p$が微分同相となるような$\tilde{G}$上の多様体構造は一意（局所座標のlift全体がアトラス）である。$\tilde{e}\in p^{-1}(e)$を一つ選ぶと、それに応じて$p$が群準同型となるように$\tilde{G}$にLie群の構造が入って一意的であることを確認する。

lifting property

基点を保つ被覆写像$(\tilde{X},\tilde{x_0})\to(X,x_0)$と連続写像$f:(Y,y_0)\to(X,x_0)$が$f_*\pi_1(Y,y_0)\subset p_*\pi_1(\tilde{X},\tilde{x_0})$を満たすなら、基点を保つ連続写像$\tilde{f}:(Y,y_0)\to(\tilde{X},\tilde{x}_0)$であって$p\circ\tilde{f}=f$なるものが存在し一意。

$\xymatrix{ & (\tilde{X},\tilde{x}_0)\ar[d]_p\\ (Y,y_0)\ar[ru]^{\exists!\tilde{f}}\ar[r]_f & (X,x_0) }$

$F:(G\times G,(e,e))\ni (x,y)\longmapsto x^{-1}y\in (G,e)$と置き、$f:=F\circ(p\times p)\ :(\tilde{G}\times\tilde{G},(\tilde{e},\tilde{e}))\to(G,e)$ を持ち上げたい。

位相群の基本群は可換

$\pi_1(G,e)$の積として基本群の積（ループの結合）と各点毎の群の積があるが、この二つは一致し更に可換である。

ので、$F_*([c],[d])=[c^{-1}\times d]=[c]^{-1}[d]$は基本群のレベルでも$F_*(\alpha,\beta)=\alpha^{-1}\beta$という準同型になる。故にlifting propertyの仮定が満たされる。
$\xymatrix{ \tilde{G}\times\tilde{G}\ar[r]^{\tilde{f}}\ar[d]_{p\times p} &\tilde{G}\ar[d]_p\\ G\times G\ar[r]^f & G }$

群の公理は$f:G\times G\ni(x,y)\mapsto x^{-1}y\in G$と$e\in G$の言葉だけで書けるが、lifting propertyの一意性から、$G$での群の公理が$\tilde{G}$上でも成立することが分かる。また、$\tilde{f}$には連続性しかないが、$p$は局所微分同相なので$\tilde{f}$は$C^\infty$級。即ち$\tilde{G}$はLie群となる。

$\tilde{\phi}$の存在一意性はlifting propertyから従う。