Lie群Lie環対応

一意性から示す。$G\times H$というLie群に対応するLie環は$\mathfrak{g}\times \mathfrak{h}$であり、$\mathrm{\Phi }$のグラフは$\mathfrak{g}\times \mathfrak{h}$の部分Lie環である。このような$\varphi$はグラフにより$G\times H$の連結部分Lie群を与えるが、その付随するLie環は$\mathrm{\Phi }$のグラフとなり、前頁の一意性から得る。
$\mathrm{\Phi }$のグラフは$\mathfrak{g}$への射影がLie環の同型を与えるから、前定理から対応する$G\times H$の連結部分Lie群$G^{\prime }$は$p:G^{\prime }\hookrightarrow G\times H\twoheadrightarrow G$は局所微分同相。これがもし同型なら
$$\varphi :G\stackrel{p^{-1}}{⟶}{G}^{\prime }\hookrightarrow G\times H\twoheadrightarrow H$$
という準同型は${\varphi }_{\ast }=\mathrm{\Phi }$であり存在性を得る。$p$が被覆写像なことを言う。
$p$は開写像であり群準同型だから、その像は連結性により$G$である。evenly coveredな近傍（$p^{-1}(U)\to U$が自明な被覆になる$U$）の存在は平行移動から単位元でのみ言えばいい。十分小さい単位元の近傍$V\subset G^{\prime }$は$p$により$U:=p(V)$と微分同相であり、$p^{-1}(U)=V\ker p$だから$\{Vs{\}}_{s\in \ker p}$が互いに素であれば$U$がevenly coveredな近傍を与える。
演算の連続性から$V^{-1}V$が十分小さく（$p$の局所微分同相性を与えるくらい）なるように取ることができる。

忠実充満性、即ち$\mathrm{hom}(G,H)\ni \varphi \mapsto {\varphi }_{\ast }\in \mathrm{hom}(\mathfrak{g},\mathfrak{h})$の全単射性は上の定理で既に示した。本質的全射性は次の代数的な事実から分かる。

Adoの定理

任意のLie環は行列環の部分Lie環として実現される。 タオのブログ を参照。

部分Lie群と部分Lie環の対応から、Lie環$\mathfrak{g}$に対応するLie群$G$は$\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$の部分群として構成できる。更にその普遍被覆$\tilde{G}$を取れば、$\tilde{G}$のLie環と$\mathfrak{g}$は同型である。

$p$が微分同相となるような$\tilde{G}$上の多様体構造は一意（局所座標のlift全体がアトラス）である。$\tilde{e}\in p^{-1}(e)$を一つ選ぶと、それに応じて$p$が群準同型となるように$\tilde{G}$にLie群の構造が入って一意的であることを確認する。

lifting property

基点を保つ被覆写像$(\tilde{X},\widetilde{x_0})\to (X,x_0)$と連続写像$f:(Y,y_0)\to (X,x_0)$が$f_{\ast }{\pi }_1(Y,y_0)\subset p_{\ast }{\pi }_1(\tilde{X},\widetilde{x_0})$を満たすなら、基点を保つ連続写像$\tilde{f}:(Y,y_0)\to (\tilde{X},{\tilde{x}}_0)$であって$p\circ \tilde{f}=f$なるものが存在し一意。

$(\tilde{X},{\tilde{x}}_0)p(Y,y_0)\mathrm{\exists }!\tilde{f}f(X,x_0)$

$F:(G\times G,(e,e))\ni (x,y)⟼x^{-1}y\in (G,e)$と置き、$f:=F\circ (p\times p):(\tilde{G}\times \tilde{G},(\tilde{e},\tilde{e}))\to (G,e)$ を持ち上げたい。

位相群の基本群は可換

${\pi }_1(G,e)$の積として基本群の積（ループの結合）と各点毎の群の積があるが、この二つは一致し更に可換である。

ので、$F_{\ast }([c],[d])=[c^{-1}\times d]=[c{]}^{-1}[d]$は基本群のレベルでも$F_{\ast }(\alpha ,\beta )={\alpha }^{-1}\beta$という準同型になる。故にlifting propertyの仮定が満たされる。
$\tilde{G}\times \tilde{G}\tilde{f}p\times p\tilde{G}pG\times GfG$

群の公理は$f:G\times G\ni (x,y)\mapsto x^{-1}y\in G$と$e\in G$の言葉だけで書けるが、lifting propertyの一意性から、$G$での群の公理が$\tilde{G}$上でも成立することが分かる。また、$\tilde{f}$には連続性しかないが、$p$は局所微分同相なので$\tilde{f}$は$C^{\mathrm{\infty }}$級。即ち$\tilde{G}$はLie群となる。

$\tilde{\varphi }$の存在一意性はlifting propertyから従う。