Frobeniusの定理

$[X,Y]f:=XYf-YXf$と微分作用素として定まっていたこと、上の条件は$\mathrm{\forall }f\in C^{\mathrm{\infty }}(M)X^{\prime }(f\circ \varphi )=(Xf)\circ \varphi$と言い換えられることから計算ができる。

積分多様体$\iota :P\hookrightarrow M$と$X,Y\subset D$に対し、$X_{\iota (x)},Y_{\iota (x)}\in D_x=d\iota (T_{x}P)$ on $x\in P$から、$X_{\iota (x)}=d\iota (X_x^{\prime }),Y_{\iota (x)}=d\iota (Y_x^{\prime })$となるように$P$上のベクトル場$X_x^{\prime },Y_x^{\prime }$が局所的には取れる。局所的と言ったら今まで$M$の位相についてだったが、ここだけ$P$の位相についてである。
先の補題から$[X,Y{]}_{\iota (x)}=d\iota ([X^{\prime },Y^{\prime }{]}_x)\in d\iota (T_{x}P)=D_{\iota (x)}$ となる。初めの$P$を取り換え、全ての点での結論を得る。

積分曲線は復習したが時間発展はしていないな、上では$1+\epsilon X$と書いたがちゃんと$\mathrm{\Phi }:\mathbb{R}\times M\to M$の部分関数（$\{0\}\times M$の近傍でのみ定まる）${\mathrm{\Phi }}^t(x)$と書く。これの時間微分が$X$、つまり$\frac{\partial }{\partial t},X$は$\mathrm{\Phi }$-relatedである。$\mathrm{\Phi }$を適当に$\mathbb{R}\times ({\mathbb{R}}^{n-1}\subset M)\cong {\mathbb{R}}^n$に制限すれば、逆関数定理から$\frac{\partial }{\partial t},X$がある$\varphi :{\mathbb{R}}^n\to M$で$\varphi$-relatedになる。この逆写像が$\tau$。

「任意の多様体$M$とその上の$k$次元包合的分布$D$について主張が成立」という命題を$k$についての帰納法で示す。まず、$D$の局所的な基底$\{X_1,\dots ,X_k\}$を取る。局所座標を取って$X_1=\frac{\partial }{\partial x_1}$とし、更に$X_i\mapsto X_i-X_i(x_1)X_1(i=2,\dots ,k)$とすれば$X_i(x_1)=0(i=2,\dots ,k)$とできる。
$S:=\{x_1=0\}$とすると、$d{x}_1(X_i)=X_i(x_1)=0$より$X_2,\dots ,X_k$は$S$上のベクトル場だと思える。この$S$上のベクトル場が貼る$k-1$次元分布に対する帰納法の仮定から$S$上の局所座標$(x_2,\dots ,x_k)$が取れる。勿論$S$上の座標だが、$X_1=\frac{\partial }{\partial x_1}$の時間発展${\mathrm{\Phi }}^t$により$M$上の座標に延ばす。
$S_t:=\{x_i=t\}$と置く。どちらも$k$次元だから$\frac{\partial }{\partial x_2},\dots ,\frac{\partial }{\partial x_k}\in D$を示せばいい（$\frac{\partial }{\partial x_1}\in D$に注意）。$S=S_0$上では取り方そのものであり、それ以外の$S_t$ではその時間発展であること、つまり右辺の時間発展での整合性 $D={\mathrm{\Phi }}_{\ast }^t(D)$ を示す。
状況を整理し直すために一度証明を切る。

ここで微分同相$\varphi$に対し${\varphi }_{\ast }(D{)}_p:=d\varphi (D_{{\varphi }^{-1}p})$である。主張を示すためには${\mathrm{\Phi }}_{\ast }^t(D{)}_p$というグラスマン多様体（$T_{p}M$の$k$次元部分空間全体）内の曲線の微分が各$p$で至る時間消えていたらいいが、$(\varphi \circ {\varphi }^{\prime }{)}_{\ast }D={\varphi }_{\ast }{\varphi }_{\ast }^{\prime }D$なので$t=0$でのみ消えればいい。
もう全部局所の話なので、$M={\mathbb{R}}^n,p=0,T_{p}M={\mathbb{R}}^n$と諸々単純化しておく。曲線$D(t)\in \mathrm{Grass}(n,k)$の$t=0$での微分が消えていないとき$\xi (t)\in D(t)$で${\xi }^{\prime }(0)\notin D(0)$となる曲線が取れる（下注）。今の場合、$\xi (t)\in {\mathrm{\Phi }}_{\ast }^{-t}(D{)}_p$であり、$Y(t):=d{\mathrm{\Phi }}^t(\xi (t))\in T_{\gamma (t)}M$は$X$の積分曲線$\gamma (t)$に沿ったベクトル場である。$Y$の曲線近傍への拡張を同じく$Y$と書くと、${\xi }^{\prime }(0)=\frac{\partial }{\partial t}{|}_{t=0}{\mathrm{\Phi }}_{\ast }^t(Y{)}_p=[X,Y{]}_p\in D_p$となって矛盾。

$D$を標準化する局所座標$(U,\tau )$に対し付随するスライス$U(d):={\tau }^{-1}({\mathbb{R}}^k\times \{d\}),d\in {\mathbb{R}}^{n-k}$は積分多様体である。（不連結でもいい）積分多様体$P$について第二可算性から$P\cap U$が$\{U(d){\}}_d$の可算個の和に含まれるので、前頁とその証明から$P$上の部分多様体構造が一意であることと$P\cap U(d)$が$P$の位相で開であるが分かる。特に、別のスライス$P=U^{\prime }(d^{\prime })$について、$U^{\prime }(d^{\prime })\cap U(d)$が$U(d)$内で開であることと$(U(d),\tau ),(U^{\prime }(d^{\prime }),{\tau }^{\prime })$の変換関数が$C^{\mathrm{\infty }}$級であることが分かる。
これで必要な議論は全て尽くした（証明前のスケッチの意味が通る）のだが、もうちょっと書く。
$M$の可算アトラス$\{(U_i,{\tau }_i)\}$であって$D$を標準化するものを取る。$M$の部分集合$P$に対し、$P$と交わる全ての$U_i(d)$と$P$の合併を取る操作を考える。最初のステップでは$P$は$x$を含む適当な$U_i(d)$であり、この操作を有限回行っても上段の理由で高々可算個のスライスの和であり、全ての$n$回目についての合併を$P$とする。これは第二可算である。
この$P$には合併をした$(U_i(d),\tau )$全体としてアトラスが入る、これがちゃんと多様体になることは上に書いたことから分かる。
最大性について、勝手な積分多様体$P^{\prime }$が$P^{\prime }\subset P$と分かれば、$P$の位相で開であることは自動的である（自動的$C^{\mathrm{\infty }}$級性と次元が同じはめこみが開写像であること）。さて、これは$P^{\prime }$の連結性から分かるが、$P$を（スライスの交わりに関する）グラフの連結成分と定めた一方、$P^{\prime }$の連結性は位相的な連結性なので注意が必要だ。しかし$P^{\prime }$は弧状連結なので、$[0,1]$のコンパクト性によって、$P^{\prime }$の任意の点は上の合併操作有限回で$x$から到達できる。